Resolución de Triángulos Rectángulos

Transcripción

1 PÍTULO 5 Resoluión de Triángulos Retángulos En l ntigüedd l rquitetur (pirámides, templos pr los dioses,...) exigió un lto grdo de preisión. Pr medir lturs se sn en l longitud de l somr el ángulo de elevión del sol sore el horizonte. En este proedimiento se utilizó un relión entre ls longitudes de los ldos de un triángulo retángulo, que es lo que onoemos ho omo l relión pitgóri. 5. Triángulos retángulos omo se h definido, un triángulo retángulo es un triángulo on un ángulo reto. El ldo opuesto l ángulo reto se llm hipotenus los otros dos ldos se llmn tetos. : hipotenus del triángulo retángulo : teto : teto El triángulo de ldos, 5 uniddes, llmdo perfeto o sgrdo, fue usdo por los egipios pr trzr ángulos retos. En sus ppiros se oserv que después de ls inundiones del Nilo onstruendo triángulos retángulos on uerds, fijndo los límites de ls prels, trzn direiones perpendiulres. 5.. Teorem de Pitágors En todo triángulo retángulo el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. Es deir: est relión se le llm relión pitgóri. 05

2 5.. El reíproo del teorem de Pitágors Si en un triángulo se umple, entones reto es el ángulo uo vértie es. es retángulo el ángulo Not: Si tres números,, verifin un de ls tres reliones pitgóris entones, podemos onstruir un triángulo retángulo uos ldos tienen omo longitudes,. Qued pr el letor verifir que ls terns de números utilizds por los egipios los hindúes umplen on l relión pitgóri. 5.. pliiones del teorem de Pitágors Ejemplo : Los tetos de un triángulo retángulo miden m 5 m. uánto mide l hipotenus? Soluión Si llmmos: l hipotenus; los tetos, plindo el teorem de Pitágors tenemos por lo que otenemos que l hipotenus mide m Ejemplo : Ddo el triángulo de l figur, on los siguientes dtos: 0. lulr : f e 9m, g. 5m Soluión l plir el teorem de Pitágors, tenemos: e = f + g l reemplzr por los dtos, tenemos: e = f +.5 f = g.5 = f F E g f e G Por lo tnto: f 7. 8 m Pr lulr el ángulo, tenemos que son omplementrios ( Porqué?), por lo tnto: Ejemplo : Ddo el tl que: ) 0m, 8m 6 m ) 9m, m 5 m Deidir si los dtos ddos en ) /o en ) orresponden un triángulo retángulo. Soluión Tenemos que plir el reíproo del teorem de Pitágors Pr los dtos ddos en ), si es retángulo, l hipotenus deerí ser lo otros dos los tetos, en onseueni deerí umplirse: () 00 ()

3 Por () (), se umple el teorem de Pitágors, por lo tnto on estos dtos el es retángulo en. Pr los dtos ddos en ), si es retángulo, l hipotenus dee ser lo otros dos los tetos, en onseueni dee umplirse: () () Por () (), tenemos que no se umple el teorem de Pitágors, por lo tnto on estos dtos el no es retángulo. Ejemplo : Ddo un triángulo de ldos m, 5 m 6 m, lulr l ltur sore el ldo menor el áre. E Soluión l oservr l figur, vemos que l ltur divide l triángulo ddo en dos triángulos: ID el IE. l onsiderr estos triángulos retángulos plindo el teorem de Pitágors, tenemos: 6m h 5m x I m D 6 h x 6 h x 5 h ( x ) 5 h ( x ) l resolver el sistem, tenemos: h. 96m, x. 8m 9. 90m 5. TRIGONOMETRÍ L ltur pedid es de.96 m el áre es de 9.90 m L trigonometrí pln tiene omo ojetivo resolver triángulos. d triángulo está onstituido por seis elementos, tres ldos tres ángulos. Resolver un triángulo, signifi determinr los elementos desonoidos undo se tienen lgunos dtos ierts reliones entre ellos. 5.. Rzones trigonométris del triángulo retángulo Ddo ulquier otro triángulo semejnte l ddo, por ejemplo, el, tenemos: Ddo ulquier triángulo retángulo, se pueden onsiderr ls siguientes rzones entre los ldos del triángulo:,,,, () Figur 07

