1. INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

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1 Introduión a las estruturas algebraias 1. INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Conjuntos y Subonjuntos. 2.- Operaiones on Conjuntos. Propiedades. 3.- Relaiones Binarias: Equivalenia y Orden. 4.- Apliaiones. 5.-Tipos de Apliaiones. Composiión de Apliaiones. 6.- Grupos, Anillos y Cuerpos. PROBLEMAS RESUELTOS. BIBLIOGRAFÍA 1

2 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCIÓN En este apítulo se ha tratado de introduir el lenguaje en el que se expresan las Matemátias por lo que iniialmente puede resultar inneesario tratar de busar apliaiones de algo uya utilidad es servir de fundamento. Esto ya de por si es sufiiente apliaión. Sin embargo, dado el interés eminentemente prátio de un estudiante de Ingeniería onviene utilizar algunas apliaiones del lenguaje de la Teoría de Conjuntos omo motivaión para su interés. Podemos destaar algunas utilidades que vienen dadas fundamentalmente omo onseuenia de su apaidad expresiva: - La idea de orrespondenia o apliaión es el modo natural de representar leyes físias y el entender éstas omo pares ordenados resulta adeuado a la hora del tratamiento informátio de un problema onreto. Por ejemplo, si entendemos una apliaión que a un punto de una lámina le asigna una temperatura omo una terna de números reales en la que los dos primeros representan la posiión del punto y el terero la temperatura, podremos onstruir un programa de ordenador que represente el alentamiento de la lámina asignando olores a distintos rangos de temperatura. Los métodos de reuento de subonjuntos son fundamentales en el álulo de probabilidades para poder enumerar los suesos posibles y los favorables. Y el álulo de probabilidades está en el fundamento de la Estadístia de uso ada vez más freuente en el mejoramiento de proesos industriales. 2

3 OBJETIVOS Introduión a las estruturas algebraias Conoer y manejar la simbología y el lenguaje matemátio neesarios para realizar planteamientos y razonamientos matemátios que va a utilizar en el desarrollo de la asignatura y de su arrera. Conoer y manejar on destreza las propiedades de los grupos on independenia de la naturaleza de los elementos del onjunto. Reonoer ejemplos de los onjuntos numérios usuales. Deduir onseuenias de la definiión de grupo y simplifiar on soltura expresiones dentro de un grupo. Construir algunos grupos finitos de interés omo el grupo de las permutaiones de n elementos y el grupo p. 3

4 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCION TEORICA 1. CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS 1.1. Conjunto Un onjunto es una oleión de objetos que llamaremos elementos. Un elemento a que está en el onjunto U se die que pertenee a U y se esribe a U. Si a no está o no pertenee a U se esribe a U. Generalmente, los elementos son denotados on letras minúsulas y los onjuntos on mayúsulas. Un onjunto puede definirse de las siguientes formas: a) Por extensión, indiando todos los elementos del onjunto. En general, los elementos se representan entre llaves: U { a a a } =,,...,. 1 2 n b) Por omprensión, dando una propiedad que araterie a los elementos del onjunto: U = { números naturales pares} Subonjunto Un onjunto A es subonjunto de un onjunto B, A B, si todo elemento de A lo es de B, es deir, a A a B. Si A B, se die que A está inluido o ontenido en B o que B ontiene o inluye a A Conjunto Vaío El onjunto vaío es un onjunto que no tiene elementos. Se simboliza por. 4

5 1.4. Conjunto Universal o de Referenia Introduión a las estruturas algebraias Un onjunto U se die que es el universal de una serie de onjuntos on los que se está trabajando si umple que ualquiera de estos onjuntos es subonjunto suyo. 2. OPERACIONES CON CONJUNTOS. PROPIEDADES 2.1. Igualdad de onjuntos Dos onjuntos son iguales, y se esribe A = B, si tienen los mismos elementos. La igualdad de dos onjuntos se demuestra mediante la doble inlusión A B y B A Conjunto Complementario Dado un onjunto A de un onjunto universal U se define su onjunto omplementario, y se denota por A o forma: A= { x U / x A}. A, de la siguiente 2.3. Interseión de onjuntos El onjunto formado por los elementos omunes de A y B es el onjunto interseión de ambos: { y } A B= x U / x A x B. Si A B=, los onjuntos se llaman disjuntos. 5

