4. Integrales de línea

Transcripción

1 4. Integrles de líne 4. Integrles de mpos eslres lo lrgo de urvs Un funión vetoril (tmién llmd tretori o mino) er un : [, ] R R n, u gráfi (t) = ( (t),..., n (t)) '(t) () (t) es un urv en R n su derivd (t) = ( (t),..., n(t)) desrie el vetor tngente l urv (el vetor veloidd, si (t) () está desriiendo un movimiento en R n ). [ t L ret tngente en (to ) er: (t) = (t o )+ t (t o ) ]. se die si es ontinu eiste es ontinu t (, ). Es trozos si es ontinu [, ] se puede dividir en un número finito de suintervlos en d uno de los ules es [su gráfi será entones un urv ontinu sin ret tngente en un número finito de puntos]. Ej. : [, π ] R on (t) = (os t, sen t) es un tretori pues (π/) (t) = ( sen t, os t) eiste t (, π ). : [, ] R on (t) = ( t, t ), (t) = (, t( t ) /) () es otro mino, que desrie es mism urv en sentido opuesto. Se die que son dos prmetriziones de l mism urv. * Se : [, ] R n un mino se f un mpo eslr en R n tl que f ( (t) ) es ontinu en [, ]. L integrl de f lo lrgo de se define: f ds f ( (t) ) (t) dt. Si (t) es solmente trozos o si f ((t)) es ontinu trozos, definimos f ds desomponiendo [, ] en intervlos sore los que f ((t)) (t) se ontinu sumndo ls integrles sore d uno de ellos. Ej. Si f (, ) =, son los de rri, ls integrles lo lrgo de ls dos tretoris son: π/ f ds = os t sen t dt = 3 sen3 t ] π/ = 3. f ds = t ( t ) dt = t 3 ( t ) 3/] = 3. No es sulidd que ms integrles oinidn. Proremos en 4. que: Teor. Si desrien l mism urv, entones f ds = f ds f ds. omo l integrl de líne de un f eslr no depende de l prmetrizión, sólo de l urv, es líit l notión f ds (integrl de f sore ) donde no pree por ningún ldo. Interpretemos est integrl. Se primero f. Si pensmos que (t) desrie un prtíul, l ser (t) l veloidd eslr en el instnte t, pree lro que ds = (t) dt ( diferenil de ro ) represent l distni reorrid en un diferenil de tiempo dt por tnto: L = ds = (t) dt represent l longitud de l urv definid por. Ej 3. Hllemos l longitud de l urv desrit por (t) = ( t, t 3), t [, ]. (t) = 4t +9t 4 L = t 4+9t dt = 7 (4+9t ) 3/] = (33/ 8) O on otr prmetrizión de l mism urv ( usndo su simetrí): (, 3/ ), [, ] L = ( 4 d = ) 3/ ] 4 = 6 [ 3 3/ 7 8 ]. [undo = pueden preer pios en ls urvs, pues el vetor tngente no tiene direión definid]. [Ests integrles de mpos eslres, por inluir un ríz, muhs vees llevn primitivs no lulles]. 35

2 Si hor f es ulquier mpo on f ((t)) t [, ], f ds represent pr n= el áre de l vll de ltur f (, ) en d (, ) de l urv, pues un diferenil de vll tiene áre f ((t)) ds = f ((t)) (t) dt. z (t)=((t),(t)) f ((t),(t)) Tiene otr posile interpretión undo n = o n = 3 : Si (t) desrie un lmre de densidd vrile dd por ρ(), l ms del lmre será M = ρ ds (tnto en el plno omo en el espio). El entro de grvedd (entroide si ρ onstnte) del lmre, tendrá por oordends: = M ρ ds, = M ρ ds ; si n=3, demás z = M z ρ ds. Ests integrles tmién sirven pr hllr, el vlor medio de un f sore : f = L f ds. Ej 4. Se el lmre en form de hélie: : [, π] R 3, t (os t, sen t, t) de densidd ρ(,, z) = + +z. omo =, se tiene que: Su longitud es L = π dt = π 8.9. Su ms