GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO

Transcripción

1 CAPITULO Espero que l posteridd me jugue on enevoleni no solo por ls oss que he eplido sino tmién por quells que he omitido inteniondmente pr dejr los demás el pler de desurirls René Desrtes. GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO. Euión del plno en R.. Distni de un punto un plno.. Forms de epresr l ret en R..4 Rets plnos en R..5 Distni de un punto un ret..6 Funiones de vris vriles..7 Superfiies udrátis en R..8 Coordends ilíndris esféris.

2 . ECUACIÓN DEL PLANO EN R Como podemos preir en l figur - tod superfiie pln tiene omo rterísti omún su vetor norml; por unto este es onstnte sore todo el plno π ls superfiies que no sen plns no tienen un vetor norml onstnte) provehndo est rterísti supongmos que el plno π tiene omo vetor norml: N : ) ontiene l punto P 0 : ). El punto P : ) represent un punto ulquier del plnoπ ; entones: N: ) V π. P ) P ) Figur - V ) Como V pertenee π es perpendiulr N V N 0 V N - 0 ) - 0 ) - 0 ) 0 d 0; donde d d 0 Euión del plno π en R.

3 . Euión del plno en R Donde: son ls oordends del vetor norml d se puede lulr remplndo en l euión del plno el punto P 0. Reordemos que pr enontrr l euión mtemáti de los puntos que pertenee un plno se utili omo refereni el vetor norml l plno. Todo plno tiene dos vetores normles omo lo indi l figur -: π Pr efeto de enontrr l euión del plno nos podemos referir ulquier de estos vetores normles indistintmente Figur - Un plno está definido por: ) Su vetor norml un punto del plno ) Tres puntos no linedos ) Un ret un punto fuer de ell d) Dos rets que se orten e) Dos rets prlels no leds Cso ): Ejemplo - Enontrr l euión del plno perpendiulr l vetor i j 4k que ontiene l punto - ). Soluión: N : - 4) Entones: 4 d 0 ) -) 4) d 0 d - 4 es l euión del plno

4 . Euión del plno en R 4 Cso ): Ejemplo - Soluión: Enontrr l euión del plno que ontiene los puntos: -); - 4); - 5 ) Sin importrnos que l uiión de los puntos no se l orret ronemos este ejeriio on l ud de l figur - N π. P V. P V P Figur - P : -) P : - 4) P : - 5 ) V : - 7) V : -4 6) N i j k ) 4 6

5 . Distni de un punto l plno d 0 9) 4) 9 ) d 0 d Los sos d e los revisremos un ve que estudiemos l euión de l ret en R seión -4 - DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Se dis l distni de un punto ulquier un plno; si el punto no pertenee l plno dis > 0 si el punto pertenee l plno dis 0 pr efeto del nálisis que vmos her supongmos que el punto no pertenee l plno; entones: dis > 0 Po π P ) π proedimiento: en l figur -4 podemos ver el ronmiento de este Z P 0: 0 0 0) V N dis P: ) Y X Figur -4

6 . Distni de un punto l plno 6 dis: Proeión eslr de V sore N Ddo el plno d 0 el punto P ) Ejemplo - Enontrr l distni del punto P 0 : - -4) l plno que ontiene los puntos - 4); ); - ) Soluión: Enontremos primero l euión del plno; V V son vetores del plno N es su vetor norml ) 45 4) ) ) 4) ) V V 697) 5 4 k j i N ) : ) : N V o o o ) ˆ N ) ) ) ) ) ) ) ) dis dis dis o o o o o o o o o d dis o o o

7 . Forms de epresr l ret en R d d 0 d Anliemos si P 0 pertenee o no l plno. 6 ) 9) 7 4) P 0 l plno; d > 0. 0 Enontremos un vetor V que une un punto del plno on P 0. V 4) ) 5) dis V Nˆ Nˆ d d 697) 66 5) 697) FORMAS DE EXPRESAR LA RECTA EN R Z P ) V V P ) l P ) Y X Figur -5

8 . Forms de epresr l ret en R 8 Pr definir un ret en R se requiere omo mínimo de dos euiones lineles; por unto un ret en el espio es l interseión de dos plnos entones ls ondiiones mínims pr definirl son:. Dos plnos que se orten. Dos puntos. Vetor diretri un punto Prtmos del heho que dos puntos definen un ret en R En l figur -5 podemos ver que V es el vetor P P V es el vetor P P que son prlelos por estr sore l mism ret l P es un punto ulquier de l ret l. P l V ) V ) V // V Si V // V ) ) ) t t t t t t Form generl de ls euiones de l ret en R. V : Se onoe omo vetor diretri de l ret l se lo simoli on l letr D. D )