4 Por lo que podemos firmr: Ls rzones dds en (), no dependen de l longitud de los ldos, sino de l medid del ángulo se ls llm rzones trigonométris. Definiión: Ls rzones trigonométris de un triángulo retángulo, omo el ddo en l figur, son: teto opuesto de sen hipotenus teto dente de os hipotenus teto opuesto de tg teto dente de Not : Si ien h otrs funiones trigonométris, no vmos trtrls quí. Not : Oservmos que tnto el seno omo el oseno son reliones entre un teto l hipotenus, en tnto que l tngente es un relión entre tetos. Ejemplo : Enontrr el vlor exto de d un de ls tres funiones trigonométris. Soluión Pr enontrr l longitud del teto desonoido se us el Teorem de Pitágors. 5 6 m 6 5m m hor podemos lulr ls rzones pedids: teto opuesto sen, hipotenus 5 teto dente os, hipotenus 5 tg teto opuesto teto dente Ejemplo : lulr ls rzones trigonométris del triángulo retángulo de ldos 7 m; 7, m, m. pr el ángulo de 9º. Soluión omo el triángulo es retángulo, el mor de los ldos es l hipotenus, o se 7, m. el otro ángulo mide: 90º 9º 7º Semos que mor ángulo se opone mor ldo, otenemos l siguiente figur. on lo ul, hor podemos lulr ls funiones trigonométris del ángulo de 9º. 9º 7. m. 7 sen 9º 0., os 9º m. tg 9º º. m

5 Not: Se pueden otener en form inmedit ls rzones trigonométris pr el ángulo 7. Ejemplo : Si los ros del sol formn un ángulo de 65 º on el suelo, l somr de un mástil es de 86 m. uál el l ltur del mástil medido en metros? Soluión h tg 65 h 86. tg Usndo l luldor tenemos que tg en onseueni: h 8. 76m. 8m El mástil mide proximdmente.8 m h álulo exto de ls rzones trigonométris pr ángulos prtiulres vees, neesitmos podemos lulr lguns rzones trigonométris pr unos determindos ángulos: ) Ángulo de 5º Tenemos un triángulo retángulo e isóseles (es un de los dos esudrs lásis). Se lul l hipotenus suponiendo los ldos igules se pueden suponer, sin pérdid de generlidd, de vlor. Supongmos que, tenemos:, omo puede oservrse sen 5º os 5º son igules tg 5º ) Ángulos de 0º 60º 0º Est es l otr esudr lási: 60º 09

6 Usndo est esudr, se le dos otr esudr, omo lo muestr l figur siguiente, otenemos un triángulo equilátero, que todos sus ángulos miden 60º. 0 o 60 o o 60 ' omo el tmño no fet los álulos, podemos suponer que d ldo mide uniddes. L ltur h del triángulo es: h usndo el Teorem de Pitágors sen 0º os 0º h sen 60º h os 60º tg 0º tg 60º h h Not: Se oserv que: sen 0º os 60º, os 0º sen 60º No ps lo mismo pr ls tngentes, que un es l reípro de l otr: tg 0º tg60 EJERIIO : Si nos lejmos en l líne ret 0 m, sólo h que levntr l vist 0º pr ver l punt de l nten. uál es l ltur de l nten?. Oservión: Los vlores otenidos pueden sintetizrse en l siguiente tl: Ángulo en grdos 0º 0º 5º 60º 90º sen 0 os 0 tg 0 no está definid 0

7 5.. lguns reliones fundmentles º Relión : Est tiene que ver on el Teorem de Pitágors. En el triángulo tenemos: sen os sen os Por Teorem de Pitágors sustituendo por ls fórmuls nteriores otenemos: sen os sen os dividiendo por otenemos: sen os º Relión: En el triángulo otenemos: sen, sen tg os os, tg / / sen os º Relión: Si es un ángulo gudo ( 0 ) entones: 0 sen 0 os = tg 0