es M = π (os t+ sen t+t ) dt = ( π+ 8 3 π3) 5.8. [ Su densidd medi es, por tnto: π 4. ]. π Su entro de grvedd: = M os t (+t ) dt = 6 3+4π.4, = π M sen t (+t ) dt = 6π 3+4π.44, z = π M t (+t ) dt =3π +π 3+4π 4.6. Su entroide: = L π os t dt =, = L π sen t dt =, z = L π z π t dt = π. Otr pliión de este tipo de integrles. Si un urv viene dd por = (t), = (t), t [, ], el áre de l superfiie de revoluión otenid l her girr en torno l eje = es: A = π ( (t) ds = π (t) ) + ( (t) ) dt [ ] pues el áre de l nd de nhur ds es π ds. ds En el so prtiulr de que se l gráfi de = () qued: A=π +( ) d. Ej 5. Hllemos el áre de l superfiie esféri de rdio. Se puede ver omo el giro de = en torno =, por tnto: A = π + d = π d = 4π. O esriiendo (t) = ( os t, sen t), t [, π], on l primer fórmul: ds = dt, A = π π sen t dt = 4π. = 36

3 4.. Integrles de líne de mpos vetoriles Sen (t) :[, ] R n de f :R n R n mpo vetoril ontinuo sore l gráfi de. L integrl de líne del mpo f lo lrgo de se define f ds = f ( (t) ) (t) dt. Si f((t)) (t) es sólo ontinu trozos, dividimos el intervlo summos l integrles. Si (t) t T(t) = (t) f(((t)) (t) es el vetor tngente unitrio: T(t) f ds = [ ] f((t)) T(t) (t) dt = f T ds, se puede ver l integrl de líne de f omo l integrl del mpo eslr f T, omponente tngenil de f en l direión de. Por tnto: f ds es el trjo relizdo por un mpo de fuerzs f sore l prtíul que reorre. Se us otr notión (l dmos pr el plno). Si (t) = ( (t), (t) ), f(, ) = ( f (, ), g(, ) ) : f ds = [ ( ) f (t), (t) (t) + g ( (t), (t) ) (t) ] dt f (, ) d + g(, ) d. [L notión es similr pr n > ; uiddo!, sigue siendo integrl de líne]. Ej. lulemos vris integrles del líne del mpo f(, ) = (, +) : (t) = (t, t), t [, ], (t) = (4t, 4t ), t [, ], 3 (t) = ( t, t), t [, ] 4 (t) = 5 (t) = [desrien l mism urv, l terer en sentido ontrrio]. f ds= (t, 3t) (, ) dt = 6, f ds= / (6t 4, t ) (8t, 8t) dt = 3 f ds= { (t, ), t [, ] 6, ( ( t), 3( t)) (, ) dt = 6. (, t ), t [, ], f ds= 4 (t, t) (, ) dt + (t, t ) (, ) dt = 7 3. { (, t), t [, ] (t, ), t [, ], = 5 (, t) (, ) dt + ( (t ), +t ) (, ) dt = 5 6. [L integrl pree depender sólo de l urv del sentido en que se reorre; pr lgunos mpos no dependerá siquier de l urv, sólo del punto iniil del punto finl]. Ej. Hllemos l integrles pr los mismos k de rri, pero pr el mpo g(, ) = (, 4) : (t, 3t) (, ) dt = t dt =, / (4t, t ) (8t, 8t) dt = / 6t 3 dt =, ( 3 ( t), 3( t)) (, ) dt = ( t) dt =. [Úni distint]. 4 (, t) (, ) dt + (t, 5 4t) (, ) dt = (5 4t) dt =. 5 (t, 4t) (, ) dt + (, t 5) (, ) dt = 4t dt + =. Ej 3. Si (t) = ( t, t, ), l integrl z d + d + 3 dz = 5, 3 ( t + t 3 t + t 6 ) dt = 5. Ej 4. lulemos el trjo relizdo por un fuerz onstnte f = d l reorrer un prtíul un tretori r(t) = ( (t), (t), z(t) ) que une dos puntos del espio = r() = r() : z r d ds = (d, d, d 3 ) ( (t), (t), z (t) ) dt ( ) ( ) ( ) r(t) = d () () + d () () + d3 z() z() = d (r() r() ) = d ( ), independiente de r. f=d Si onsidermos (t) = r(+ t), t [, ], que reorre l mism urv en sentido opuesto, el trjo es d ds = (d, d, d 3 ) ( (t), (t), z (t) ) dt = d ( ). 4 37

