TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

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1 TEMS DE MTEMÁTICS (Oposiiones de Seundri) TEM 37 L SEMEJNZ EN EL PLNO. CONSECUENCIS. TEOREM DE THLES. RZONES TRIGONOMÉTRICS. 1. Introduión.. Homoteis: Definiión y propieddes. 3. L semejnz en el plno Definiión y propieddes. 3.. Triángulos semejntes Desomposiión de un semejnz Semejnzs direts e inverss Otenión del entro de semejnz diret. 4. Teorem de Thles. 5. Rzones trigonométris Definiión y reliones. 5.. Resoluión de triángulos. iliogrfí Reomendd. 1/19

2 TEM 37 L SEMEJNZ EN EL PLNO. CONSECUENCIS. TEOREM DE THLES. RZONES TRIGONOMÉTRICS. 1.- INTRODUCCION. L fundmentión de l geometrí no se onsiguió hst el ño 1899, en el que Hilert pulió un liro llmdo Grundlgen der Geometrie (Fundmentos de Geometrí). Los elementos de Eulides tenín y un estrutur dedutiv muy perfet, pero en ellos se utilizn menudo implíitmente xioms no formuldos, definiiones sin sentido e inluso rzonmientos lógimente inorretos. Hilert er perfetmente onsiente de que no todos los términos que se usn en un teorí mtemáti se pueden definir y por lo tnto, omenzó su trtmiento de l geometrí onsiderndo de entrd tres tipos de ojetos indefinidos: puntos, rets y plnos, y sus reliones indefinids: estr sore, estr en, estr entre, se ongruente, ser prlelo y ser ontinuo. En lugr de los ino xioms (o noiones omunes) y los ino postuldos de Eulides, Hilert formul pr su geometrí un onjunto de 1 xioms, que se onoen desde entones omo los xioms de Hilert pr l geometrí eulíde. Los 1 xioms se dividen en ino grupos, que son: 1) Grupo I: 8 xioms sore Inideni ) Grupo II: 4 xioms sore Ordenión. 3) Grupo III: 5 xioms sore Congrueni o Movimiento. 4) Grupo IV: 1 xiom sore Prlelismo. 5) Grupo V: 3 xioms sore Continuidd. En este tem nos interesn los xioms de ongrueni o movimiento. Esos ino xioms son: xiom 1: Los movimientos del plno son pliiones iyetivs del plno. OS. Por est iyeión, d punto le orresponde un punto homólogo en l trnsformión. xiom : Todo movimiento onserv ls reliones de inideni y ordenión. OS. Si vrios puntos están en un ret y ordendos, tmién lo están sus homólogos. xiom 3: Ningún movimiento puede trnsformr un segmento (o ángulo) en un prte del mismo. OS. Si C es un punto entre y, ningún movimiento puede trnsformr en C y, nálogmente, si l ret r es interior l ángulo, ningún movimiento puede trnsformr l ángulo en. xiom 4: Los movimientos formn un grupo. /19

3 OS. Es deir, l omposiión de dos movimientos es un movimiento y l trnsformión invers de un movimiento es otro movimiento. xiom 5: Existe un únio movimiento que trnsform un semirret en otr, y ulquier semiplno limitdo por l primer semirret es un semiplno limitdo por l segund. DEF Llmremos movimiento direto del plno todo movimiento que onserv el sentido del plno orientdo. En so ontrrio, el movimiento se die que es inverso. OS. Los movimientos diretos formn un sugrupo de los movimientos del plno..- HOMOTECIS. DEF. Se en el plno un punto fijo O y un nº rel k 0. Llmremos Homotei de entro O y rzón k tod trnsformión del plno en si mismo que verifi: 1) Un punto y su imgen están lineds on O. ' O ) k O PROP. Ls rets que psn por el entro de l homotei (el punto O) se trnsformn en si misms. Se otiene l demostrión teniendo en uent l ondiión 1) de l definiión. PROP. L imgen de un ret que no ps por el entro de homotei es otr ret prlel l primer. Sen y dos puntos y y sus imágenes en un homotei de entro O y rzón k. Queremos ver que l ret r definid por y y l ret r definid por y son prlels. O ' O ' k y k O O O ' O // O O PROP. L homotei trnsform puntos linedos en puntos linedos y puntos no linedos en puntos no linedos. 3/19

