LEY DE SENOS Y COSENOS

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1 FULTD DE IENIS EXTS Y NTURLES SEMILLERO DE MTEMÁTIS GRDO: 10 TLLER Nº: 1 SEMESTRE 1 LEY DE SENOS Y OSENOS RESEÑ HISTÓRI Menelo de lejndrí L trigonometrí fue desrrolld por strónomos griegos que onsidern l ielo omo el interior de un esfer, de modo que resultó nturl estudir primero los triángulos sore un esfer. Menelo de lejndrí fue un mtemátio griego quien ultivó l stronomí y l geometrí en lejndrí y en Rom. utor del trtdo Spheri, en el que relizó un sistemátio estudio de ls propieddes de los triángulos esférios (teorems de Menelo), que onstituyen ls ses de l trigonometrí esféri. OBJETIVO GENERL plir l trigonometrí en l soluión de prolems que involurn triángulos no retángulos. OBJETIVOS ESPEÍFIOS 1. Derivr l ley de los senos.. Derivr l ley de osenos. 3. omprender undo se puede plir ley de senos y ósenos. 4. plir ley de senos y ósenos pr hllr áres de triángulos. 5. Utilizr l formul de Heron pr hllr áres. PLBRS LVES Funión trigonométri, Ley de senos, Ley de osenos, triángulo, prolem. DESRROLLO TEÓRIO En tlleres nteriores se utilizron ls rzones trigonométris pr resolver prolems que involurn triángulos retángulos; ls funiones trigonométris tmién pueden ser utilizds pr resolver triángulos no retángulos (triángulos oliuos), on este ojetivos se desrrollrn dos propieddes fundmentles, ser l ley de senos y l ley de osenos. ntes de iniir on el desrrollo teório del tller, se reordrán lgunos oneptos que pueden ser de interés pr este trjo.

2 Ángulos de elevión Si un person está mirndo hi rri un ojeto, el ángulo gudo medido desde l horizontl l líne de visión del ojeto es llmdo ángulo de elevión. Ángulos de depresión Si un person está mirndo hi jo un ojeto, el ángulo gudo formdo por l líne de oservión del ojeto y l horizontl es llmdo ángulo de depresión Otro resultdo pr el desrrollo de l teóri es el siguiente teorem. Teorem L sum de ls medids de los ángulos internos de un triángulo es igul 180º. LEY DE SENOS onsidérese un triángulo B y se h l ltur reltiv l ldo B del triángulo. hor ien, omo h es un ltur, e perpendiulr B y determin dos triángulos retángulos de hipotenuss que en delnte llmremos y B que en delnte llmremos. Por rzones trigonométris en el triángulo retángulo de hipotenus se tiene que: B β h µ h = sen(µ), y en el triángulo de hipotenus se tiene h que = sen(β ), por lo tnto, despejndo h en ms euiones e igulndo se tiene: sen( = h = sen( β ). hor ien, despejndo se lleg : = (1) sen( β ) sen( De mner nálog, trzndo l ltur reltiv l se, se tiene: sen( = h1 = sen( ). que por trnsitividd y despejndo se lleg : = () h 1 sen( ) sen( Luego, igulndo (1) y () se tiene: µ B = =. sen( ) sen( β ) sen( Esto es, l rzón entre un ldo de un triángulo y el seno de su ángulos orrespondiente (ángulo que se opone ldo).es igul l rzón entre otro de los ldos del triángulo y el seno del ángulo orrespondiente diho ldo.

3 De l deduión nterior se tiene l siguiente ley. Ley de Senos. En todo B, de ldos,, y, siempre se umple que: = = sen( ) sen( β ) sen( Donde, β y µ son los ángulos orrespondientes los ldos, y respetivmente, (omo muestr l figur), B β µ Ejemplo. Un niño se enuentr volndo dos omets simultánemente, en un momento determindo, l distni entre ls dos omets es de 10 metro, unt pit se h lierdo pr l primer omet en ese momento, si el ángulo formdo por ls pits es de 30 y el ángulo formdo por l pit de l segund omet y l líne que une ls dos omets es de 45? Soluión Se empezrá por relizr un osquejo gráfio de l situión; note que el prolem llev un modelo geométrio tringulr donde, pr nuestro gráfio, el punto represent ls mnos del niño, el punto l posiión de l primer omet y el punto B l posiión de l segund omet. Se neesit enontrr l longitud de l pit de l primer omet, oserve que est orresponde l medid del segmento, quien su vez se opone l ángulo de 45 º, por lo tnto se disponen de l herrmients pr plir l ley del seno. Se sigue entones que: 10 (30) sen ( ) m = sen(45) m ( ) = 10* sen(45) sen(30) que, según l tl del vlor de ls funiones trigonométris se tiene: 10 * 10 * sen(45) m( ) = = sen(30) 1 = 10 m Por lo tnto, l ntidd de pit que se h lierdo pr l primer oment es de 10 m.