6 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A Unión de Conjuntos La unión de los onjuntos A y B es el onjunto formado por todos los elementos de A y por todos los elementos de B : { o } A B = x U / x A x B Diferenia de onjuntos La diferenia de los onjuntos A y B está definida omo el siguiente onjunto: { y } A B= x U / x A x B = A B Diferenia Simétria La diferenia simétria de los onjuntos A y B es el onjunto: A B= ( A B) ( B A). También se puede expresar: A B= ( A B) ( A B) = ( A B) ( A B) Propiedades La unión, interseión y el omplementario, verifian las siguientes propiedades. a) Unión e interseión Asoiativa (A B) C = A ( B C) ( A B) C = A ( B C) Conmutativa 6

7 A B= B A A B= B A Idempotente Introduión a las estruturas algebraias A A= A A A= A Simplifiaión A ( B A) = A A ( B A) = A Absorión A U = U A = Distributiva A ( B C) = = ( A B) ( A C) A ( B C) = = ( A B) ( A C) b) Complementario ( A) = A ( A B) = A B ( A B) = A B Leyes de Morgan Nota: Se pueden definir las operaiones unión e interseión de un número arbitrario de onjuntos: A= A (x A, si x Ai, i I) i I i 7

8 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. A A = i (x A, si x Ai, para algún A i ) i I Definiión de Conjunto de las Partes de un Conjunto El onjunto partes de un onjunto A es el onjunto de todos los subonjuntos posibles de A, se denota por PA. ( ) { } PA ( ) = B/ B A. Definiión de Cardinal de un onjunto finito A Es el número de elementos que tiene diho onjunto. Se representa por Card( A ) o por na. ( ) Las siguientes fórmulas relaionan los ardinales y las operaiones entre onjuntos: na ( B) = na ( ) + nb ( ) na ( B). na ( B C) = na ( ) + nb ( ) + nc ( ) na ( B) na ( C) nb ( C) + na ( B C). na ( ) = nu ( ) na ( ). 3. RELACIONES BINARIAS: EQUIVALENCIA Y ORDEN 3.1. Produto Cartesiano. Relaión Binaria Produto Cartesiano Dados dos onjuntos A y B, el produto artesiano de A y B es el onjunto de pares ordenados ( ab, ) donde a A {( ) y } A B = a, b / a A b B Relaión Binaria y b B, esto es: 8

9 Introduión a las estruturas algebraias Una relaión binaria definida en los elementos de A es un subonjunto G del produto artesiano A A. G se die que es el grafo de la relaión. Si el par ( a a ), G, deimos que a 1 está relaionado on a 2 y se 1 2 simboliza por a1 a2 R. Si ( a a ), G, deimos que a 1 no está 1 2 relaionado on a 2 y se simboliza a1r a2. Propiedades de una Relaión Binaria Dentro de las propiedades que puede umplir una relaión binaria están las siguientes: Re flexiva : ar a, a A Simétria : Si arb entones br a Antisimétria Si arb y br a entones a = b Transitiva Si arb y br entones ar Conexa, ab A: arb o br a Definiión de las Relaiones de Equivalenia Una relaión binaria definida en un onjunto A y que umple las propiedades reflexiva, simétria y transitiva se die que es de equivalenia. 9

10 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Clases de Equivalenia La lase de equivalenia de un elemento a A es el onjunto de todos los elementos relaionados on él. Se representa por a ó [ a ], es deir: a= { x A / xr a}. Definiión de Conjunto Coiente Es el onjunto formado por todas las lases de equivalenia. Se denota por A/R. Definiión de las Relaiones de Orden Una relaión binaria definida en un onjunto A umpliendo las propiedades reflexiva, antisimétria y transitiva es una relaión de orden. Se die entones que A es un onjunto ordenado. Relaión de Orden Total Una relaión binaria definida en un onjunto A es una relaión de orden total si además de ser de orden (es deir, verifia las propiedades reflexiva, antisimétria y transitiva) posee también la propiedad onexa. 4. APLICACIONES 4.1. Primeras Definiiones Definiión de Correspondenia Dados dos onjuntos A y B, una orrespondenia o relaión entre A y B es un subonjunto D del produto artesiano A B, es deir, D ( A B). Deimos que dos elementos a A e b B se orresponden o están relaionados si ( ab, ) D. 10

11 ( E, FG, ). Introduión a las estruturas algebraias A vees se hae referenia a la orrespondenia on la terna El subonjunto D A B se denomina grafo de la orrespondenia Definiión de Apliaión Una orrespondenia entre A y B de grafo D es una apliaión de A en B si para ada a A existe un y sólo un elemento b B umpliendo que ( ab, ) D. Generalmente las apliaiones se expresan por f : A B, esribiendo que b= f( a) si ( ab, ) D (se lee omo que b es la imagen mediante f del elemento a ). A es el onjunto de partida de la apliaión. B es el onjunto de llegada de la apliaión Definiión de Dominio u Origen de una Apliaión. El dominio de la apliaión f ( Dom( f ) u Or( f )) es el onjunto de elementos de A para los uales existe imagen, es deir: { } Dom( f ) = Or( f ) = a A / b B, ( a, b) D = A Definiión de Imagen de una Apliaión La imagen de la apliaión f es el subonjunto siguiente de B : { } Im( f) = b B / a A, ( a, b) D Definiión de Imágenes y Antiimágenes 11