4 Sen, y C tres puntos y,, y C sus imágenes por un homotei de entro O y rzón k. 1) Si, y C están linedos. C Se verifi: O ' O k O O y se otiene que ' k O ' k O O ' k O Por proporionlidd: O ' O ' O O ' k Como, y C están linedos, uno de los tres puntos será interior l segmento determindo por los otros dos. Supongmos que es interior C. Entones: C + C Si multiplimos l euión por k k C k + k C Luego, y C están linedos ) Si, y C no están linedos ' ' + C se verifi que: C < + C y multiplindo por k k C < k + k C ' < ' + y por tnto, y C no están linedos. PROP. Ls homoteis trnsformn segmentos en segmentos. Es un onseueni de l proposiión nterior. 4/19

5 PROP. El produto de dos homoteis de entro O es un homotei del mismo entro. Se O el entro de ms homoteis, siendo imgen de respeto de l primer homotei y imgen d respeto de l segund tenemos: Tenemos: O, y están linedos y O, y están linedos O, y están linedos. ' O Se k 1 l rzón de l primer homotei k1 O O " Se k l rzón de l segund homotei k O Y multiplindo ms expresiones: O ' O O " O '' k1 k k1k O O Entones k 1 k es l rzón de l homotei produto. PROP. L invers de un homotei de entro O y rzón k es un homotei del mismo 1 entro y rzón. k Si es l imgen de por l homotei de rzón k, entones O ' k O y por tnto O k 1 O L onseueni de ests dos últims proposiiones es que el onjunto de ls homoteis de entro O es un grupo onmuttivo, denotándose por (H O, o) 3. L SEMEJNZ EN EL PLNO Definiión y propieddes. DEF. Llmmos semejnz en el plno tod orrespondeni iunívo tl que si y son ls imágenes de dos puntos ulquier y se verifi que: 5/19

6 ' ' k siendo k un segmento soluto ddo, llmdo rzón de semejnz. l igul que ls homoteis, ls semejnzs verifin propieddes similres. PROP. Ls semejnzs verifin ls siguientes propieddes: 1) Trnsformn puntos linedos en puntos linedos y puntos no linedos en puntos linedos ) Trnsformn segmentos en segmentos. 3) Trnsformn ángulos en ángulos igules (onservn los ángulos) 4) Trnsformn triángulos semejntes. Trivil. l vist de lo nterior, tmién podrímos her definido un semejnz en el plno omo sigue: Si relizmos el produto de un homotei por un movimiento, o lo que es lo mismo, movemos un de ls dos figurs homotétis, omo el movimiento onserv l lineión, el orden y el sentido (en movimientos diretos) y trnsform segmentos y ángulos en otros igules, l trnsformión resultnte verifi: 1) puntos linedos le orresponden puntos linedos y en el mismo orden. ) Los segmentos homólogos son proporionles. 3) Los ángulos homólogos son igules. L trnsformión nterior reie el nomre de semejnz en el plno. Dos figurs entre uyos puntos se pued estleer un orrespondeni iunívo que umpl ls tres ondiiones nteriores diremos que son semejntes. PROP. El produto de dos semejnzs es otr semejnz. Sen f y g dos semejnzs y un punto del plno. del plno tl que f() del plno tl que g( ) por tnto, es l imgen de por f o g Si existiese otro punto tl que ( g o f )() entones 6/19

7 f() y f() g( ) y g( ) luego Por tnto, pr rzones k 1 y k de f y g respetivmente se verifi: ' ' " " k 1 y k y multiplindo miemro miemro ' ' " " " k 1 k " k 1 k Luego l rzón de l semejnz produto es igul l produto de ls rzones de ls semejnzs. PROP Se Verifi: 1) El produto de ls semejnzs es soitivo ) El elemento neutro, o semejnz unidd, es quell en l que todos los puntos son doles. (l identidd) 3) Tod semejnz dmite un invers. 1) y ) son inmedits 3) est propiedd l justifiremos más delnte, undo demostremos que tod semejnz en el plno se puede esriir omo produto de un movimiento por un homotei. 3.. Triángulos Semejntes. DEF. Ddos dos triángulos C y C, diremos que son semejntes si: TEOREM 1) Existe un iyeión entre sus ldos ) Ls rzones de los ldos homólogos son igules. Llmremos rzón de semejnz de los dos triángulos l nº k que verifi: C C k Existe un úni semejnz que trnsform un triángulo en otro semejnte él. Sen C y C dos triángulos semejntes. 7/19