9 . Forms de epresr l ret en R 9 Euión de l ret undo se onoe el vetor diretri un punto de ell. t t t t t t Form Prmétri de l euión de l ret en R L ret en R tmién puede estr dd por l interseión de dos plnos 0 0 : d d l Form de ls euiones de l ret omo l interseión de dos plnos. En l figur -6 hemos l siguiente interpretión geométri l Figur -6 D X Y Z t D A V P ) P )

10 . Forms de epresr l ret en R 0 D: vetor diretri de l ret V: vetor posiión de un punto ulquier de l ret A: vetor posiión de un punto fijo de l En el prlelogrmo de l figur -6: ) ) ) t td A V Form vetoril de l euión de l ret que si el letor lo nli detenidmente es l mism form prmétri desrit nteriormente. Ejemplo -4 Enontrr l euión de l ret que ps por los puntos -); -4) Soluión: Vetor diretri: ) 6 4 ) 4) D Tomndo el punto -) tenemos: 6 4 En form prmétri: t t t t t t Como un sistem de dos euiones:

11 . Forms de epresr l ret en R En form vetoril: ) ) t4 6) ) t 4t 6t) Ejemplo -5 Dd l ret 5 prmétri vetoril de l mism. enontrr l form generl Soluión: El ronmiento lo podemos oservr en l figur -7 donde independientemente de si son o no los plnos ddos vemos omo el produto vetoril de los vetores normles de d plno N N d el vetor diretri D de l ret. l π π D N N Figur -7

12 . Forms de epresr l ret en R Se π el primer plno on N omo su vetor norml π el segundo plno on N omo su vetor norml; entones: D N N i j k D i5 ) 5 D i 7 j k j5 ) k 9 ) Ahor neesitmos un punto de l ret este lo podemos otener hiendo Z 0 resolviendo el sistem pr ls otrs vriles: t 7t t 7 Form prmétri -4 RECTAS Y PLANOS EN R Los plnos en R pueden ser prlelos los plnos oordendos o prlelos los ejes oordendos vemos omo se oserv este efeto en l euión del plno. L figur -8 indi tnto el prlelismo on respeto l plno ""; k so ) omo el prlelismo on respeto l eje " " ; d 0 so ). Viendo est figur podemos onluir: 0 indi prlelismo on respeto l eje figur -8 ) 0 indi prlelismo on respeto l eje 0 indi prlelismo on respeto l eje

13 .4 Rets plno en R Z ) Z K K Y X Z ) d0 Y X Figur -8 L oordend del vetor norml que es ero indi l nturle del eje oordendo l ul el plno es prlelo. De igul form podemos omprender que: 0 0 indi prlelismo on respeto l plno figur -8 ) 0 0 indi prlelismo on respeto l plno 0 0 indi prlelismo on respeto l plno

14 .4 Rets plno en R 4 Ls oordends del vetor norml que son ero indin l nturle del plno oordendo l ul el plno es prlelo. De igul form l ret en R puede ser prlel los plnos o los ejes oordendos; vemos en l figur -9 este efeto sore ls euiones de l ret. ) Z l Y X Z ) l Y X Figur -9

15 .4 Rets plno en R 5 Viendo este gráfio el so ) represent prlelismo on respeto l eje el so ) represent prlelismo on respeto l plno ; pr el so ) omo l ret es prlel l eje el vetor diretri es el vetor i ; o 0 0) esto no permite epresr ls euiones de l ret en form generl por unto tendrímos división pr ero en el segundo terer término. En form prmétri l ret estrá dd por: t i j De igul form en el so ) el vetor diretri es de l form esto tmién no permite epresr est ret en form generl por tener división pr ero en su terer término. En form prmétri l ret estrá dd por: t t Est oservión nos permite her l siguiente onlusión: 0 indi prlelismo on respeto l plno 0 indi prlelismo on respeto l plno 0 indi prlelismo on respeto l plno Ls oordends del vetor diretri que no son ero indin l nturle del plno oordendo l ul l ret es prlel. De igul form podemos omprender que: 0 0 indi prlelismo on respeto l eje 0 0 indi prlelismo on respeto l eje 0 0 indi prlelismo on respeto l eje L oordend del vetor diretri que no es ero indi l nturle del eje oordendo l ul l ret es prlel. A más de esto tmién ls rets en R pueden ser onurrentes o prlels en so de prlels pueden ser superpuests prlels propimente dihs o leds l figur -0 indi d uno de estos sos.

