MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EXAMEN FINAL

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EXAMEN FINAL. (,5 puntos) D l siguiente euión mtriil: 6 z otener e form rzon los vlores e,, z. 5. Se el siguiente sistem e ineuiones 6. 7 ) (,5 puntos) Represent el onjunto soluión etermin sus vérties. ) ( punto) Hll el punto el reinto nterior en el ul l funión F(, ) 5 lnz su vlor máimo. Justifi el resulto.. (Seletivi, Cntri 6) ( puntos) El oste e prouión e unies mensules e un etermino prouto es C( ) 5 5, el preio e vent e uni es 7 euros. Hll el número e unies que een venerse mensulmente pr que el enefiio se máimo. A uánto siene iho enefiio? Y los ingresos?. (,5 puntos) Determin el áre finit e l región el plno ompreni entre ls os práols e Del lumno que se mtriul en l universi, el 6 % l rrer elegi, e éstos, el 5 % son hios. Aemás, el 5 % mi e rrer, e los que el % son his, el 5 % ej los estuios, e los que el 5 % son hios. ) (,5 puntos) Construir un igrm e árol. ) (,5 puntos) Elegio un lumno l zr, uál es l proili e que se hio? ) (,5 puntos) Elegio un hio l zr, uál es l proili e que mie e rrer? 6. El peso e ls pers e un oseh (en Rinón e Soto) sigue un istriuión norml on un esviión típi e 5 grmos. ) ( punto) Supongmos que tommos un muestr e pers otenemos un peso meio e 5 grmos, eterminr un intervlo e onfinz l 9 % pr l mei el peso. ) (,5 puntos) Cuál hrá sio el tmño l mei e un muestr si el intervlo e onfinz l 85% otenio pr l mei el peso es (56,, 6,6)? Allá e Henres, 6 e mo e 8

2 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EXAMEN FINAL (Reuperión e Álger). ( puntos) D l siguiente euión mtriil: 6 z otener e form rzon los vlores e,, z. 5. Se el siguiente sistem e ineuiones 6. 7 ) (,5 puntos) Represent el onjunto soluión etermin sus vérties. ) ( punto) Hll el punto el reinto nterior en el ul l funión F(, ) 5 lnz su vlor máimo. Justifi el resulto.. (,5 puntos) Hll ls mtries A urs e oren, que verifin l igul: A A.. D l mtriz A, hll: ) ( punto) Los vlores e pr los que l mtriz A pose invers. ) ( punto) L invers e A pr =. 5. Se quiere estimr l proporión e persons que espern que su situión eonómi mejore el ño próimo. Pr ello se h pregunto 5 persons e es polión, e ls 75 espern que su situión eonómi mejore: son optimists. ) ( punto) Clul un intervlo e onfinz pr l proporión e persons optimists en est polión, on un nivel e onfinz el 9%. ) ( punto) Si ntes e onoer el resulto se quiere eterminr un intervlo e onfinz on el mismo nivel (9%) un error máimo e,, uál ee ser el tmño mínimo e l muestr? Allá e Henres, 6 e mo e 8

3 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EXAMEN FINAL (Reuperión e Análisis). D l funión f( ), hll: ) ( punto) Sus intervlos e reimiento reimiento; sus etremos reltivos, si los tiene. ) (,8 puntos) Con l informión hll en el prto nterior no lgunos vlores hz un esozo e su gráfi, inino si tiene lgun síntot. ) (,7 puntos) L euión e l ret tngente l gráfi e f en el punto e sis =.. ( puntos) Clul los vlores e los prámetros, en l funión f ( ), sieno que ps por el origen e oorens que tiene un máimo reltivo en el punto (, ).. ( puntos) El oste e prouión e unies mensules e un etermino prouto es C( ) 5 5, el preio e vent e uni es 7 euros. Hll el número e unies que een venerse mensulmente pr que el enefiio se máimo. A uánto siene iho enefiio? Y los ingresos?. (,5 puntos) Determin el áre finit e l región el plno ompreni entre ls os práols e Se quiere estimr l proporión e persons que espern que su situión eonómi mejore el ño próimo. Pr ello se h pregunto 5 persons e es polión, e ls 75 espern que su situión eonómi mejore: son optimists. ) ( punto) Clul un intervlo e onfinz pr l proporión e persons optimists en est polión, on un nivel e onfinz el 9%. ) ( punto) Si ntes e onoer el resulto se quiere eterminr un intervlo e onfinz on el mismo nivel (9%) un error máimo e,, uál ee ser el tmño mínimo e l muestr? Allá e Henres, 6 e mo e 8

