Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1

Transcripción

1 ntegrles oles NTEGRALES OBLES e l mism mner que el onepto e integrl efini pr funiones e un vrile sirve pr resolver e un moo generl, el prolem e l eterminión e áres e figurs plns, el onepto e integrl ole permite resolver el prolem nlítio el álulo e volúmenes en el espio. En el so e l integrl simple, l integrión se he en un intervlo. En el so e os vriles primero se efine l integrl sore retángulos espués sore onjuntos más generles.. efiniiones previs Un onjunto se llm retángulo si es e l form:,, x, x,. P es un prtiión e,, si P P P, one P x, x,, xn, P es un prtiión e,. prtiión e L prtiión P P P x, x, i,,, m ivie l retángulo,,,,,, n, j,,, m. ij i i j j es un en nm suretángulos. Sums e Riemnn Se f : un funión ot P un prtiión ulquier e : L sum superior e f respeto e P, es: one n m ij i i j j i j S( f, P) M ( x x )( ), M sup f( x, ) / x x, x,,. ij i i j j L sum inferior e f respeto e P, es: n m ij i i j j i j s( f, P) m ( x x )( ), Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO

2 one ntegrles oles mij inf f( x, ) / x xi, xi, j, j Not: Como mij Mij pr ulesquier i,,, n, j,,, m o un retángulo, os prtiiones P P ' e, se ie que P si suretángulo e P ' está ontenio en un suretángulo e P. Resultos, s( f, P) S( f, P ). P ' es más fin que Se un retángulo. Si l prtiión s( f, P) s( f, P ') S( f, P) S( f, P '). P ' es más fin que l prtiión P, entones Se un retángulo, sen P s( f, P) S( f, P '). P ' os prtiiones ulesquier e. Se verifi que Este último resulto ini, en prtiulr, que el extremo superior e ls sums inferiores e f, orresponientes tos ls posiles prtiiones e, es menor o igul que el extremo inferior e ls sums superiores e f. Es eir,. ntegrión sore retángulos Un funión P prtiión e f : sup s( f, P) inf S( f, P ). P prtiión e P prtiión e ot, es integrle Riemnn en si sup s( f, P) inf S( f, P ). A este número se le llm integrl ole e f en P prtiión e. se enot: f ( x, ) x Resulto: Se un retángulo. Un funión ot f : es integrle sore si sólo si pr too existe un prtiión P e tl que S( f, P) s( f, P). efiniión: Un onjunto A tiene ontenio nulo si existe un número finito e retángulos,,..., n tl que A n n i. i... Áre Not: Tienen ontenio nulo en los onjuntos finitos e puntos, l unión finit e onjuntos e ontenio nulo, los segmentos, ls gráfis e funiones ontinus en un Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO

3 ntegrles oles intervlo [,], ls urvs e que se puen poner omo unión e un número finito e gráfis e funiones ontinus en intervlos erros Resulto: To funión ot en un retángulo ontinu en slvo lo sumo en los puntos e un onjunto e ontenio nulo es integrle en. En prtiulr to funión ontinu en un retángulo es integrle en. 4. Teorem e Fuini (Cálulo e integrles oles sore retángulos) Se f un funión integrle en el retángulo [, ] [, ]. ) Si pr [, ] (slvo lo sumo un número finito e ellos) existe f ( xx, ) g( ) entones g es integrle en [, ] f ( x, ) x f ( x, ) x ) Si pr x [, ] (slvo lo sumo un número finito e ellos) existe f ( x, ) hx ( ) entones h es integrle en [, ] f ( x, ) x f ( x, ) x efiniión: Ls integrles f ( x, ) x, (, ) iters o suesivs e l funión f en. Nots. Se puee esriir tmién f ( x, ) x f ( x, ) x x f ( x, ) f x x se llmn integrles f ( x, ) x f ( x, ) x f ( x, ) x. Si l funión f es ontinu en, entones existen ls os integrles iters oinien on l integrl ole.. Si f ( x, ) g( x) h( ), on g h ontinus, entones f ( x, ) x g( x) x h( ). Ejemplos. L funión f ( x, ) x x es integrle en [, ] [, ] pues es ontinu en. Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO

4 ntegrles oles x x ( x x ) x ( x x ) x (Compror que mino el oren e integrión que lo mismo). Clulr ) os x sieno,, Sol: 8 ) x ( x ) sieno ( x, ) / x, Sol: ln 4 5. ntegrión sore onjuntos más generles Se un onjunto oto u fronter tiene ontenio nulo se un retángulo que ontiene. Un funión ot f : es integrle Riemnn en si solo si l funión f es integrle en el retángulo, sieno ˆ( f( x, ) si ( x, ) f x, ) si ( x, ) En este so se efine f ( x, ) x f ( x, ) x Nots. L efiniión es inepeniente el intervlo elegio, siempre que.. Si l funión f es ontinu en el onjunto slvo lo sumo en los puntos e un onjunto e ontenio nulo, entones f es integrle en. En prtiulr si f es ontinu en entones es integrle en. nterpretión geométri e l integrl ole Se f : un funión integrle tl que f ( x, ) ( x, ). Si es el onjunto situo jo l superfiie z f ( x, ), es eir: ( x, z, ) / ( x, ), z f( x, ), entones f ( x, ) x es el volumen el uerpo. Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO 4

