Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51

Transcripción

1 Semejnz 1. Teorem de Tles Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur Rzones trigonométris de un ángulo gudo y sus reliones fundmentles Evluión 54

2 1. Teorem de Tles Teorem de Tles. Si dos rets son ortds por dos o más rets prlels, los segmentos que se formn en ells son proporionles. A B C D E F CB FE BA ED Aplindo el teorem de Tles podemos dividir un segmento en prtes igules. Diujmos un semirret desde uno de los extremos, A, del segmento y señlmos en ell ino segmentos igules (o ls prtes en que queremos dividir el mismo). Unimos B on el último punto de l semirret y trzmos prlels est. CA FD A B Diuj un segmento de 12 m de longitud y divídelo en siete prtes igules. Utiliz el teorem de Tles pr lulr los vlores de x e y en el siguiente triángulo: 3 m A A y 5 m 4 m C x B 3,5 m B 50 Mtemátis 4.º ESO

3 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes Dos figurs son semejntes si sus ángulos son igules y los segmentos proporionles. L homotei es un trnsformión (mpliión, diltión ) que produe figurs semejntes. Los segmentos se multiplin por el mismo número y los ángulos no vrín. L rzón de semejnz, k, es el oiente entre ls longitudes de los segmentos orrespondientes de ls dos figurs semejntes. Es un ntidd onstnte. L rzón de semejnz entre los perímetros de dos figurs semejntes es igul l rzón de semejnz, k. L rzón entre ls áres de dos figurs semejntes es igul l udrdo de l rzón de semejnz, k 2. L rzón entre los volúmenes de dos figurs semejntes es igul l uo de l rzón de semejnz, k 3. Ests dos figurs son semejntes. Si su rzón de semejnz es 3, lul ls medids de l figur grnde. 1,8 m 4,3 m 2 m e 3,5 m 4 m d Clul l rzón entre ls áres de un udrdo que mide 6 m de ldo y otro de 4 m de ldo. Si l rzón de semejnz entre dos uos es de 2, lul l rzón entre sus volúmenes. Mtemátis 4.º ESO 51

4 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur Un triángulo retángulo es quel que tiene un ángulo reto. L hipotenus es el ldo myor y los tetos son los ldos pequeños. En un triángulo retángulo se umplen los siguientes teorems: Teorem de Pitágors. El udrdo de l hipotenus es igul l sum del udrdo de los tetos. Teorem del teto. El udrdo de un teto es igul l produto de l hipotenus por l proyeión de diho teto sore l hipotenus: 2 2 Teorem de l ltur. El udrdo de l ltur sore l hipotenus es igul l produto de los dos segmentos en que dih ltur divide l hipotenus. h 2 m n h m n Clul l hipotenus de un triángulo retángulo uyos tetos miden 2,5 m y 4,3 m. Clul uno de los tetos de un triángulo retángulo uy hipotenus mide 17,2 m y uno de los tetos mide 10,8 m. Cuánto mide l ltur de un triángulo retángulo si est divide l hipotenus en dos proyeiones, un de 20 m y otr de 25 m? Cuánto mide l hipotenus del triángulo retángulo si m 6 m y el teto que proyet, 10 m? 10 mh m n Clul l digonl de un retángulo de dimensiones 24 m 32 m. 52 Mtemátis 4.º ESO

5 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y sus reliones fundmentles Ddo un triángulo retángulo, l rzones trigonométris del ángulo, son ls siguientes: teto opuesto hipotenus seno de oseno de teto opuesto de hipotenus teto dyente hipotenus teto dyente tngente de teto opuesto de teto dyente de Ls reliones fundmentles entre ls rzones trigonométris son: sen 2 os 2 1 tg sen os Clul ls rzones trigonométris de los ángulos gudos y en el siguiente triángulo retángulo si 12 m y 14 m. Clul ls rzones trigonométris del ángulo gudo opuesto l teto myor en un triángulo retángulo uyos tetos miden 6 m y 8 m y l hipotenus, 10 m. Comprue ls dos reliones fundmentles de l trigonometrí pr un ángulo de 45. Mtemátis 4.º ESO 53

6 1,6 m 8 5. Evluión Diuj un segmento de 8 m de longitud y divídelo en ino prtes igules. Indi si son semejntes estos triángulos. En so de serlo, hll su rzón de semejnz. B B 2,7 m C 3,2 m 5,4 m 3,15 m A A 6,3 m C Clul l rzón entre ls áres de dos retángulos de dimensiones 3 m 5 m y 9 m 15 m. Clul en el siguiente triángulo retángulo, l hipotenus, ls proyeiones de los tetos y l ltur, siendo que los tetos miden 80 m y 120 m, respetivmente. 80 m h 120 m m n Clul ls rzones trigonométris del ángulo gudo en el siguiente triángulo retángulo si 20 m y 26 m. Comprue ls dos reliones fundmentles de l trigonometrí pr un ángulo de Mtemátis 4.º ESO