4 Vemos lo que suede on l integrl l her un mio en el prámetro que desrie l urv. Se :[, ] R n h :[, ] [, ] un ieión. Si llmmos p= h :[, ] R n, ls tretoris p(u), u [, ] (t), t [, ], desrien l mism urv, en el mismo sentido o en h h sentido opuesto según se, respetivmente, h( ) = h( ) = o h( ) = h( ) = [se die que l reprmetrizión onserv o invierte l orientión de l urv]. Teor. Si p desrien l mism urv, entones según p lo hgn en el mismo sentido o en el opuesto se tiene, respetivmente: f ds = f ds, o ien f ds = f ds p Si es (si no, dividimos summos ls integrles), omo p (u) = (h(u)) h (u) es: p f ds = f ( (h(u)) ) (h(u)) h (u) du e f ds = f ( (t) ) (t) dt. Hiendo en l integrl de l izquierd h(u) =t, se tiene + o l integrl de l dereh, según se onserve o no l orientión, pues no min o sí los límites de integrión. Si estuviésemos integrndo un mpo eslr f, se tendrí siempre que: p f ds = f ( (h(u)) ) (h(u)) h (u) du = f ( (t) ) (t) dt = f ds, on esto tenemos prodo el teorem de l seión nterior. L integrl de líne de un mpo vetoril sólo depende de l urv el sentido en que se reorre (l un mpo eslr sólo de ). Podemos elegir ls más senills. Ej 5. Tiene un sentido preiso hlr de l integrl de f(, ) = (, ) lo lrgo de l irunfereni unidd reorrid en el sentido de ls gujs del reloj. [ Ls integrles sore urvs errds suelen representrse on el símolo ]. p ( ) Eligiendo (t) = (os t, sen t), t [, π] o [ π, π], o..., f ds = π ( sen t, ) ( sen t, os t) dt = π ( os t) dt = π. on ulquier prmetrizión que proporione el mismo sentido se lleg lo mismo. Ej 6. lulemos l integrl de líne del mpo vetoril f(,, z) = ( z, e, ) desde (,, ) hst (,, 3) lo lrgo del segmento que une los puntos. H muhs forms de prmetrizr un segmento en el espio. Pr este, on = onstnte, un si slt l vist: (t) = (, t, 3t), t [, ]. [ O tmién, on el diujo de l dereh: () = (,, 3 ), [, ] ]. En generl, vimos en. que (t) = +( ) t, t [, ] d el segmento que une [es un ret, si t = estmos en si t = en ]. Hllemos l integrl pedid (on l primer de ls prmetriziones dds): ( f ds = 3t, e t, t ) ( (,, 3) dt = e t +6t ) dt = e +. z 3 +( )t=(t) Ej 7. Hllr el trjo relizdo por el mpo de fuerzs f(,, z) = ( z, z, ) lo lrgo de l urv interseión de l esfer + +z =4 el plno z =, si es reorrid de modo que, vist desde ls z positivs, el sentido es ontrrio ls gujs del reloj. z z= Sore, omo z =, es + =4 (elipse). (t) = ( os t, sen t, sen t ), t [, π]. T = π ( ) ( ), sen t os t, os t sen t sen t, os t, os t dt = π dt = (el mpo es perpendiulr l tretori). [ Se verá más delnte que serán ls integrles sore un mino errdo de los mpos que sen grdientes de un mpo eslr; pero, pesr de ser =, este mpo no lo será, pues rot f = (,, ) ]. 38

5 4.3. Integrles de grdientes teorem de Green Generlizmos el teorem fundmentl del álulo infinitesiml g () d = g() g(). Teor. Se U : R n R un mpo eslr : [, ] R n un mino trozos. Entones: U ds = U ( () ) U ( () ). Si (si no, dividimos), U((t)) ( (t) dt = U ) (t) dt = U(()) U(()). regl de l den Por tnto, l integrl de líne de un grdiente no depende del mino, sólo del punto iniil finl. Si semos que un mpo es un grdiente, su integrl es inmedit. Además, si () = (), l urv desrit por