8 Existeni L trslión de vetor _ ' trnsform el triángulo C en el triángulo 1 C 1. El giro de entro y ángulo orientdo 1 on semirret origen 1, y semirret extremo trnsform el punto 1 en y C 1 en C. Por tnto el giro trnsform el triángulo 1 C 1 en el triángulo C. Si omponemos ms pliiones, l imgen del triángulo C es C. hor pueden sueder dos sos: Cso 1. L semirret C oinid on C Cso. Ls semirrets C y C son simétris respeto de l En este segundo so, hemos de plir un simetrí xil de eje, trnsformndo el triángulo C en C 3. En el so 1 los ángulos C y C son igules. En el so los ángulos C y C 3 son igules. Entones otenemos ls proporionliddes Cso 1. Cso. C k C k 3 Y por lo tnto, en mos sos, existe un homotei de entro y rzón k que trnsform el triángulo Cso 1. Cso. C C C 3 C Como los movimientos utilizdos, (trsliones, giros y simetrís xiles) y ls homoteis son semejnzs, l trnsformión del triángulo C en el triángulo C es un semejnz. Uniidd. Reliemos l demostrión por reduión l surdo. Supongmos que f y g son dos semejnzs que trnsformn el triángulo C en el C. Ddo un punto ulquier P del plno, hemos de demostrr que si f(p) P y g(p) P entones P P Si onsidermos l ret P, ortrá l ret C en un punto Q. Sen f(q) Q y g(q) Q se verifi que 8/19

9 Q QC Q' Q' y que l semejnz onserv l relión entre tres puntos. De form nálog: y por lo tnto Q Q" QC Q" Q' Q' Q" Q" de lo que deduimos que Q Q entones De form similr P PQ ` P' P' Q' ` P' P' Q' y ` P" P" Q' P PQ ` P" P" Q' y deduimos que P P siendo l semejnz úni Desomposiión de un semejnz. TEOREM Tod semejnz en el plno es el produto de un movimiento por un homotei. Dd un semejnz del plno, semos que qued determind por tres puntos. Esos tres puntos determinn un triángulo. L semejnz que trnsform un triángulo en otro, por el teorem nterior existe y es úni y se desompone omo produto de un movimiento por un homotei. Luego tod semejnz se puede desomponer omo hemos indido Semejnzs direts e inverss. DEF. Diremos que un semejnz es diret undo l desomponerse en un movimiento por un homotei, el movimiento es inverso. 9/19

10 TEOREM Se S un semejnz que trnsform el triángulo C en C. S es un semejnz diret si y solo si los triángulos tienen l mism orientión. Por ser l semejnz diret, se desompone omo produto de un homotei por un movimiento direto. Se S H o M d S( C) ( H o M d )( C) H ( M d ( C ) H( 11C1) Por ser el Movimiento direto 1 1 C 1 tiene l mism orientión que C y omo ls homoteis tmién l onservn, tenemos que 1 1 C 1 tiene l mism orientión que C. Luego C y C tienen l mism orientión. Si C y C tienen l mism orientión, pr trnsformr el primero en el segundo neesitmos relizr un trslión de vetor ' y un giro, pero no es neesrio her un simetrí xil, y luego un homotei. Por tnto, l omposi ión de l trslión y el giro nos d un movimiento direto Otenión del entro de Semejnz Diret. Se S un semejnz que trnsform el segmento en situiones: '. Se pueden dr dos Cso 1: Los segmentos y ' están situdos en rets prlels. El punto O, entro de homotei, se otiene omo interseión de ls rets que psn, un por y y l otr por y. Si tommos un punto C no linedo on y otenemos un triángulo C on imgen, C, siendo C l imgen de C por l homotei. L trnsformión del triángulo C en el C nos determin un semejnz de entro O. 10/19