5 ntegrles oles En prtiulr, si f ( x, ) ( x, ) se tiene que x Áre(), lo que permite lulr áres e figurs plns meinte un integrl ole. 6. Propiees e l integrl Si f g son funiones integrles en un onjunto, tmién son integrles en ls funiones f g, f g f ( ), se umple:. f ( x, ) g( x, ) x f ( x, ) x g( x, ) x.. f ( x, ) x f ( x, ) x.. Si, sieno un onjunto e ontenio nulo, entones: f ( x, ) x f ( x, ) x f ( x, ) x 7. Teorem el vlor meio integrl Se un onjunto ompto onexo u fronter tiene ontenio nulo. Si f : es ontinu en, entones existe l menos un punto x, tl que Al vlor, (, ) (, ) Áre( ) f x x f x f x se le llm promeio integrl. 8. Cálulo e integrles oles sore reintos estánr on, funiones ontinus en [, ] x) ( ) x [, ].. Se S ( x, ) / x, ( x) ( x) ( x Si l funión f es ontinu en S entones:. Se T ( x, ) / ( ) x ( ), [, ] ( ) ( ) [, ]. ( x) f ( x, ) x x f ( x, ) S ( x) on, funiones ontinus en Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO 5

6 ntegrles oles Si l funión f es ontinu en T entones: ( ) f ( x, ) x f ( x, ) x T ( ) Utilizno l propie e itivi on respeto l reinto e integrión (propie. el prto 6 e ls propiees e l integrl), se puee integrr sore onjuntos más generles, que se puen esomponer en unión e reintos e los tipos nteriores. Ejemplos. L funión f ( x, ) x es integrle en el onjunto (, ) /, sen x x x, pues es ontinu en. sen x ( x ) x x ( x ) sen x x x sen x x sen x x Clulr xx sieno el reinto el primer urnte limito por ls práols x, 6 x l ret x. Sol: 9. Hllr el áre el reinto limito por ls urvs x, x. Sol: 9 9. Cmio e vrile Sen S, el mio e vrile x x( u, v) ( u, v) tl que l pliión S ( uv, ) ( xuv (, ), uv (, )) es ietiv, ls funiones x, miten erivs priles ontinus respeto u v en S el joino (J) e l pliión es istinto e en S slvo lo sumo en los puntos e un onjunto e ontenio nulo. Entones, si f : es integrle, se verifi que f ( x, ) x f ( x( u, v), ( u, v)) J uv S Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO 6

7 ntegrles oles Not: J x u et u x v v Cmio oorens polres Coorens rtesins P x, P x, Coorens polres P,, [, ) x x os sen, J os sen sen os x Ejemplos. Si l pliión S es ietiv, hllr el onjunto S en los (, ) ( os, sen ) siguientes sos: ) ( x, ) / x r, ( r ) ) ( x, ) / x r, x, ( r ) ) ( x, ) /4 x 9, x Sol: ) S (, ) / r,, ) ) S (, ) /, S (, ) / r,,. Hieno el mio polres en l integrl x x sieno ( x, ) /4 x 9 que: x x = 8. Clulr x x sieno ( x, ) / x, x. Sol: Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO 7

8 EJERCCOS PROPUESTOS ntegrles oles x.- Clulr ) e x sieno ( x, ) / x ) x sieno ( x, ) / x, x ( x ).- Si l integrl ole e l funión ontinu f sore un reinto el plno se puee expresr meinte ls integrles iters s ontinuión, representr el reinto mir el oren e integrión: ) ) xx x f ( x, ) ) x x x x x x f ( x, ) x f ( x, ) x f ( x, ).- Psr oorens polres en l integrl f ( x, ) x, sieno l región limit por ls irunferenis x + = 4x, x + = 8x ls rets = x, = x. 4.- Hllr x x, sieno,, x emostrr que x ln. ln x 5.- L tempertur e un pl es proporionl su istni l origen. ih pl se enuentr situ en l región ( x, ) / x 5 (,) su tempertur es ºC, hllr l tempertur mei e ih pl.. Sieno que en el punto 6.- Hllr el áre enerr por l lemnist, u euión en oorens polres es: os ( ). 7.- Se ( x, ) / x,, x, x x x.. Clulr l integrl ole 8.- Clulr x x, sieno {( x, ) / x,, x }. 9.- Clulr f, f x, x x, sieno f l funión efini en,, e si x si ( x, ) se enuentr en el resto e omo Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO 8

9 ntegrles oles SOLUCONES E LOS EJERCCOS PROPUESTOS.- ) e e ).- ) f ( x, ) x ) f ( x, ) x f ( x, ) x ) f ( x, ) x rtg 8os.-,,, 4 f x 4os 4.- x x ln 5.-. gros e Uni oente e Mtemátis e l ETSTGC Asigntur: CÁLCULO 9