2.3.2 VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA EL VÉRTICE.
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- Manuela Naranjo Hernández
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1 .3. VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA..3.. EL VÉRTICE. El vértie es un punto que form prte de l prábol, el ul tiene omo ordend el vlor mínimo o máimo de l funión. En ese punto se puede trzr un eje imginrio que he simétri l gráfi de l funión, el ul es llmdo eje de simetrí. El vértie l ser un punto que form prte de l prábol se represent por medio de un oordend V(h, k), donde: V represent l vértie. h represent el vlor de su bsis (vlor de ). k represent el vlor de su ordend (vlor de f()). El vlor de h se puede lulr on l fórmul h= b El vlor de k se debe obtener sustituendo el vlor de h en l funión k= +b+. El vértie, se enuentr en un punto máimo de l funión. El vértie, se enuentr en un punto mínimo de l funión.
2 .3... MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. Eiste un punto máimo en un funión undo l urv ps de reiente dereiente. Eiste un punto mínimo en un funión undo l urv ps de dereiente reiente. Se die que un funión es reiente en un intervlo I, si pr d pr de vlores, que perteneen l intervlo I, donde <, se tiene f() <f(). Se die que un funión es dereiente en un intervlo I, si pr d pr de vlores, que perteneen l intervlo I, donde <, se tiene f()>f(). Punto máimo. Punto mínimo. L urv ps de reiente dereiente. L urv ps de dereiente reiente.
3 .3.3 CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. Llmmos eros o ríz de un funión los vlores de que hen que l euión se hg ero. Ls ríes representn los puntos en los que l gráfi ort l eje. Un funión puede o no tener ríes. Sin ríz, no ort l eje. ríz, =- ríz, =0 ríes; =-.73 =.73 3 ríes; =-.95, =-. 3= ríes; = -.5, = -0.33, 3=0.75 4=.7 Ls euiones udrátis se lsifin, según los términos que l onformn en: ) Inomplets. Si en l euión +b+=0 el vlor de b /o son nulos (es ero), entones, se trt de un euión udráti inomplet. Ejemplos: ) =0 b=0 =0 ) +=0 =0 3) +3=0 b=0 b) Complets. Si en l euión +b+=0 el vlor de, b ó son distintos de ero, entones se trt de un euión udráti omplet. Ejemplos: ) ++4=0 ) +-3=0 3) 3-4+=0
4 .3.3. RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA. Pr obtener ls ríes de un euión udráti inomplet tenemos tres sos: Cso. Cundo l euión udráti tiene l form =0. Pr que l euión se hg ero se requiere busr un número que l ser multiplido por otro distinto ero (en este so por ), nos dé omo produto ero. El vlor pr que ondue esto es únimente el ero, sí que: Pr ulquier euión de l form =0 tiene omo úni ríz o soluión: =0. Esto se puede observr gráfimente omo ontinuión se muestr: Ríz =0 Ríz =0 f()= f()=-3 Cso. Cundo l euión udráti tiene l form +b=0. Pr enontrr ls ríes h que onsiderr lo siguiente: Como en el primer segundo término de l euión pree, se debe ftorizr l euión nos qued omo: (+b)=0. El primer miembro de l euión tiene dos ftores, +b. El produto de ()(+b) debe ser igul ero, pr que esto se umpl es neesrio que ulquier de estos dos ftores se ero, es deir: =0 ó +b=0 Si =0 l euión se stisfe por lo tnto es un ríz o soluión. Si +b=0, l euión tmbién se stisfe, sólo bst determinr uál es el vlor de pr el que +b=0. Este vlor se determin despejndo de l epresión +b=0, quedndo despejdo de l siguiente mner: = b Por lo tnto, ls ríes de un euión udráti de l form +b=0 son: =0 = b