11 Cso : Los segmentos y ' están situdos en rets no prlels. Podemos hllr un giro y un homotei on el mismo entro O, uyo produto se l semejnz S definid por y '. Diho entro O será el entro de semejnz diret. Supongmos que el punto O existe y trtemos de determinrlo. l ser S un semejnz diret se verifi O O Si P es el punto de interseión de l ret on, y ontinuión diujmos ls irunferenis que psn por P y por P respetivmente, ms irunferenis ser ortrn, demás de en el punto P en otro punto, que será O. P Los triángulos O y O son semejntes, pues OP O P y que mos son ángulos insritos de l mism irunfereni, y sutender el ro OP en l irunfereni C, y lo mismo pr OP O P. l tener dos ángulos igules, los triángulos son semejntes y O es el entro de l semejnz. 11/19

12 4. TEOREM DE THLES. TEOREM Los segmentos limitdos por los puntos de interseión de vris prlels en dos rets son proporionles. Sen r y s ls dos rets que son ortds por vris prlels. Ls tres posiiliddes que nos podemos enontrr son: El teorem quedrá demostrdo si ompromos que existe orrespondeni en l iguldd, el orden y en l sum de dihos segmentos. ) Correspondeni en l Iguldd. Vemos que: CD en r ' D' en s. Cso 1: trivil, por ser r y s prlels. Cso y so 3: l ser r y s no prlels, relizmos l trslión del trpeio (o triángulo en el so de que ) de form que oinid on CD. Entones se trnsform en '' ' siendo entones ' ' ' por trslión '' ' D' por segmentos prlelos situdos en rets prlels, luego ' D'. ) Correspondeni en el Orden. Se M un punto interior del segmento. L prlel que ps por M está limitd por ls prlels ' y ' luego M es interior '. ) Correspondeni en l Sum. Si M + M, plindo ) ' M ' + M '. Luego l orrespondeni estleid es un proporionlidd. 1/19

13 5. RZONES TRIGONOMÉTRICS Definiión y Reliones. Ddo un triángulo retángulo C podemos firmr que ls rzones entre sus ldos se onservn por un semejnz. Eso es deido que si C es un triángulo retángulo homólogo l nterior semos que es ierto que C C y los ángulos son igules, por tnto, es lógio firmr que C,... sí pues, podemos definir ls reliones trigonométris independientemente del triángulo retángulo onsiderdo. DEF Ddo un triángulo retángulo C, on 90 llmremos rzones trigonométris del ángulo gudo x : C 1) Seno: sen x C C ) Coseno: os x C 3) Tngente: tn x C C 4) Cotngente: ot x x C 5) Sente: se x C 6) Cosente: s x unque hemos definido seis rzones trigonométris en funión de los ldos de un triángulo retángulo, vmos ver ontinuión que lguns de ells dependen de ls otrs, y que existen reliones entre ells. TEOREM Teorem de Pitágors Ddo un triángulo retángulo, se verifi h 1 + siendo h l hipotenus y 1 y los dos tetos. 13/19

14 Se C los vérties del triángulo retángulo, on 90 si trzmos l perpendiulr l ldo C que ps por el punto, otenemos el punto M y los dos nuevos triángulos M y MC son retángulos. Los triángulos M y C son semejntes, entones ' ' De igul form MC y C tmién son semejntes ' ' Sumndo ms reliones + ' + ' + + ( ' + ') qd El teorem de Pitágors nos permite otener un relión entre lguns de ls rzones trigonométris. plindo diho teorem l triángulo C nterior + C C C C + C 1 y entones sen x + os x 1 siendo x el ángulo C. prtir del resto de ls rzones trigonométris, deduimos que 14/19

