Método de Determinantes

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1 Método de Determinantes Este método es de los más inmediatos 1, además de que nos ayuda desde el prinipio a reonoer si un S.E.L. tiene soluión únia o no. Para empezar definimos el onepto de determinante: Determinante Sean a,,, d números reales. El arreglo de números: d Definiión 1 se utiliza para denotar al determinante y su valor es igual a: a d. Entones, por definiión: d = a d Una forma de memorizar el onepto de determinante y ómo alularlo onsiste en oservar que multipliamos las diagonales del arreglo de números, primero la que va de izquierda a dereha (que es la manera omo leemos) y de arria haia aajo (que nos arroja el primer produto: a d), y después multipliamos los otros dos números que no haíamos onsiderado: y restamos este produto del anterior. En un S.E.L. podemos tener, por ejemplo: a x + y = m x + d y = n el ual se puede esriir en forma matriial 2 : [ a m d n ] Para otener la forma matriial de un S.E.L. asta esriir el mismo S.E.L. sin las variales. Es deir, esriimos solamente los oefiientes. De aquí se definen 3 determinantes: El determinante prinipal: = d = a d El determinante auxiliar en x: m n d = m d n 1 Desuierto por Gariel Cramer ( ), matemátio suizo. Hay evidenia de que esta regla fue usada anteriormente por el Matemátio Inglés Colin Malaurin ( ). [?] 2 En matemátias, una matriz se define omo un arreglo retangular de números. El álgera lineal es la rama de las matemátias que estudia estos ojetos matemátios, así omo los vetores. 1/7

2 El determinante auxiliar en y: m n = a n m Para haer más fáil las osas, oserva que en el determinante auxiliar de x hemos sustituido los oefiientes de la variale x por el lado dereho de las euaiones del S.E.L., y de manera semejante, para el determinante auxiliar de y se han sustituido los oefiientes de la variale y por los números m, n, y el determinante se ha alulado omo se definió anteriormente. A partir de los determinantes podemos enontrar la soluión del S.E.L.: a x + y = m x + d y = n En este aso: x = x = y = y = m n d d m n d = m d n a d = a n m a d Para dar evidenia de que esto es verdad, vamos a volver a resolver el siguiente S.E.L.: Ejemplo 1 Resuelve: x + y = 10 x y = 2 Primero enontramos el determinante prinipal: = = (1)( 1) (1)(1) = ( 1) (1) = 2 Ahora alulamos el determinante auxiliar en x: = (10)( 1) (1)(2) = ( 10) (2) = 12 Y finalmente alulamos el determinante auxiliar en y: = (1)(2) (10)(1) = (2) (10) = 8 Ahora podemos alular la soluión del S.E.L.: 2/7

3 x = x = 12 2 = 6 y = x = 8 2 = 4 Y ya saemos que la soluión es orreta 3. Resuelve: 2 x + y = 6 x 2 y = 8 Ejemplo 2 Calulamos primero el determinante prinipal: = = (2)( 2) (1)(1) = ( 4) (1) = 5 Ahora alulamos el determinante auxiliar en x: = (6)( 2) (1)(8) = ( 12) (8) = 20 Y finalmente alulamos el determinante auxiliar en y: = (2)(8) (6)(1) = (16) (6) = 10 Ahora podemos alular la soluión del S.E.L.: x = x = 20 5 = 4 y = x = 10 5 = 2 Ahora vamos a verifiar que la soluión sea orreta: 2 x + y = 6 2 (4) + ( 2) = 6 x 2 y = ( 2) = 8 La ventaja de usar este método onsiste en que si el determinante prinipal es igual a ero, entones podemos onluir inmediatamente que el S.E.L. no tiene soluión únia. Es posile que no tenga soluión, omo es posile que tenga un número infinito de soluiones. Resuelve: 2 x 3 y = 7 4 x 6 y = 0 Ejemplo 3 3 Este S.E.L. ya se resolvió por varios métodos. Puedes ver la soluión en las páginas?? (método gráfio),?? (eliminaión) ó?? (sustituión). 3/7