16 .4 Rets plno en R 6 ) Z l ) Z l l l Y Y X X Z Z ) l l d ) l Y l Y X X Figur -0 El so ) indi dos rets onurrentes tienen un punto en omún se ortn) el so ) indi dos rets oinidentes o superpuests el so ) indi dos rets prlels tienen sus vetores diretries prlelos el so d) indi dos rets leds omo se puede preir en l figur -0 perteneen plnos prlelos pesr de que sus vetores diretries no son prlelos ells no tienen un punto en omún jmás se ortn. Ejemplo -6 Dds ls rets: l Pror si son o no onurrentes si lo son enontrr su punto omún su ángulo gudo de interseión. l

17 .4 Rets plno en R 7 Soluión: Armemos un sistem de euiones on los plnos de l ret l un plno de l ret l : 5 7 Si ls rets son onurrentes este punto dee stisfer l urt euión: 7 ) 9 ) ) 55 Como si stisfe entones ls rets son onurrentes el punto luldo nteriormente es su punto de interseión. Ahor lulemos el ángulo gudo de interseión. Enontremos sus vetores diretries: i j D 0 9) 5 i j D 0 ) 9 k k D D D D osθ osθ D D D D 9) ) o θ os 7.

18 .4 Rets plno en R 8 Ejemplo -7 Enontrr el ángulo de interseión de dos plnos π : d 0 π d 0 : Soluión: θ de π π θ entre sus vetores normles; N N. N ) N ) N N N N osθ os N N N N θ Ahor estmos en ondiiones de nlir los sos d e que quedron pendientes en l seión -. Cso : Ejemplo -8 Soluión: Enontrr l euión del plno que ontiene l ret 4 5 l punto P 0 ) L figur - indi el ronmiento de este so: Enontremos el punto P que es un punto ulquier de l ret; Pr 0 resolvemos el sistem: 7 Entones P es el punto 0) 5 7 V PP 4 0 ) El vetor diretri de l ret es:

19 .4 Rets plno en R 9 P N D l π π V P 0 Figur - D i j k 6 ) 4 N i j k 4 0 6) 6 Entones l euión del plno es de l form: d d ) 0 6 ) d 0 d

20 .4 Rets plno en R 40 Cso d: Ejemplo -9 Soluión: Enontrr l euión del plno que ontiene ls rets: l t t t l 5t t t En l figur - vemos el ronmiento de este so: N D l l π P D El punto P omún ls rets lo lulmos pr un vlor del prámetro de 0: t 0 Como se puede preir es un punto omún ls dos rets; entones: D ˆ Figur - ) P : ) ˆ 5) D N i j k 5 5 )

21 .4 Rets plno en R 4 L euión del plno es: d 5 d 5) ) ) d d Cso e: Ejemplo -0 Enontrr l euión del plno que ontiene ls rets: l t 4t t l 4t 8t t Soluión: En l figur - vemos el ronmiento de este so: π N l P D V l P Figur -

22 .4 Rets plno en R 4 En l pr t 0 P ) ; en l tmién pr t 0 P ) ; D 4 ) V ) i j N 4 k 5 ) L euión del plno es: d 0 5 d 0 5 ) ) ) d 0 d DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Y ENTRE RECTAS Se l un ret ulquier en R P 0 un punto eterior ell l distni del punto P 0 l es el segmento de perpendiulr l ret en el plno que ontiene l punto l que sepr l punto de l ret. L figur -4 nos permite ronr l form de enontrr est distni: Z P ) V D N dis l P ) Y X Figur -4

23 .5 Distni de un punto un ret entre rets 4 N es l dee perteneer l plno que ontiene P 0 l. H dos forms pr enontrr est distni. Sin usr ningun fórmul vemos en el ejemplo - el ronmiento de d uno de estos métodos: Ejemplo - Soluión: Enontrr l distni del punto P 0 : - -) l ret l En l figur -4 podemos entender el ronmiento de ls dos forms que epondremos pr enontrr est distni. FORMA VECTORIAL Primero verigüemos si el punto pertenee l ret o no; si perteneier l l distni es ero: P 0 l d > 0 Enontremos el punto de l ret P; pr resolvmos el sistem de ls euiones de l ret: p : 4 8) V ) -4-8) 0 4) Enontremos el vetor diretri de l ret: N : ) N D : N : ) N i j k 5 )