4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EXAMEN FINAL (Reuperión e Proili). Del lumno que se mtriul en l universi, el 6 % l rrer elegi, e éstos, el 5 % son hios. Aemás, el 5 % mi e rrer, e los que el % son his, el 5 % ej los estuios, e los que el 5 % son hios. ) (,6 puntos) Construir un igrm e árol. ) (,8 puntos) Elegio un lumno l zr, uál es l proili e que se hio? ) (,6 puntos) Elegio un hio l zr, uál es l proili e que mie e rrer?. En un lse e hillerto, el 6% e los lumnos pruen mtemátis, el 5% pruen inglés el % pruen ls os signturs. Clule l proili e que un lumno elegio l zr: ) (,5 puntos) Apruee lgun e ls os signturs (un o ls os). ) (,5 puntos) Apruee Mtemátis sieno que h proo inglés.. ( puntos:, puntos prto) Se hen os lnzmientos e un o on seis rs numers el l 6, se onsiern los suesos: A = l sum e ls os puntuiones es pr B = l primer e ls puntuiones es impr. Hll: ) P (A) ) P (B) ) P( A B) ) P( A B). e) Son inepenientes los suesos A B?. A lo lrgo e ls iferentes prues e Seletivi se h oservo que l istriuión e ls lifiiones en el emen e Mtemátis siguen un le norml e mei 5,7 puntos esviión típi,8. ) (,7 puntos) Cuál es l proili e que l not e un estuinte elegio l zr se superior 6,? ) (,8 puntos) Cuál es l proili e que un muestr e 9 lumnos teng un mei superior 6, puntos? 5. El peso e ls pers e un oseh (en Rinón e Soto) sigue un istriuión norml on un esviión típi e 5 grmos. ) ( punto) Supongmos que tommos un muestr e pers otenemos un peso meio e 5 grmos, eterminr un intervlo e onfinz l 9 % pr l mei el peso. ) (,5 puntos) Cuál hrá sio el tmño l mei e un muestr si el intervlo e onfinz l 85% otenio pr l mei el peso es (56,, 6,6)? 6. Se quiere estimr l proporión e persons que espern que su situión eonómi mejore el ño próimo. Pr ello se h pregunto 5 persons e es polión, e ls 75 espern que su situión eonómi mejore: son optimists. ) ( punto) Clul un intervlo e onfinz pr l proporión e persons optimists en est polión, on un nivel e onfinz el 9%. ) ( punto) Si ntes e onoer el resulto se quiere eterminr un intervlo e onfinz on el mismo nivel (9%) un error máimo e,, uál ee ser el tmño mínimo e l muestr? Allá e Henres, 6 e mo e 8

5 Soluiones: Emen finl. (,5 puntos) D l siguiente euión mtriil: 6 z otener e form rzon los vlores e,, z. Operno se otiene: 6 z 6 z 6 z 6 z. El sistem otenio se resuelve meinte trnsformiones e Guss: E E z = ; = ; z =. Se el siguiente sistem e ineuiones ) (,5 puntos) Represent el onjunto soluión etermin sus vérties. ) ( punto) Hll el punto el reinto nterior en el ul l funión F 5 ), ( lnz su vlor máimo. Justifi el resulto. ) Representno un e ls rets sois ls ineuiones se otiene l región somre en l siguiente figur. Ret 5 Puntos: (, ) (, ). 5 semiplno e l ereh. Ret 6 Puntos: ( 6, ) (, ). 5 semiplno e l ereh. Ret 7 Puntos: (, 7/) (7/, ). 7 semiplno e l izquier. El onjunto e soluiones es l región el plno omún ls tres restriiones s: es l región somre más osur. Se trt e un región iert, on solo os vérties.