4 Para resolver este S.E.L. 4 vamos a alular primero el determinante prinipal: = = (2)( 6) ( 3)(4) = ( 12) ( 12) = 0 Dado que = 0, no podremos enontrar los valores de las variales x e y, porque tendremos división por ero. De aquí se onluye que el S.E.L. no tiene soluión únia. Para saer si el S.E.L. tiene un número infinito de soluiones o no tiene soluión, alulamos los otros dos determinantes auxiliares: Empezamos alulando el valor del determinante auxiliar de x: = (7)( 6) ( 3)(0) = ( 42) (0) = 42 Y ahora alumamos el determinante auxiliar en y: = (2)(0) (7)(4) = (0) (28) = 28 En este aso tanto x omo y son distintos de ero, indiando que el S.E.L. no tiene soluión. Por qué? Oserva que si multipliamos la primera euaión del S.E.L. por 2 otenemos: 2 x 3 y = 7 4 x 6 y = 14 Y al ompararla on la segunda euaión del S.E.L. podemos onluir que se trata de un S.E.L. formado por dos retas paralelas distintas. En aso de que los determinantes auxiliares huieran resultado ser iguales a ero, tendríamos que las dos euaiones que forman el S.E.L. serían la misma reta, y el S.E.L. tendría en ese aso un número infinito de soluiones. Entones, este S.E.L. no tiene soluión. Ejemplo 4 En la ofiina muniipal utilizan dos fotoopiadoras para preparar invitaiones para el día de las madres. La máquina Y produe 600 fotoopias más por hora que la máquina X. Cuando traajan juntas produen fotoopias en 3 horas. Cuál es la veloidad de fotoopiado de ada máquina? Saemos que la máquina Y produe 600 fotoopias más por hora que la máquina X. Es deir, si x es la veloidad de fotoopiado de la máquina X y y es la veloidad de fotoopiado de la máquina Y, tenemos que: y = x x + y = 600 Por otra parte, saemos que en 3 horas las dos máquinas traajando juntas produen fotoopias: 3 x + 3 y = Este S.E.L. fue tomado de la fuente: [?] indiada en la iliografía. 4/7

5 Entones, el S.E.L. que modela nuestro prolema es: x + y = x + 3 y = Primero lo esriimos en forma matriial: [ Ahora es más fáil enontrar los determinantes: = = ( 1)(3) (1)(3) = ( 3) (3) = 6 Dado que = 0 saemos que el S.E.L. tiene soluión únia. Ahora enontramos el determinante auxiliar en x: = (600)(3) (1)(19800) = (1800) (19800) = Y el determinante auxiliar en y: = ( 1)(19800) (600)(3) = ( 19800) (1800) = Y la soluión de este S.E.L. es: x = x = = y = x = = Ahora omproamos que la soluión esté orreta: Es evidente que la soluión satisfae la primera euaión: y = x = Ahora verifiamos que satisfaga la segunda euaión: 3 x + 3 y = (3 000) + 3 (3 600) = Con lo que proamos que la veloidad de la fotoopiadora X es de fotoopias por hora y la fotoopiadora Y tiene una veloidad de fotoopias por hora. ] En la iliotea de una primaria enontraron que hay 3 liros de químia más que de físia y la suma de esos liros es 27. Cuántos liros de ada una de esas materias hay? Ejemplo 5 Vamos a denotar al número de físia on la letra f y los de químia por q. 5/7

6 Saemos que si a los liros de físia le sumamos 3, otenemos el número de liros de químia: q = f + 3 f + q = 3 Por otra parte, saemos que sumamdos los liros de físia y los de químia en total son 27: f + q = 27 Nuestro S.E.L. es: f + q = 3 f + q = 27 Es evidente que este S.E.L. se puede resolver rápidamente por el método de eliminaión, pero vamos a proar la soluión por el método de determinantes. Ahora esriimos el S.E.L. en su forma matriial: [ Para resolver este S.E.L., empezamos alulamos los determinantes: = = ( 1)(1) (1)(1) = ( 1) (1) = 2 f = = (3)(1) (1)(27) = (3) (27) = 24 q = = ( 1)(27) (3)(1) = ( 27) (3) = 30 ] Entones, la soluión de este prolema es: f = f = 24 2 = 12 q = q = 30 2 = 15 Ahora vamos a verifiar que esta soluión satisfae las ondiiones del prolema: La primera ondiión: «...hay 3 liros de químia más que de físia», se umple: 15 = La segunda ondiión: «...la suma de esos liros es 27», tamién se umple: = 27 Cuando enuentres un S.E.L., primero oserva qué método de soluión te ayuda a resolverlo on el mínimo esfuerzo. Una uena idea onsiste en alular primero el determinante prinipal del S.E.L., porque esta informaión te dirá si tiene soluión únia (en aso de que = 0). 6/7

7 Alert Einstein Créditos Todo dee haerse tan simple omo sea posile, pero no más. Este material se extrajo del liro Matemátias I esrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es ompartir estos truos para que más gente se enamore de las matemátias, de ser posile, muho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Ediión: Efraín Soto Apolinar. Composiión tipográfia: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Produtor general: Efraín Soto Apolinar. Año de ediión: 2010 Año de puliaión: Pendiente. Última revisión: 22 de agosto de Derehos de autor: Todos los derehos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méxio Espero que estos truos se distriuyan entre profesores de matemátias de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distriuión gratuita. Profesor, agradezo sus omentarios y sugerenias a la uenta de orreo eletrónio: efrain@aprendematematias.org.mx 7/7