24 .5 Distni de un punto un ret entre rets 44 N es el triple produto vetoril entre V D D; sí: N' D V N' D V ) D i j k 5 095) 0 4 i j k ) 5 dis V Nˆ ' dis 9. dis dis.4 FORMA ESCALAR V D : Proeión de V sore D 0 4) ) V D V Dˆ 0 4) 5 ) dis V VD L distni entre dos rets prlels o leds es el segmento de perpendiulr ls dos rets que ls sepr. Ejemplo - Enontrr l distni entre ls rets: l l t t t 4

25 .5 Distni de un punto un ret entre rets 45 Soluión: Primero deemos ompror que ls rets no sen onurrentes; pr eso l form prmétri de l dee stisfer ls euiones de l : t) t) t 4) t 4 5 t) t) t 4) t 6 Ls rets no tienen punto omún pueden ser prlels o leds dependiendo de sus vetores diretries. Ahor enontremos los vetores diretries de ls rets: D D i j ) k 4 ) Como los vetores diretries no son prlelos ls rets son leds pr enontrr l distni entre ells fijemos un punto P de l un punto P de l on estos puntos tenemos el vetor V que une dos puntos ulquier de ls rets l distni dis ) será l proeión de este vetor sore el norml ls dos rets N : N ' D D i j N' k 4 7 5) P P : V : : 5 0 ) ) 5 4 ) 4 dis V ˆN ' 4

26 .5 Distni de un punto un ret entre rets 46 dis dis ) 7 5) -6 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Un funión de vris vriles es de l form n R : Es el espio dominio de f. m R : Es el espio rngo o Imgen de f. f n m ) : R R donde:... n ) R n es un vetor del dominio de f : f m ) f ) f )... f m )) R es un vetor del rngo de f. Ls funiones de vris vriles se pueden lsifir en dos grndes grupos: funiones eslres funiones vetoriles de uerdo l dimensión del rngo; undo m se trt de funiones eslres o mpos eslres de l form f ) : R n R undo m > se trt de funiones vetoriles o mpos n m vetoriles de l form F ) : R R. De igul form d un de estos grupos se pueden sudividir en dos ms en d so de uerdo l dimensión del dominio; funiones eslres de vrile eslr que son ls funiones de vrile rel que se estudiron en el álulo ásio de un dimensión que son de l form f ) : R R funiones eslres de vrile vetoril que genérimente son ls superfiies en el espio son ls que nos dediremos de un form prioritri en este teto son de l form f ) : R n R ls más omunes de ests son ls superfiies en R que son de l form f ) : R R. En el otro grupo tenemos ls funiones vetoriles de vrile eslr que onstituen tods ls urvs o tretoris en el σ t) : R R m espio son de l form seri importnte que entendier el letor que ls urvs plns epresds en form prmétri son de este grupo pues serín de l form σ t) t) t)) : R R ls ms omunes de ests son ls urvs σ t) t) t) t)) : R R en el espio que son de l form finlmente ls funiones vetoriles de vrile vetoril que son de l form generl epresd l iniio de est seión en

27 .6 Funiones de vris Vriles 47 este grupo ls más omunes pr los fines de este teto son ls superfiies en el espio tridimensionl que son de l form: φ u v) u v) u v) u v)) : R R De igul form serí importnte que el letor entendier que este grupo perteneen ls superfiies f ) epresds en form prmétri. El siguiente udro resume todo lo diho sore est lsifiión de ls funiones de vris vriles. CON RESPECTO A LA DIMENSIÓN DEL RANGO CON RESPECTO A LA DIMENSIÓN DEL DOMINIO FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES R n R n ESCALARES Cmpos eslres) R n R VECTORIALES Cmpos vetoriles) R n m > R m DE VARIABLE ESCALAR R R Funiones de vrile Rel ) DE VARIABLE VECTORIAL R n R n > Superfiies en el espio) DE VARIABLE ESCALAR R R m Tretoris o urvs en el espio) DE VARIABLE VECTORIAL R n R m n > Podemos itr lgunos ejemplos de todos estos tipos de funiones: Un funión de un vrile es l relión entre dos mgnitudes; por ejemplo el espio el tiempo f : D R R ; f : t s ; s f t) l gráfi de un funión de un vrile es un urv en el plno figur -5. H que tomr en uent que pr que un relión de un vrile se un funión dee eistir un relión uno uno el gráfio de un funión no puede tener dos puntos en un mism vertil esto he que un irunfereni no se un funión; pero si l seprmos en dos l