12 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Dado un subonjunto X de A, la imagen de X mediante la apliaión f, llamada f ( X ) es el subonjunto de B definido de la forma: { } f ( X) = Im( f) = b B / x X, f( x) = b. Dado un subonjunto Y de B la antiimagen de Y mediante f es el subonjunto de A, llamado f { } f 1 ( Y) = a A / f( a) Y. 1 ( Y ) y definido por: 5. TIPOS DE APLICACIONES. COMPOSICIÓN DE APLICACIONES 5.1. Apliaiones Inyetivas, Sobreyetivas y Biyetivas a 1 2 Una apliaión f : A B se denomina: i) inyetiva, si dados a 1, a 2 Or( f) y f ( a1) = f( a2) entones = a. ii) sobreyetiva, si Im( f) b B, a a / f( a) = b ). = B (equivale a deir que iii) biyetiva, si es inyetiva y sobreyetiva Composiión de Apliaiones Sea f una apliaión de A en B y g una apliaión de B en C. Si se verifia Im( f) Or( g), se puede definir la apliaión h omposiión de f y g, h= g f, de la forma: ( ) hx ( ) = g f x, x Or( f ). 12

13 5.3. Apliaión Identidad Introduión a las estruturas algebraias Sea i: A A, una apliaión. Se die que i es la identidad si se verifia que a A: i( a) = a Correspondenia y Apliaión Reíproa Sea f una apliaión de A en B. El subonjunto D B A definido de la forma: ( ba, ) D ( ab, ) D es una orrespondenia entre B y A que se llama orrespondenia reíproa de f. Si la orrespondenia reíproa es una apliaión, a diha apliaión se la llama apliaión inversa o reíproa de f y se esribe 1 f. i) ii) f Or f. 1 f es la funión identidad en el onjunto ( ) f f 1 es la funión identidad en el onjunto Im( f ). Nota: Hay que señalar que las dos funiones son distintas, ya que aunque la ley de obtenión de imágenes es la misma: 1 1 ( )( ) ( ) f f a = a f f a = a no están definidas en el mismo dominio. 6. GRUPOS, ANILLOS Y CUERPOS 6.1. Leyes de Composiión Ley de Composiión Interna 13

14 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Dado un onjunto A, una ley de omposiión interna en A (l..i.) es una apliaión A A A, esto es, dado un par de elementos de A le asoia A. Utilizaremos la siguiente simbología para referirnos a una ley de omposiión interna:,,, + (si es ley aditiva), (si es ley multipliativa). Al resultado de apliar la l..i. al par ( ab, ) se le denota por a b, a b, a b, a+ b, ab. son: Propiedades Las propiedades que puede umplir una ley de omposiión interna Asoiativa: ( a b) = a ( b ), a, b, A Conmutativa: a b= b a, a, b A Existenia de elemento neutro: e A / a e= e a= a, a A El elemento neutro, si existe, es únio. Si la ley es aditiva, el elmento neutro lo denotaremos por 0; si es multipliativa, 1. Existenia de elemento simétrio. Un elemento a A admite simétrio a si se tiene que a a = a a= e. Si la ley es aditiva, el simétrio se denomina opuesto y si es multipliativa reíproo o inverso. Tenemos que ( a b) = b a. Elementos regulares: Un elemento x es regular a la izquierda si, ab A: x a = x b a= b. Un elemento x es regular por la dereha si: ab, A: a x= b x a= b. 14

15 Introduión a las estruturas algebraias Un elemento es regular si lo es a la izquierda y a la dereha. Parte estable: Un subonjunto B A es parte estable para la ley de omposiión interna, si ab, B, a b B. Distributiva: Dadas dos leyes de omposiión interna y en un onjunto A, la ley es distributiva respeto a la ley si : a ( b ) = ( a b) ( a ) ab,, A. Definiión de Homomorfismo Dados dos onjuntos A y B on las leyes de omposiión interna y, respetivamente, una apliaión f : A B se die que es un homomorfismo si verifia que : f ( a b) = f( a) f( b), ab, A. A ada tipo de homomorfismos lo nombraremos de una forma diferente. Así: - Si A = B, el homomorfismo se llama endomorfismo. - Si f es inyetivo, se llama monomorfismo. - Si f es sobreyetiva,a se llama epimorfismo. - Si f es biyetivo, se llama isomorfismo. - Si f es biyetivo y A = B, se llama automorfismo. Propiedades de un Homomorfismo. Sea f un homomorfismo. Entones, sse verifia: Si e es el elemento neutro de, f () e es el elemento neutro de. Si a es el elemento simétrio de a por, f ( a ) es el simétrio de f ( a ) por. La omposiión de homomorfismos es otro homomorfismo. 15