6 Estos vérties son ls soluiones e los sistems eterminos por os rets. Son: 5 P: 6 P = (, ); Q: Q = (8, 7). 6 7 ) Pr regiones ierts, l soluión óptim, si eiste, se en el ore e ih región; en prtiulr en lguno e los vérties nteriores. El vlor e F(, ) 5 en esos puntos es: En P, F(,) 5 6 ; En Q, F(8,7) Así pues, el máimo uso es 9 se lnz en el punto Q(8, 7). Comproión meinte ls rets e nivel. Ls rets e nivel sois F(, ) 5 son ls e euión 5 k, one k ini el nivel. Tos ess rets son prlels: trslánols izquier o ereh vrí el vlor e k. En este so, trslánol hi rri el nivel ument. Como el punto más lto (e l región ftile perteneiente un e ess rets) es Q, en él se tenrá el máimo uso. L euión e es ret más lt es (Seletivi, Cntri 6) ( puntos) El oste e prouión e unies mensules e un etermino prouto es C( ) 5 5, el preio e vent e uni es 7 euros. Hll el número e unies que een venerse mensulmente pr que el enefiio se máimo. A uánto siene iho enefiio? Y los ingresos? El enefiio es igul los ingresos menos los gstos. Si el preio e vent e uni es 7, los ingresos por l vent e unies serán: I( ) 7 7. Como l funión e ostes es C( ) 5 5, entones, l funión e enefiios será: 5 B( ) I( ) C( ) B( ) El enefiio máimo se en l soluión e B ( ) que hg negtiv B ( ). 5 B ( ) Como B ( ), pr = 7 se otiene el enefiio máimo. 5 Ese enefiio máimo es B(7) , Los ingresos sienen I(7)

7 . (,5 puntos) Determin el áre finit e l región el plno ompreni entre ls os práols e 6 9. Cálulo el punto e orte e ls práols: = ; =. L región es l somre en l figur junt. El áre viene por: ( ) ( 6 9) 8 = S 8 = u. 5. (Seletivi, Cnris 6) Del lumno que se mtriul en l universi, el 6 % l rrer elegi, e éstos, el 5 % son hios. Aemás, el 5 % mi e rrer, e los que el % son his, el 5 % ej los estuios, e los que el 5 % son hios. ) (,5 puntos) Construir un igrm e árol. ) (,5 puntos) Elegio un lumno l zr, uál es l proili e que se hio? ) (,5 puntos) Elegio un hio l zr, uál es l proili e que mie e rrer? ) Sen los suesos: T = r l rrer; C = mir e rrer; D = ejr los estuios; H = hio; M = hi. Se onoen ls siguientes proilies: P( T),6; P( H / T),5 P( M / T),55 ; P( C),5; P( M / C), P( H / C),7 ; P( D),5; P( H / D),5 P( M / D),5. El igrm e árol orresponiente es el junto. ) Por l proili totl: P( H) P( T) P( H / T) P( C) P( H / C) P( D) P( H / D) PH ( ),6, 5, 5,7,5,5,5. ) Por Bes: P( C) P( H / C),5,7 75 P( C / H),7. PH ( ), (EvAU, L Rioj 7) El peso e ls pers e un oseh (en Rinón e Soto) sigue un istriuión norml on un esviión típi e 5 grmos. ) ( punto) Supongmos que tommos un muestr e pers otenemos un peso meio e 5 grmos, eterminr un intervlo e onfinz l 9 % pr l mei el peso. ) (,5 puntos) Cuál hrá sio el tmño l mei e un muestr si el intervlo e

8 onfinz l 85% otenio pr l mei el peso es (56,, 6,6)? El intervlo e onfinz e l mei polionl, pr ls muestrs e tmño n es: IC Z/, Z/ n n, sieno:, l mei e l muestr; l esviión típi e l polión; Z /, el vlor orresponiente en l tl norml pr un onfinz e. En este so se se que: = 5; n = ; = 5; α = 9 % Z / =,65. Por tnto: IC 5 5 5, 65, 5, 65 (5,7, 5 +,7) = = (6,6, 5,7) ) Si el intervlo e onfinz fuese (56,, 6,6), entones l mei hrí sio = 6 g (es el punto meio el intervlo, lo que impli un error máimo e,6 g);, omo pr un onfinz el 85 %, Z / =, (en l tl h que usr α/ = (,85)/ =,95), se eue que 5, 5, 6, n n,6 El tmño muestrl hrá sio n =.

9 Soluiones (Álger) Pregunts. Vistos. L pregunt 5 está resuelt más trás.. (Propuesto en Seletivi 6, Cstill León) (,5 puntos) Hll ls mtries A urs e oren, que verifin l igul: A A. Si A se ese que: = ; = ; = L soluión el sistem viene en funión e os inetermins,. Luego, A. Un e ls mtries es A, que se otiene no los vlores = = -.. D l mtriz A, hll: ) ( punto) Los vlores e pr los que l mtriz A pose invers. ) ( punto) L invers e A pr =. ) L mtriz A posee invers uno su eterminnte se istinto e ero. A =, = Por tnto, l mtriz A posee invers uno. ) Pr =, A A =. L mtriz invers viene por A A A t ij ) (, sieno ij A l mtriz e los juntos e A. 8 7 ij A 8 7 A 8 7