15 Cso 1: Los dtos de prtid son l hipotenus y un ángulo gudo. C sin x tn x tn x C C os x C y de form nálog otendrímos 1 os x ot x tn x sin x 1 s x sin x 1 se x os x 5.. Resoluión de Triángulos. sin x os x Entendemos por resolver un triángulo el otener el vlor de los tres ldos y los tres ángulos, prtiendo de lgunos dtos onoidos. Comenzremos resolviendo triángulos retángulos. Nos enontrmos on utro sos, en funión de los dtos de prtid. Considerremos que el ángulo reto es. Semos que, omo 90 º + C 90º luego C 90º -. Tmién semos que +. sin sin y por el teorem de Pitágors Cso : Los dtos de prtid son un ángulo gudo y un teto. sin sin C 90º - Cso 3: Los dtos iniiles son l hipotenus y un teto. 15/19

16 sen Podemos determinr. prtir de otenemos C 90º - Cso 4: Los dtos iniiles son los dos tetos y. Pr determinr el ángulo, lo hemos prtir de l expresión tn C 90º + Pr poder resolver ulquier triángulo, no sólo los retángulos, neesitmos previmente generlizr ls rzones trigonométris pr ángulos myores de 90º, que reien el nomre de ángulos otusos. Prtiendo de un sistem ortonorml de ejes y de un punto P(x,y) ulquier del segundo udrnte, tremos l semirret que prte del origen de oordends y ps por el punto P. El semieje positivo OX y l semirret OP nos determinn un ángulo otuso. P(x,y) á Se r l longitud del segmento OP. Podemos definir ls rzones trigonométris omo: y sin α r y tnα x osα otα x r x y Ls definiiones que hemos ddo son independientes del punto p onsiderdo y, en el so de estr P en el primer udrnte, oiniden on ls que y tenímos. 16/19

17 Ls reliones entre ls rzones trigonométris se siguen verifindo, y que P pertenee un irunfereni de rdio r, siendo entones x ( r osα) sin + y r α+ os + ( rsin α) α 1 r y prtir de quí tendrímos el resto. Un vez relizd l generlizión de ls rzones trigonométris pr un ángulo otuso, vemos dos teorems que nos vn permitir generlizr un triángulo ulquier l resoluión. TEOREM Teorem de Los Senos Ddo un triángulo C ulquier se verifi sin sin sin C Dem Ddo un triángulo C, trzmos l ltur reltiv l vértie, h. Entones h sen y sen C h Ls dos igulddes nteriores no dependen del triángulo elegido. Si l ltur que ps por no está entre y C, st por plir lo visto pr ángulos otusos pr omprorlo. Si repetimos el proeso pr el punto, llmndo h su ltur otenemos h h sen y sen C Entones h h TEOREM sen sen C sen senc sen Teorem del oseno sen sen C Ddo un triángulo C ulquier se verifi + os Si 90º tenemos un triángulo retángulo, y podemos plir el teorem de Pitágors. Y omo os90º 0, l tesis se verifi. 17/19

18 Si 90º nos enontrmos on dos situiones, <90º o >90º Si trzmos l ltur por el punto tenemos h + ' < 90º C h + ( + ') > 90º C Del primer so h + ( ') h + ' y omo os ' os sustituyendo + os + ' ' + ' Del segundo so h + ( + ' ) h + + ' + ' + + ' ' os ' os luego + os hor y estmos en ondiiones de resolver ulquier triángulo. De nuevo, nos enontrmos on utro sos, en funión de los dtos iniiles. Cso 1: Los dtos de prtid son los ángulos y y un ldo. Entones C 180º - (+) sin sin sin C sin Cso : Los dtos de prtid son los ldos y y el ángulo opuesto uno de ellos, por ejemplo. Del teorem de los senos sin sin 18/19

19 otenemos sin sin y de est expresión podemos lulr. prtir de quí C 180º - (+) y sin C sin C sin lremos que pr que el triángulo exist es neesrio que 1 Cso 3: Los dtos iniiles son los ldos y y el ángulo que determinn,. + os sin sin Otenemos sin sin C Otenemos C Cso 4: Los dtos iniiles son los tres ldos, y Por el teorem del oseno + os Otenemos sin sin Otenemos sin sin C Otenemos C ILIOGRFÍ RECOMENDD Curso de Geometrí Simétri. ut.: Puig. dm. Culquier texto de Cou o º de hillerto pr l prte de Rzones Trigonométris. 19/19

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