4 tividd Utiliz l ley de senos pr resolver los siguientes ejeriios. 1. Un poste form un ángulo de 79 on el piso. El ángulo de elevión del sol desde el piso es de 69. Enuentre l longitud del poste si su somr es de 5.9 m.. Si medimos los ángulos de elevión de un montñ desde lo más lto y desde l se de un torre de 0 metros de lto y éstos son 38.5 y 40. respetivmente uál es l ltur de l montñ? NOT onsult en qué onsiste el so miguo en l soluión de triángulos. undo l informión que se nos suministr no es sufiiente pr utilizr l ley del seno se tiene un teorem diionl que puede onduir su soluión. Pero result que no todos los triángulos se pueden soluionr on l ley de seno. Qué psr si l informión suministrd por el prolem no es sufiiente pr resolverlo on l ley de senos?. LEY DE LOS OSENOS Se B un triángulo ulquier, on ldos,,, y sen, β y µ los ángulos orrespondientes d uno de estos ldos. Se trtrá de expresr l medid del ldo en términos de los ldos, y su ángulo orrespondiente. Se h l ltur reltiv l ldo del B y sen x y y ls proyeiones de los ldos y sore. Por teorem de Pitágors se tiene: h = x h = y hor ien, sumndo est expresiones se tiene: h = + ( x + y ) (1) omo se tiene que = x + y, de donde = ( x + y) = x + xy + y entones ( x + y) = xy y sustituyendo en l euión nterior se tiene: de donde, h = + ( xy) = + h + xy () Pero por rzones trigonométris, en d uno de los triángulos retángulos que se formron, se puede oservr que: x ϕ θ h y

5 x = sen(ϕ) y tmién y = sen(θ ) demás h = os(ϕ ), pero tmién h = os(θ ), por lo tnto, l sustituir en l euión () y teniendo presente que h = h * h = os( ϕ ) os( θ ) se tiene: = + os( ϕ) os( θ ) + sen( ϕ) sen( θ ) esto es: = + ( sen( ϕ ) sen( θ ) os( ϕ) os( θ )) (3) pero por identiddes trigonométris se tiene que os( ϕ + θ ) = os( ϕ) os( θ ) sen ( ϕ) sen( θ ) y sustituyendo en (3) se tiene: = + os( ϕ +θ ) pero, el ángulo orrespondiente l ldo es: = ϕ + θ, por lo tnto: = + os( ) tividd on se en l deduión nterior, tre l ltur reltiv l ldo y enuentre un expresión pr en términos de, y el ángulo orrespondiente. Ls deduiones nteriores onstituyen el soporte teório pr l siguiente ley. Ley de osenos. En todo que: B, de ldos,, y, siempre se umple = = = os( ) os( β ) os( Donde, β y µ son los ángulos orrespondientes los ldos, y respetivmente, (omo muestr l figur), B β µ Ejemplo Ddo el triángulo B en l figur de l dereh, enuentre l longitud del segmento. Soluión Oserve que en este so no se puede utilizr l ley del seno puesto que no se onoe l longitud del ldo del únio ángulo ddo, por lo tnto, es est un uen oportunidd pr plir l ley del oseno, en este so, se trt de hllr l longitud de =.