10 Soluiones (Análisis). D l funión f( ), hll: ) ( punto) Sus intervlos e reimiento reimiento; sus etremos reltivos, si los tiene. ) (,8 puntos) Con l informión hll en el prto nterior no lgunos vlores hz un esozo e su gráfi, inino si tiene lgun síntot. ) (,7 puntos) L euión e l ret tngente l gráfi e f en el punto e sis =. ) Derivno: f( ) f ( ) L eriv se nul en =, posile máimo o mínimo. Pr <, f ( ) l funión es reiente. Pr >, f ( ) l funión es ereiente. Por tnto, en = se tiene un máimo. Tmién porí herse l eriv segun: f ( ) 6. Como f (), en = se tiene un máimo reltivo. ) L funión tiene un síntot horizontl pues: lim. L síntot es l ret =. Como f( ) en too R, l urv v por enim e l síntot. Algunos puntos: (, ), máimo; (, /); (, /); (,,); (,,). Su gráfi es l siguiente. ) L euión e l ret tngente un funión f en el punto = es: f () f (). Como f () f (), l euión e l tngente pei es:. (Seletivi, Cstill L Mnh 6) ( puntos) Clul los vlores e los prámetros, en l funión f ( ), sieno que ps por el origen e oorens que tiene un máimo reltivo en el punto (, ).

11 Derivno f ( ) f ( ). Por psr por el origen: f (). Por psr por el punto (, ). Por máimo en (, ) f (). Resolvieno =, = 6. L funión es f ( ) 6. Puee omprorse que en (, ) se un máimo reltivo, pues f ( ), sieno f ().. (Seletivi, Cntri 6) ( puntos) El oste e prouión e unies mensules e un etermino prouto es C( ) 5 5, el preio e vent e uni es 7 euros. Hll el número e unies que een venerse mensulmente pr que el enefiio se máimo. A uánto siene iho enefiio? Y los ingresos? El enefiio es igul los ingresos menos los gstos. Si el preio e vent e uni es 7, los ingresos por l vent e unies serán: I( ) 7 7 Como l funión e ostes es C( ) 5 5, entones, l funión e enefiios será: 5 B( ) I( ) C( ) B( ) El enefiio máimo se en l soluión e B ( ) que hg negtiv B ( ). 5 B ( ) Como B ( ), pr = 7 se otiene el enefiio máimo. 5 Ese enefiio máimo es B(7) , Los ingresos sienen I(7) Resuelt nteriormente. 5. Se resuelve más trás.

12 Soluiones (Proili). (Seletivi, Cnris 6) Del lumno que se mtriul en l universi, el 6 % l rrer elegi, e éstos, el 5 % son hios. Aemás, el 5 % mi e rrer, e los que el % son his, el 5 % ej los estuios, e los que el 5 % son hios. ) (,6 puntos) Construir un igrm e árol. ) (,8 puntos) Elegio un lumno l zr, uál es l proili e que se hio? ) (,6 puntos) Elegio un hio l zr, uál es l proili e que mie e rrer? ) Sen los suesos: T = r l rrer; C = mir e rrer; D = ejr los estuios; H = hio; M = hi. Se onoen ls siguientes proilies: P( T),6; P( H / T),5 P( M / T),55 ; P( C),5; P( M / C), P( H / C),7 ; P( D),5; P( H / D),5 P( M / D),5. El igrm e árol orresponiente es el junto. ) Por l proili totl: P( H) P( T) P( H / T) P( C) P( H / C) P( D) P( H / D) PH ( ),6, 5, 5,7,5,5,5. ) Por Bes: P( C) P( H / C),5,7 75 P( C / H),7. PH ( ),5 5. (Argón, septiemre 7) En un lse e hillerto, el 6% e los lumnos pruen mtemátis, el 5% pruen inglés el % pruen ls os signturs. Clule l proili e que un lumno elegio l zr: ) (,5 puntos) Apruee lgun e ls os signturs (un o ls os). ) (,5 puntos) Apruee Mtemátis sieno que h proo inglés. Sen M e I los suesos pror mtemátis e inglés, respetivmente. Se se que: PM,6,,5 P I ; PM I,. ) Por l proili e l unión e suesos: P M I P M P I P M I =,6 +,5, =,8. ) Por l proili oniion: PM I, PM / I,6. P I,5 Puee herse un igrm e Venn omo el junto.

