Teorema de Pitágoras

Transcripción

1 Profr. Efrín Soto Apolinr. Teorem de Pitágors En geometrí, uno de los teorems más importntes es el teorem de Pitágors porque se pli muy freuentemente pr resolver prolems. En todo triángulo retángulo que se enuentr en un plno, l sum de los udrdos de ls longitudes de los tetos es igul l udrdo de l longitud de l hipotenus. Algerimente, si y son ls longitudes de los tetos del triángulo retángulo y es l longitud de su hipotenus, entones se umple: Teorem = + Pr demostrrlo onsidermos el siguiente triángulo: Empezmos rendo ls siguientes figurs utilizndo el triángulo onsiderdo: En ls dos figurs tenemos un udrdo de ldo +. Oserv que en l figur de l izquierd hy un udrdo inlindo en medio. Este es un udrdo porque de los tres ángulos del triángulo retángulo los dos gudos sumn 90. Oserv que los tres ángulos que están en d esquin de l figur de enmedio sumn 80, y que siempre están los dos ángulos gudos del triángulo retángulo, que sumn 90. Luego, el ángulo interno del udrilátero que está dentro de l figur de l izquerd mide 90, porque l sum de los tres es 80. Entones, el áre de este udrdo es, porque su ldo mide uniddes. Por otr prte, d triángulo que qued lrededor del udrdo tiene un áre de /, y en totl son utro. Entones, el áre de los utro triángulos es:. En l figur de l dereh, tenemos un udrdo que tiene longitud de ldo +. /6

2 Profr. Efrín Soto Apolinr. El áre de este udrdo es: + +. Comprndo ls áres de ls dos figurs, otenemos: + + = + Al restr en mos ldos de l iguldd otenemos: + =, que es lo que estlee el teorem. El teorem de Pitágors puede servir pr lulr l longitud de uno de los tetos de un triángulo retángulo, undo se onoen l hipotenus y el otro teto. Ejemplo Clul l longitud del ldo fltnte del siguiente triángulo retángulo: Aplimos el teorem de pitágors pr lulr el vlor de. Nosotros onoemos: =, y =. Deemos determinr el vlor de = : + = = Ahor sustituimos los vlores onoidos: = () () = = 5 = 5 Entones, l longitud del teto es 5 uniddes. El teorem de Pitágors está esrito de mner que pree que se dese lulr l longitud de l hipotenus: Ejemplo Clul l longitud de l hipotenus del triángulo on longitudes de tetos m y 0 m, respetivmente. Aplimos diretmente el teorem: = + = () + (0) = = 84 Entones, l hipotenus de ese triángulo retángulo mide: = 84 = 9 m. El triángulo es semejnte l siguiente: /6

3 Profr. Efrín Soto Apolinr. 9 0 Igulmente, el teorem de Pitágors se puede utilizr pr verifir que ls longitudes de los ldos de un triángulo orrespondn un triángulo retángulo. El profesor indió que un triángulo retángulo tení sus ldos on medids: 77 m, 6 m y 85 m. Verifi que se trt de un triángulo retángulo. Ejemplo Si el triángulo es retángulo, dee stisfer el teorem de Pitágors. Oserv que l hipotenus siempre es el ldo de myor longitud. En este so, l hipotenus mide 85 m. Verifimos si se trt de un triángulo retángulo: = + (85)? = (77) + (6) 75 = Como ls longitudes de los ldos del triángulo stisfen el teorem de Pitágors, se trt de un triángulo retángulo. No siempre otendremos longitudes de ldos del triángulo retángulo on números enteros. Alguns vees otendremos números riones e inlusive números irrionles. Clul l longitud de l hipotenus del siguiente triángulo retángulo: Ejemplo /6

4 Profr. Efrín Soto Apolinr. En este so, = 7, y = 4. Aplimos el teorem de Pitágors pr lulr l longitud de l hipotenus de este triángulo retángulo: = + = = Oserv que l hipotenus de este triángulo retángulo mide un poo más de 8 uniddes. Igulmente, podemos utilizr el teorem de Pitágors pr enontrr geométrimente l posiión de puntos en l ret numéri, omo se muestr en el siguiente ejemplo. Ejemplo 5 Enuentr l posiión de los puntos,, y 5 en l ret numéri. Pr lulr l posiión de = vmos onstruir un triángulo retángulo on tetos de longitud : 0 Ahor que onoemos l uiión del punto = vmos utilizrl pr lulr l posiión del punto. Pr este fin, vmos diujr un triángulo retángulo on tetos y. L hipotenus de este triángulo será de: L figur es l siguiente: = + = ( ) + () = + = uniddes. 0 Finlmente, pr lulr l posiión del número 5, trzmos un triángulo retángulo on tetos de longitudes y, porque sí, l hipotenus medirá: = () + () = 4 + = 5 uniddes. 4/6

5 Profr. Efrín Soto Apolinr. L figur muestr el trzo: Otr form de enontrr el punto que orresponde 5 en l ret numéri es omo sigue: Construimos un retángulo de se y ltur. Trzmos l digonl de ese retángulo. L digonl mide 5, porque: 5 D = ( ) + ( ) = + = 5 Muhos prolems plidos requieren del uso del teorem de Pitágors. Al igul que en el so de prolems plidos, otrs rms de l mtemáti utilizn muy freuentemente el teorem de Pitágors pr resolver prolems. Por ejemplo, pr lulr l distni entre dos puntos en geometrí nlíti, vmos utilizr un fórmul que onsiste en l pliión del teorem de Pitágors. En trigonometrí, álulo diferenil e integrl, et., y en muhs diferentes situiones vmos neesitr plir este teorem pr resolver prolems diversos. A un poste del ledo elétrio se le olorá un le tensor de ero pr drle soporte. L ltur l ul se olorá este le de ero es de.5 metros y se fijrá.5 metros de l se del poste. Qué longitud tendrá el le? (Omite el le requerido pr fijrlo) Ejemplo 6 Nosotros tenemos l siguiente situión: Cle Poste.5.5 Neesitmos lulr l hipotenus del triángulo diujdo l dereh. 5/6

6 Profr. Efrín Soto Apolinr. Pr eso, plimos el teorem de Pitágors: = + = (.5) + (.5) = = metros. Al ortr el le ntes de olorlo, deen onsiderr lo que se requiere pr justrlo en el suelo y en l prte donde se sujetrá del poste. Créditos Alert Einstein Todo dee herse tn simple omo se posile, pero no más. Este mteril se etrjo del liro Mtemátis II (pr hillerto) esrito por Efrín Soto Apolinr. L ide es omprtir este mteril pr que más gente se enmore de ls mtemátis, de ser posile, muho más que el utor. Autor: Efrín Soto Apolinr. Ediión: Efrín Soto Apolinr. Composiión tipográfi: Efrín Soto Apolinr. Diseño de figurs: Efrín Soto Apolinr. Produtor generl: Efrín Soto Apolinr. Año de ediión: 009 Año de puliión: 00 Últim revisión: 09 de myo de 00. Derehos de utor: Todos los derehos reservdos fvor de Efrín Soto Apolinr. Méio. 00. Espero que estos truos se distriuyn entre profesores de mtemátis de todos los niveles y sen divulgdos entre otros profesores y éstos utilien est informión l enseñr mtemátis sus lumnos. Este mteril es de distriuión grtuit. Gris por respetr los términos de uso. Profesor, grdezo sus omentrios y sugerenis l uent de orreo eletrónio: [email protected] Ver los términos de uso en el sitio: 6/6