es errd e U ds= : l integrl de líne de un grdiente sore un urv errd es. Si un mpo vetoril f es grdiente de lgun funión U, U se le llm funión potenil pr f, el mpo f se die onservtivo. ómo ser si f es onservtivo? Un ondiión neesri senill pr n = n = 3 es: Teor. Si f(, ) = ( f (, ), g(, ) ) de es onservtivo f g. Si f(,, z) = ( f (,, z), g(,, z), h(,, z) ) de es onservtivo rot f =. Si f = ( f, g) = (U, U ) = U, on U, por l iguldd de Shwrtz de ls derivds ruzds [ U = U ] dee ser f g. Y el mismo rgumento se pli si n=3. Si ls derivds ruzds no oiniden, no puede f ser grdiente. Si son igules, muhs vees es senillo hllr un U tl que U = f [unque l impliión no se iert en generl]. Ej. Se f(, ) = (, ). Hllemos l integrl entre (, ) (, ) lo lrgo de diferentes urvs: ) l ret que une los puntos, ) l práol =, ) l irunfereni + =. Posiles prmetriziones: ) = (t, t), ) = (t, t ), ) = ( t, t t ), on t [, ] tods. Ls integrles en d so son: ) (t, t ) (, ) dt = 3t dt =, ) (t 4, t 3 ) (, t) dt = 5t 4 dt =, ) (t t, t t t ) (, ) t t t dt = (4t 3t ) dt =. omo se umple ( ) = = (), esto nos he sospehr que f es mpo onservtivo. Es fáil en este so identifir un funión potenil: Si U =, dee ser U = +p() pr lgun funión p Si U =, dee ser U = +q() pr lgun funión q U(, ) =. [ U = + pr ulquier onstnte es tmién potenil, desde luego ]. Por tnto, ls prmetriziones álulos de integrles nteriores hn sido inútiles, puesto que l integrl lo lrgo de ulquier tretori deí vler U(, ) U(, ) = =. Por no depender del mino, h otrs forms de lulr un U : eligiendo minos senillos que unn el origen on el punto (, ) evlundo l integrl de líne. Por ejemplo, pr el trozos: { (t, ), t [, ] (t) = (, t), t [, ], ( f ds = (, ) (, ) dt + t, t ) (, ) dt =. Hiendo lo mismo pr un f = ( f, g) generl, otendrímos: f (t, ) dt + g(, t) dt = U(, ). Vemos qué mpos de los ejemplos de l seión nterior son onservtivos. El (, +) del no lo es por ser f = =g. El (, 4) del sí lo es: U = es su potenil. No lo es el del 3, (z,, 3 ) por no ser rot f. El f = d del 4 lo es [ on U = (d, d, d 3 z) ]. El (, ) del 5 no: no podí serlo pues vimos que su integrl sore un mino errdo er no nul tmién lo segur. Pr 6 7 el rot f es, respetivmente, (,, ) (,, ) on lo que no pueden derivr de un funión potenil U. 39

6 Ej. Hllemos l integrl de f(, ) = ( ), + + lo lrgo de + = en sentido ntihorrio. Si (t) = (os t, sen t), t [, π], f ds = π ( sen t, os t) ( sen t, os t) dt =π. No puede her un potenil que onteng l urv, pese ser f =g =. ( + ) Según este ejemplo, no st l iguldd de ls derivds ruzds pr ser onservtivo. Pero h que pedir poo más pr que sí ste. [Los dos teorems que siguen son más difíiles de demostrr neesitn el teorem de Stokes de 5.]. Teor 3. Si f es en todo R [ R 3 ] [ ] f g rot f = f es onservtivo. [ El mpo f del ejemplo semos hor que es onservtivo desde que vimos que f g. Pr el, f no er en (, ), el teorem no die que h potenil, no lo h en todo R ]. Ej 3. lulemos l integrl de líne del mpo vetoril f(,, z) = (4, 3z, 3) desde (,, ) hst (,, 3) lo lrgo del segmento que une los puntos. En el ejemplo 6 de 4. prmetrizmos el segmento, podemos hllr l integrl diretmente: (t) = (, t, 3t), t [, ] f ds = ( ), 5t, 6t (,, 3) dt = 8 t dt = 4 t] = 4. i j k Pero pr este mpo es rot f = / / / z = (3 3) i + ( ) j + ( ) k =. 