28 .6 Funiones de vris Vriles 48 semiirunfereni superior l semiirunfereni inferior ests si son funiones Y omo lo podemos preir en l figur -6 pr l f) irunfereni 4. Figur -5 X Los mpos eslres representn superfiies en el espio podemos verls hst ls que se puedn grfir en el espio tridimensionl por l pidd de nuestros sentidos un ejemplo de ests es el áre de un retángulo en funión de l se l ltur es de l form f h) ) f ) f : U R R el volumen de un prlelepípedo en funión de sus tres dimensiones V f ) es de l form ) w w f ) f : U R R un funión de ostos en un fári donde se produen 5 produtos distintos el osto totl será dependiente de los ostos de produión de d uno de los 5 produtos que se frin de los ostos fijos CF; CT Cv Q CvQ CvQ Cv4Q4 Cv5Q5 CF CT f Q Q Q Q ) f : U R 5 R. es de l form 4 Q5 Y X Y Y 4 X Figur X 4

29 .7 Superfiies Cudrátis en R 49 Ls funiones vetoriles de vrile eslr representn tretoris o urvs en el espio tmién podemos preir su gráfio hst ls que se pueden grfir en R un ejemplo de ests es l prmetriión de un práol σ t ) t t ) F : D R R su gráfio es el de l práol en R l tretori de un proetil en el espio t t) t) t)) F : D R R su gráfio es un urv en R omo lo indi l figur -7. Z σt) t) t) t)) Ls funiones vetoriles de vrile vetoril son funiones más strts son difíiles de otener su gráfio solo deemos Y imginrnos l relión que representn undo su rngo est en dimensión mor R un ejemplo de ests es Figur -7 un funión que X determine l veloidd de ls prtíuls en el interior de un fluido F ) v ) v ) v )) F : U R R. En este grupo están ls superfiies prmetrids ests son ls misms superfiies de ls que se hlo en los mpos eslres solo que epresds en form prmétri ests son de l form φ u v) u v) u v) u v)) F : D R R el gráfio de ests son superfiies en R en el pítulo 8 ls estudiremos on más detenimiento..7 SUPERFICIES CUADRATICAS EN R Como hemos diho en l seión nterior ls funiones de l form f ) representn superfiies en R dentro de ests superfiies están ls superfiies uádris que son funiones eslres de l form nterior on regl de orrespondeni udráti estudiremos en form generl ls más importntes por su utilidd en el estudio del álulo de vris vriles; omenemos primero estudindo dos definiiones importntes que nos permiten mnejr gráfimente un funión eslr.

30 .7 Superfiies Cudrátis en R 50 Definiión de gráfio de un funión eslr. Se f ) : U R n R un funión eslr ontinu en U se llm gráfio de f ) l onjunto de puntos: n {... f )) R /... ) U f... } n n n Anlindo l definiión nterior es importnte que hgmos ls siguientes oserviones:. El gráfio de un funión eslr est definid en un dimensión ms uno de l dimensión de su dominio.. Esto nos permite oservr hst el gráfio de funiones eslres en R son superfiies en R.. El gráfio de un funión de vrile rel est en R son urvs plns. 4. Estmos imposiilitdos pr ver el gráfio de funiones uo dominio est en dimensiones de R R n estos estrín en espios de R 4 R n. Pr gnr un dimensión más en l oservión gráfi del omportmiento de un funión eslr plntemos l siguiente definimos onjuntos de nivel. Definiión de onjunto de nivel pr un funión eslr. Se f ) : U R n R un funión eslr ontinu en U se llm onjunto f l onjunto de puntos: de nivel de ) n {... ) R / f... ) k; k R} n n De igul form que en el so nterior el nálisis de est definiión nos llev ls siguientes oserviones:. El onjunto de nivel de un funión eslr est definido en l mism dimensión de su dominio.. Por igulr l funión un vlor onstnte los onjuntos de nivel representn geométrimente ortes del gráfio de l funión originl.. Ahor se nos present l opión de oservr hst los onjuntos de nivel de funiones eslres en R son superfiies en R omúnmente se ls onoe omo superfiies de nivel.