5 Esto se puede observr gráfimente omo ontinuión se muestr: =.5 =- +=0 +b=0 Por lo nterior = b= b =0 = = = - =0 =0 - +3=0 +b=0 Por lo nterior =- b=3 b 3 =0 = = = Cso 3. Cundo l euión udráti tiene l form +=0. Ls ríes se obtienen l despejr de l euión +=0, quedndo de l siguiente mner: = smos ríz udrd =+ = - siempre que 0 Esto se puede observr gráfimente omo ontinuión se muestr: +=0 +=0 Por lo nterior = = =+ = omo no es 0 L euión no tiene ríes o soluión. =- 4 -=0 +=0 Por lo nterior =4 =- = = = 4 =+ =- =+ = 4
6 Ejemplos resueltos. Ejemplo. Construir l gráfi de l siguiente funión f()= -3, estbleiendo su dominio, rngo, ls oordends de su vértie sus ríes. Soluión: f()= -3 (, f()) -3 (-3 ) -3= 9-3= 6 (-3, 6) - (- ) -3= 4-3= (-, ) - (- ) -3= -3= - (-, -) 0 (0 ) -3= 0-3= -3 (0, -3) ( ) -3= -3= - (, -) ( ) -3= 4-3= (, ) 3 (3 ) -3= 9-3= 6 (3, 6) Dominio: Rngo: 3 L euión de l funión es -3=0, l omprr on l euión del tipo +=0, tenemos que; =, b=0 = -3. El vértie V(h, k). b 0 h= = 0 () Pr enontrr k= -3 sustituimos el vlor de h, por lo que k=(0) -3= -3. Por lo que ls oordends del Vértie son (0,-3). Pr enontrr sus ríes. Se trt del so 3. Cundo l euión udráti tiene l form +=0. =+ = - 3 =+ = 3 =+.73 = -.73 Reordemos que los vlores =.73 =-.73, son los puntos que stisfen l euión, en l gráfi estos vlores representn los puntos donde l urv ort on el eje.
7 Ejemplo. Un blón de fútbol merino es ptedo por un jugdor, de mner que l tretori desrit por el blón está representd por l funión f(t)= -t +5t, donde t es el tiempo de vuelo en segundos. Elbor l gráfi de l funión f(t)= -t +5t, estbleiendo su dominio, rngo, punto máimo que lnz el blón los puntos donde se pteó ó el blón. t f(t)= -t +5t ( t, f(t) ) - -(-) + 5(-)= -4-0= -4 ( -,-4) - -(-) + 5(-)= --5= - 6 ( -, -6) 0 -(0) + 5(0)= 0 (0, 0) -() + 5()= -+5= 4 (, 4) -() + 5()= -4+0= 6 (, 6) 4 -(4) + 5(4)= -6+0= 4 (4, 4) 5 -(5) + 5(5)= -5+5= 0 (5, 0) Dominio: 0 5 Rngo: Vértie (.5, 6.5) L euión de l funión es -t +5t=0, l omprr on l euión del tipo +b=0, tenemos que; =-, b=5 =0. El vértie V(h, k). b 5 5 h= =. 5 ( ) Pr enontrr k= +b, en nuestro so k=-t +5t sustituimos el vlor de t, por lo que k=-(.5) +5(.5). k= = 6.5 El Vértie es (.5, 6.5), el punto máimo se enuentre en el vértie de l funión. Los puntos donde se pteó ó el blón representn ls ríes de l euión. Se trt del so. Cundo l euión udráti tiene l form +b=0 =0 es el punto donde se pteó el blón. Donde t es el tiempo, en este so el tiempo trnsurrido pr logrr l máim ltur (k). b 5 = 5 Es el punto donde ó el blón. Podemos observr los resultdos en l gráfi nterior. Ejeriios pr resolver en lse.
8 Ejeriio. Construir l gráfi de l funión f()= - +4, estbleiendo su dominio, rngo, ls oordends de su vértie sus ríes. Soluión: f()= - +4 (, f()) Dominio: Rngo: De l funión f()= - +4, tenemos que: = b= = El vértie V(h, k). b h= = k=- +4 Pr enontrr sus ríes. Se trt del so 3. Cundo l euión udráti tiene l form +=0. =+ = = - =
9 Ejeriio. Construir l gráfi de l funión f()= +3, estbleiendo su dominio, rngo, ls oordends de su vértie sus ríes. Soluión: f()= +3 (, f()) Dominio: Rngo: De l funión f()= +3, tenemos que: = b= = El vértie V(h, k). h= b k= +3 Pr enontrr sus ríes. Se trt del so. Cundo l euión udráti tiene l form +b=0. b =0 =
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