6 pero se se que os( 10º ) = =, luego: *3*4os(10º ) 1 1 = *3*4 = por lo tnto = 368 Luego se tiene: = = = 368 Por lo tnto l medid del segmento = está dd por: = EJERIIOS PROPUESTOS 1. Utilie ley de senos y ósenos según se el so, pr soluionr d uno de los siguientes triángulos, posteriormente hlle su áre. (Reuerde que soluionr un triángulo onsiste en hllr l medid de todos sus ldos y todos sus ángulos).. Dos ros prten del mismo puerto l mism hor. El primero nveg n 15 O 5 nudos (un nudo es un mill náuti por hor). El segundo nveg N3 E 0 nudos. Después de dos hors, qué distni se enuentrn los ros entre sí? 3. Un olin tiene un inlinión de 15 respeto de l horizontl. En l umre se enuentr un poste on un ltur de 40 pies. De qué longitud deerá ser un uerd pr lnzr desde l punt del poste un punto que se enuentr 68 pies de l se del poste sore l olin? 4. Un vión de reonoimiento sle de un eropuerto sore l ost este de Estdos unidos y vuel en un direión de 85. us del ml tiempo regres otro eropuerto situdo 30 km l norte de su se. Pr regresr, vuel siguiendo un direión de 83. uál es l distni totl reorrid durnte el vuelo? 5. Un árol de 96 pies proyet un somr de 10 pies de lrgo. uál es el ángulo de elevión del sol? 6. Pr lnzr un muro de,10m de lto es neesrio utilizr un esler que forme un ángulo de 45% on l horizontl. uál dee ser l longitud de l esler?

7 7. L prte más lt de un torre se oserv en un terreno horizontl desde un punto que dist 70m de su pie. El ángulo de elevión de diho punto l úspide de l torre mide 30%. lule l ltur de l torre. 8. Un piloto está volndo sore un rreter ret. Él enuentr que los ángulos de depresión dos postes indidores de mills, 5 mills de distni entre sí tienen los vlores de 30 y 45. ) Determine l distni del eroplno l poste on ángulo de depresión de 30. ) Determine l ltitud del eroplno. 9. Pr l figur que se muestr el triángulo B es isóseles, determine: ) <B ) <D 10. Utilie identiddes de sum de ángulo y ángulos medios pr hllr ls funiones pr 105, 330, 405 sin utilizr luldor. 11. un ltur de pies, el piloto de un vión mide un ángulo de depresión de l luz en un eropuerto y enuentr que es de 30. qué distni de l luz está el vión? 1. Dos rreters rets divergen formndo un ángulo de 60. Dos utomóviles slen de l interseión ls 14:00 hors, uno vij 50 mills/h y el otro 30 mills/h. Qué distni les sepr ls 14:30 hors? 13. Un pirámide onstruid en el desierto tení un ltur originl 480 pies pero deido l pérdid de ls piedrs de su punt hor es más j. Enuentre l ltur tul de l pirámide usndo l informión dd en l ilustrión. 14. El piloto de un ro en el mr divis dos fros que se que están seprdos 3 mills en líne ret lo lrgo de l ost, él determin que los ángulos formdos entre dos línes de oservión los fros y l líne del ro perpendiulr l ost son 15 y 35 ) Qué tn lejos est el ro de l ost? ) Qué tn lejos est el ro del fro? ) Qué tn lejos est el ro del fro B?

8 15. Si un helióptero que puede volr 00 mills por hor sle desde l estión más ern l ro, uánto tiempo trdrá en llegr éste? 16. L estión le de los gurdosts se enuentr 150mills l sur de l estión Bker. Un ro en el mr enví un llmd de uxilio l ul es reiid por ms estiones. L llmd l estión le indi que l posiión del ro es de 35 l norte del este; l llmd l estión Bker indi que l posi9ión del ro es de 30 l sur del este. qué distni del ro se enuentr d estión? 17. En un memento ddo un vión se enuentr 5 km en l horizontl de un oservdor y el ángulo de elevión es de 15. qué ltur en metros vuel el vión en ese momento? 18. En l siguiente figur enuentre el vlor de x en términos de los ángulos y y dé los ldos m y d. 19. Desde un punto de oservión, los ángulos de depresión de dos otes linedos son 30 y 45. Enuentr l distni entre los dos otes si el punto de oservión está un ltur de 4000 pies. 0. Un edifiio se levnt sore un plno horizontl. El ángulo de elevión en ierto punto del plno es 30 y en un punto situdo 100 pies más er del edifiio es 45. uál es l ltur del edifiio? PEQUEÑOS RETOS 1. L se myor de un trpeio isóseles mide 14 m. Los ldos no prlelos miden 10m y los ángulos de l se miden 80º.. Enuentre l longitud de un digonl.. Enuentre el áre del trpeio. Un homre de 5 pies 9 pulgds de ltur se pr en un ndén que se inlin hi jo on un ángulo onstnte. Un poste vertil de luz situdo diretmente detrás de él proyet un somr de 18 pies de lrgo. El ángulo de depresión desde l myor ltur del homre hst l punt de su sor es de 31 enuentre el ángulo omo se muestr en l figur formdo por el ndén y l horizontl. 35 Somr