31 .7 Superfiies Cudrátis en R 5 4. Los onjuntos de nivel de funiones eslres en R están en R son urvs plns omúnmente se ls onoe omo urvs de nivel. 5. Los onjuntos de nivel de funiones de vrile rel serín puntos en R. Hlndo del omportmiento gráfio de un funión podemos resumir diiendo que ls funiones: f ) : U R R les podemos oservr su gráfio el de sus onjuntos de nivel mientrs que funiones: w f ) : U R R solo les podemos oservr sus onjuntos de nivel o superfiies de nivel. L figur -8 indi el gráfio de un superfiie el de sus urvs de nivel en R. Ejemplo - Dd l funión eslr f ) nlir su gráfio sus urvs de nivel Soluión: El gráfio es un plno que ort los ejes oordendos en 00); 00); 00-) omo lo indi l figur -8 ). ) Sus onjuntos de nivel son rets prlels de l form; f ) k ; k : k 0; k ; k -; k ; 4 k -; 0 Como se puede preir en l figur -8 ) k k k 0 k k Figur -8

32 .7 Superfiies Cudrátis en R 5 Un superfiie uádrti es el lugr geométrio de los puntos ) que stisfen un euión de segundo grdo de l form: * A B C D E F G H L M 0 Est mism euión se puede esriir en form mtriil omo: q q q q 00 0 ) q q q q 0 q q q q 0 q q q q 0 Donde: A q D q G q 0 q q 0 B q E q H q 0 q q 0 C q F q L q 0 q q 0 M q 00 Q q ij ) es l mtri que define l funión udráti. Tomndo en onsiderión l euión * que es l form generl de l euión udráti podemos revisr un grupo seleto de superfiies en R que se ls onoe on el nomre de SUPERFICIES CUADRATICAS o simplemente CUADRICAS. Ls uádris más omunes son: l esfer el elipsoide los hiperoloides de un hoj de dos hojs el proloide el proloide hiperólio el ono el ilindro. Anliemos ls rterístis más soreslientes de d un de ells. L Esfer: Si en l fórmul generl los oefiientes A B C son igules mores que ero l fórmul generl puede esriirse de l form: h) k) l) R Entones l funión udráti represent un superfiie esféri de entro en el punto h k l) rdio R R 0. Si el entro est en origen l superfiie esféri es de l form R l figur -9 represent est últim.

33 .7 Superfiies Cudrátis en R 5 Sus urvs de nivel tomndo f ) son irunferenis l igul que los ortes on plnos prlelos los plnos oordendos. Figur -9 El Elipsoide: Si en l fórmul generl los oefiientes A B C son diferentes mores que ero l fórmul generl puede esriirse de l form: h) k) l) Entones l funión udráti represent un elipsoide de entro en el punto h k l) semiejes. Si el entro est en origen el elipsoide es de l form l figur -0 represent este so. Sus urvs de nivel tomndo f ) son Figur -0 elipses l igul que los ortes on plnos prlelos los plnos oordendos unque lgún orte pude ser un irunfereni si el elipsoide es de revoluión.

34 .7 Superfiies Cudrátis en R 54 Hiperoloide de un hoj: Si en l fórmul generl los oefiientes A B C son igules o diferentes uno de ellos negtivo l fórmul generl puede esriirse de l form: h) k) l) Entones l funión udráti represent un hiperoloide de un hoj de entro en el punto h k l) l direión del eje de simetrí lo d l vrile uo oefiiente llev el signo negtivo en este so el eje de simetrí es prlelo l eje Z ). Figur - Si el entro est en origen el hiperoloide de un hoj es de l form l figur - represent este so. Sus urvs de nivel tomndo f ) son elipses o irunferenis si el hiperoloide es de revoluión en mio los ortes on plnos prlelos los plnos oordendos son hipérols de hí su nomre de hiperoloide. Hiperoloide de dos hojs: Si en l fórmul generl los oefiientes A B C son igules o diferentes dos de ellos negtivo l fórmul generl puede esriirse de l form: h) k) l)

35 .7 Superfiies Cudrátis en R 55 Entones l funión udráti represent un hiperoloide de dos hojs de entro en el punto h k l) l direión del eje de simetrí lo d l vrile uo oefiiente es positivo en este so el eje de simetrí es prlelo l eje X ). Si el entro est en origen el hiperoloide de dos hojs es de l form l figur - represent este so. hiperoloide. Figur - Sus urvs de nivel tomndo f ) son elipses o irunferenis si el hiperoloide es de revoluión en mio los ortes on plnos prlelos los plnos oordendos son hipérols de hí su nomre de