8 Not: El sen tg reen l reer el ángulo de 0. En mio el os deree l reer el ángulo de 0. Ejemplo : Siendo que Soluión sen os os sen sen tg os Ejemplo : Se tg lulr sen os sen enontrr ls otrs dos rzones trigonométris. Soluión sen tg os sen os os reemplzndo en l º relión: sen os result: sen os os 9 os os 0 os os 0 Por lo tnto: 0 os sen ÁNGULOS ORIENTDOS Reordemos que un ángulo es l figur engendrd por l rotión de un semirret lrededor de su extremo. O Figur L posiión iniil se llm ldo iniil, O, l posiión finl se llm ldo terminl, O. El punto fijo se llm vértie, O, (ver figur ). Si l rotión se reliz en sentido ntihorrio (levógiro) el ángulo se onsider positivo, omo en l figur, en so ontrrio negtivo (dextrógiro). Representmos los ángulos orientdos referidos un pr de ejes perpendiulres x e, llmdos ejes rtesinos ortogonles. Dd un semirret on origen en el origen de oordends oinidiendo on el semieje positivo x, l rotrl gener un ángulo, ver figur. O x O x Ángulo positivo Ángulo negtivo Figur

9 Diremos que un ángulo está en posiión norml si su vértie está en el origen de oordends su ldo iniil oinide on el ldo positivo del eje x. L figur, muestr omo los ejes rtesinos dividen l plno en utro prtes, llmdos udrntes. Diremos que un ángulo pertenee un udrnte ddo si en él está uido el ldo terminl del ángulo. En l figur, se muestr un ángulo positivo, en el primer udrnte un ángulo negtivo, uido en el urto udrnte. No h límite pr l mgnitud de un ángulo. Si un semirret efetú un rotión omplet en sentido ntihorrio, hrá generdo un ángulo de 60º o ángulo ompleto. Dos rotiones omplets en el mismo sentido generrán un ángulo de 70º. Si lo hen en sentido ontrrio determinrán ángulos negtivos.. Dos ángulos orientdos son igules si sólo si están generdos por l mism rotión L figur muestr dos ángulos distintos pesr que oiniden los ldos iniiles los ldos terminles. O x Figur 5. SISTEM IRULR: OTR FORM DE MEDIR ÁNGULOS demás del sistem sexgesiml que es l form usul de medir ángulos en l vid otidin, existen otros sistems pr medir ángulos, entre ellos el sistem irulr. L ventj de este sistem es que medimos los ángulos en rdines, que son números reles. 5.. Rdines L longitud de un irunfereni de rdio r está dd por l fórmul: L = r En el so de un irunfereni unitri, es deir, un irunfereni de rdio r =, l longitud es de. onsideremos el ro se s l longitud de diho ro. L medid de un ángulo en rdines es: s longitud del ro () r rdio r O s Figur 5 Por ejemplo, un ángulo ompleto mide rdines, un ángulo llno, rdines un ángulo reto rdines, o en form proximd, 6.8 rdines,. rdines.57 rdines, respetivmente.

10 on ulquier de los dtos otenidos se pueden otener ls fórmuls de onversión de ángulos medidos en rdines ángulos medidos en grdos vievers. Ddo que un ángulo llno es equivlente rdines, otenemos: rdines 80 Por lo tnto rdián = = grdos 57.0 rdines rd Not: Utilizremos rd omo revitur de rdines. Oservión: Reordemos de geometrí que, dds dos irunferenis onéntris de rdios r r, respetivmente, pr un mismo ángulo que sutiende los ros ' ' (ver figur 6), se ' ' umple:. En onseueni, l rzón dd r r' en () sólo depende del ángulo por esto, se l tom omo medid del ángulo. En prtiulr, si r = result que l medid de es s. ' r r' O ' Figur 6 x Ejemplo: uántos grdos h en un ángulo de Soluión Por lo visto nteriormente tenemos: 80 rd = grdos por lo tnto: 80 rd = grdos = rd? 9 undo se us l luldor pr lulr el vlor de ls rzones trigonométris, verifir que se enuentr en Modo Grdos (sexgesimles) o Modo Rdines según se l medid que se está usndo. Ejemplo : uántos rdines h en un ángulo de 60? Soluión En form nálog l ejeriio nterior, pero utilizndo l fórmul = rd 80 Tenemos: 60 =60 rd = rd. 05 rd 80 Hiendo los álulos orrespondientes, podemos relizr l siguiente tl: grdos rdines