4 3z 3 demás f es en R 3. Eiste, por tnto, un funión potenil U(,, z) pr el mpo f. Los álulos de los poteniles en R 3 son similres los de R : ee ser U = 4 U = + p(, z) U = 3z U = 3z + q(, z), U = +3z U z = 3 U = 3z + r(, ) f ds = U(,, 3) U(,, ) = 6 = 4. Este es el vlor de l integrl sore ulquier mino que un los puntos, por omplido que se. Por ejemplo, hllemos l integrl lo lrgo de (t) = ( e t t, t 3, 3t ), t [, ] : ( f ds = 4e t t, 9t 4t 3, 6t 3) (( t)e t t, 6t, 6t ) ( dt = ( 4t)e t t +9t 4 4t 5) dt = e t t + 8t 5 4t 6] = 4. El teorem 3 se puede refinr eigiendo hipótesis menos fuertes. No es preiso que f se en todo R o R 3. Bst on que lo se en lo que se llm un onjunto simplemente oneo : tod urv errd ontenid en el oneo ( de un sol piez ) dee poder ontrerse un punto de form ontinu dentro del onjunto (en el ejemplo no se puede). En R signifi que no tiene gujeros. En R 3, puntos sueltos de disontinuidd no molestn, pero sí, por ejemplo, no ser en tod un ret. Ej 4. Se f(,, z) = ( + +z ) 3/ i ( + +z ) 3/ j z( + +z ) 3/ (un mpo k grvittorio). f es en R 3 {(,, )}, que es simplemente oneo en el espio. ee eistir U. Se ve si ojo: U(,, z) = ( + +z ) / [. En esféris es U = ρ f = ] e ρ ρ = f ρ e ρ. L integrl lo lrgo de ulquier mino entre (,,) (,,) será f ds = 3 3= 3 [. ] Por ejemplo siguiendo el segmento (t, t, +t), t [, ] (6t+)(6t +t+) 3/ dt = 3. Ej *. En = { > } sí dee eistir potenil U pr f(, ) = ( ), + +. Lo es U =rtn. Sore ulquier urv errd ontenid en l integrl sí dee ser nul. Por ejemplo, sore l irunfereni (+os t, sen t), t [ π, π]. [Si se he l integrl, se omprue que vle ]. Aemos nuestro estudio de los sistems onservtivos dmitiendo este resultdo generl: Teor 4. Se f ontinuo en R n ierto. Entones son equivlentes ls firmiones: ) f es grdiente de un funión potenil U en. ) L integrl de líne de f es independiente del mino en. ) L integrl de f lo lrgo de todo mino errdo ontenido en es nul. 4

7 Teorems de Green de l divergeni Son teorems que relionn integrles doles e integrles de líne sore urvs errds en el plno. Veremos otros sore integrles de mpos vetoriles en el espio (estos se pueden onsiderr sos prtiulres de quellos), trtndo ls integrles de superfiie. Un urv simple es l imgen de un mino trozos inetivo. Un urv errd simple en R será l imgen de un : [, ] R, inetivo en [, ] tl que () = (). Un urv de ests puede reorrerse en dos sentidos diferentes; pr indir que un integrl se reorre en sentido ntihorrio esriiremos. Teorem de Green: urv no simple urv simple urv errd simple Se R limitdo por urv errd simple el mpo f = ( f, g) (). Entones: [ g f ] d d = f d + g d f ds. [ Osérvese que si f es onservtivo, el teorem de Green die = El el so de que fuese del primer tipo de reintos que onsidermos en ls integrles doles: = { (, ) :, () d() } se tendrí: f d d = d() f () (, ) d d = [ ] f (, ()) f (, d()) d. f ds omo deí ser ]. () Prmetrizndo los utro trmos de l fronter: (, ()), [, ] ; (, ), [(), d()], (, d()), [, ] ; (, ) ; [(), d()] f