13 . Se hen os lnzmientos e un o on seis rs numers el l 6, se onsiern los suesos: A = l sum e ls os puntuiones es pr B = l primer e ls puntuiones es impr. Hll: ) P (A) ) P (B) ) P( A B) ) P( A B). e) Son inepenientes los suesos A B? Puntuión:, puntos prto. ) El espio muestrl está formo por 6 suesos elementles: E = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 5), (, 6), (, ), (, ); (6, 5), (6, 6)} El resulto e l sum e los os os es el inio en l siguiente tl ) L sum es pr en 8 e los 6 suesos elementles. Por tnto, 8 PA ( ). 6 ) L primer e ls puntuiones es impr tmién pr 8 e los 6 suesos elementles. 8 (En l tl estos suesos se hn oloreo en rojo.) Por tnto, PB ( ). 6 ) El sueso A B = {(, ), (, ), (, 5), (, ), (, ), (, 5), (5, ), (5, ), (5, 5)}. (Son los suesos suros en rojo). 9 Por tnto, P A B. 6 ) P A B P( A) P( B) P A B =. e) Dos suesos A B son inepenientes uno P( A B) P( A) P( B). En este so se umple es relión, pues P( A B) = = P( A) P( B ). Por tnto, los suesos A B son inepenientes.. A lo lrgo e ls iferentes prues e Seletivi se h oservo que l istriuión e ls lifiiones en el emen e Mtemátis siguen un le norml e mei 5,7 puntos esviión típi,8. ) (,7 puntos) Cuál es l proili e que l not e un estuinte elegio l zr se superior 6,? ) (,8 puntos) Cuál es l proili e que un muestr e 9 lumnos teng un mei superior 6, puntos?

14 5,7 ) L polión es N(5,7,,8). Se tipifi hieno el mio Z. Por tnto,,8 6, 5, 7 P PZ P Z P Z,8 6,,, ) Ls meis muestrles e tmño n = 9 se istriuen omo un norml N 5,7,,57. Se tipifi hieno el mio 5,7 Z. Por tnto,,57 6, 5, 7 P PZ P Z P Z,57 6,,, =,69 =,77. N 5,7,,8 9 =,99 =, (EvAU, L Rioj 7) El peso e ls pers e un oseh (en Rinón e Soto) sigue un istriuión norml on un esviión típi e 5 grmos. ) ( punto) Supongmos que tommos un muestr e pers otenemos un peso meio e 5 grmos, eterminr un intervlo e onfinz l 9 % pr l mei el peso. ) (,5 puntos) Cuál hrá sio el tmño l mei e un muestr si el intervlo e onfinz l 85% otenio pr l mei el peso es (56,, 6,6)? El intervlo e onfinz e l mei polionl, pr ls muestrs e tmño n es: IC Z/, Z/ n n, sieno:, l mei e l muestr; l esviión típi e l polión; Z /, el vlor orresponiente en l tl norml pr un onfinz e. En este so se se que: = 5; n = ; = 5; α = 9 % Z / =,65. Por tnto: IC 5 5 5, 65, 5, 65 (5,7, 5 +,7) = = (6,6, 5,7) ) Si el intervlo e onfinz fuese (56,, 6,6), entones l mei hrí sio = 6 g (es el punto meio el intervlo, lo que impli un error máimo e,6 g);, omo pr un onfinz el 85 %, Z / =, (en l tl h que usr α/ = (,85)/ =,95), se eue que 5, 5, 6, n n,6 El tmño muestrl hrá sio n =. 6. Se quiere estimr l proporión e persons que espern que su situión eonómi mejore el ño próimo. Pr ello se h pregunto 5 persons e es polión, e ls 75 espern que su situión eonómi mejore: son optimists. ) ( punto) Clul un intervlo e onfinz pr l proporión e persons optimists en

15 est polión, on un nivel e onfinz el 9%. ) ( punto) Si ntes e onoer el resulto se quiere eterminr un intervlo e onfinz on el mismo nivel (9%) un error máimo e,, uál ee ser el tmño mínimo e l muestr? ) L proporión e optimists en l muestr es 75 pˆ,5. Por tnto, ee estuirse 5 omo un inomil B(5,,5). En este so, pr el 9% e onfinz, Z / =,88; pˆ =,5, ˆq =,65 n = 5, el intervlo e onfinz pr estimr l proporión e optimists será:,5, 65,5, 65,5,88,,5, = = (,5,,,5 +,) = (,,,9). ) Si no se onoe l proporión e optimists puee suponerse p = q =,5. pq El error mitio E, viene o por E Z/. n,5,5 Si se ese que E <,,,88 n El tmño mínimo ee ser 97 persons.,5,5 n n > 97,78,88, Allá e Henres, 6 e mo e 8.