d = f (, ()) d + d() f (, ) d () f (, d()) d () f (, ) d = f (). Análogmente, pr reintos = { (, ) :, () () } se ve que g d = g. Se umplirá, pues d() f d + g d = [g f ] en un reinto que se de los dos tipos nteriores. ividiendo ulquier reinto generl en otros de estos últimos teniendo en uent que se neln ls integrles de líne sore segmentos omunes, por ser reorridos en sentido opuesto, se lleg l resultdo. Ej 5. Enontremos, usndo Green, el vlor π de l integrl de f(, ) = (, ) sore l irunfereni unidd luldo en el ejemplo 5 de 4.. omo el sentido de reorrido es opuesto l que pide Green g f = es: f ds = ( ) d d = d d = áre de = π = π. Ej 6. omproemos el teorem pr f(, ) = (, ) región limitd por = e =. si siempre es más orto el álulo de l integrl dole: [g f ] d d = d d = ( ) d = 4 3. L está formd por dos urvs distints fáilmente prmetrizles: () = (, ), [, ], () = (, ), [, ]. esriir esto equivle mir el signo l integrl f ds = (, ) (, ) d+ (, ) (, ) d = 5 d d = 3 = 4 3. Ej 7. Hllemos e sen d+ e os d, on retángulo [, ] [, π ]. ( +) dt + on Green: π/ π/ (+e 4 os t ) dt (e t +) dt ( e os e os ) d d = [ sen ] π/ π/ (+os t ) dt [ e e ] = e 4 e. ( t,π/) π/ (, t) (, t) ( t,) 4

8 Normlmente utilizremos Green pr reduir integrles de líne integrles doles, que suelen ser más senills. Pero en el siguiente ejemplo proedemos l ontrrio. Ej 8. lulemos el áre enerrd por l hipoiloide /3 + /3 = /3. Green die que: A= dd = d d, pues g f =. (θ) = ( os 3 θ, sen 3 θ), θ [, π] es l mejor prmetrizión. A = π [ ( os 3 θ)(3 sen θ os θ) ( sen 3 θ)( 3 os θ sen θ) ] dθ = 3 π sen θ os θ dθ = 3 6 π [ os 4θ] dθ = 3 8 π. [los pios de l urv preen pr = ]. el teorem de Green se otiene fáilmente: Teorem de l divergeni en el plno: Sen R limitdo por urv errd simple, f : R mpo vetoril, n el vetor norml unitrio eterior. Entones div f d d = f n ds. Si viene dd por (t) = ( (t), (t) ), l norml es n= ( (t), (t)) Si f = ( f, g), n F n f n ds = F = (t). [ f ((t), (t)) (t) g((t), (t)) (t) ] dt f d gd Green = ( f +g ) d d. (', ') [Imginemos un urv errd sore l superfiie de un fluido se F = f v, donde f es l densidd del fluido v su veloidd. Entones F n ds mide el ritmo on el que el fluido entr o sle de. Si l ntidd de fluido en disminue (ument) será < ( > ). L integrl oinide on div F. Por tnto, l div F desrie l tendeni del fluido umulrse o dispersrse]. n Ej 9. omproemos este teorem pr f(, ) = (7, ) en el semiírulo r 3, θ π : π 3 div f =, d d = r sen θ dr dθ = 36. Pr, si () = (, ), [ 3, 3], n= (, ), ( ) ds = 3 d =6. 3 Pr, si (t) = (3 os t, 3 sen t), t [,π], (t) =3. π ( omo n= (os t, sen t), f n ds = 3 7 os t+9 sen 3 t sen t ) dt =3. 36=6+3. Ej. omproemos los teorems de Green de l divergeni pr el mpo f(, ) = ( 3, ) el reinto del primer udrnte otd por = e =. (,) = Green: [g f ] = d d = (4 3 5 ) d = [ 4 ] 6 n = 6 = 6 3. (,) Posiles prmetriziones de los dos trmos de : () = (, ), [, ], = (, ), f ( ) = ( 3, 4 ) () = (, ), [, ], = (, ), f ( ) = ( 3, 3 ) f ds = ( ) d ( ) d = = 6 3. ivergeni: div f =4. n = (, ), n +4 = (,). 5 4 d d = f n ds = ( 3, 4 (, ) ) d ( 3, 3 ) (, ) 5 5 d = n (8 3 4 ) d = d =