16 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Definiión de Ley de Composiión Externa Dados dos onjuntos A y K, una ley de omposiión externa (l..e) es una apliaión K A A, es deir, a un elemento de K y a otro elemento de A les hae orresponder uno de A Grupos Un onjunto G, distinto del vaío, es un grupo si tiene definida una ley de omposiión interna que umple las propiedades: Asoiativa. Existe elemento neutro e. ( a e= e a= a, a G). Todo elemento tiene simétrio. a G, a G / a a = a a= e Nota: - Un grupo on la propiedad onmutativa, se llama onmutativo o abeliano. - Si la ley es multipliativa, el neutro se suele simbolizar por 1 y al simétrio se le denomina inverso, y se denota por 1 a. - Si la ley es aditiva, el elemento neutro se simboliza por 0 y el simétrio por a, llamándole opuesto Anillos Un anillo A es un onjunto on dos leyes de omposiión interna y, tal que, respeto de la primera tiene estrutura de grupo abeliano y respeto de la segunda es asoiativa y distributiva respeto de la primera, es deir: a ( b ) = ( a b) ( a ), a, b, A y ( b ) a= ( b a) ( a), ab,, A 16

17 Introduión a las estruturas algebraias Si la segunda operaión es onmutativa, el anillo se llama onmutativo, y unitario si la segunda operaión tiene elemento neutro. La notaión habitual de un anillo es ( A,+, ), denotándose por 0 el elemento neutro de la primera ley (ley suma) y por 1 al elemento neutro de la segunda ley (ley produto), en aso de que exista. Utilizaremos diha notaión habitualmente Cuerpos Un uerpo K es un anillo unitario ( A,+, ) en el que todo elemento distinto de 0 tiene inverso. Si la segunda ley es onmutativa, el uerpo es onmutativo. 17

18 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Siendo A, BC, subonjuntos de U (onjunto universal), simplifiar la siguiente expresión ( ) A B C A B C ( A B). SOLUCIÓN: ( ) ( ) ( distributiva) A B C A B C A B = ( ) ( ) ( C C ) = U = A B C C A B = ( A B U= A B ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B U A B ( A B) ( A B) = = = ( distributiva) ( A A ) = U = ( A A ) B = = U B = B. 2.- Siendo ABC,, subonjuntos de U, y dado el onjunto ( ) ( ) D= [ A B C] A B C, razonar la veraidad o falsedad de las siguientes afirmaiones: a) D= A b) D= A B ) D= A B. SOLUCIÓN: Se realizarían las siguientes operaiones de onjuntos para simplifiar la anterior expresión. ( ) ( ) ( ) D= A B C A B C A B C = A B C = (1) ( ) = A B A B C= A B C 18

19 Sabemos que se umple lo siguiente: Introduión a las estruturas algebraias (1) ( ) A B A A B A B A B A B = A B C C De aquí se puede onluir que las opiones a), b) y ) son todas falsas. No obstante se puede llegar a la misma onlusión on un ejemplo en onreto: que : Sea A = { 123,, }, B = { 24, }, { 126} U = { ,,,,, } C =,,, y el onjunto total Entones se tendría que: ( A B) { 12356} ( ) { 126} A B C =,, = C, y también se tiene que ( A B C) { 2} ( ) ( ) { 126} =,,,,, por lo tanto =, por lo que se onluye A B C A B C =,, = C, que efetivamente no se orresponde ni on la opión a), ni on la b), ni on la ). 3.- Siendo ABC,, subonjuntos de U, simplifiar la siguiente C C C A B A C A B expresión onjuntista ( ) ( ) SOLUCIÓN:. Utilizando las leyes de las operaiones entre onjuntos, la anterior expresión se puede simplifiar de la siguiente forma: (1) (2) C C C ( A B) ( A C) A B ( A B) ( A C) ( A B) ( ) ( ) (3) = = A B A C A B = = 19

20 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. (1) Aquí se han usado las Leyes de Morgan de onjuntos: ( ) C C C A B = A B, al mismo tiempo también se ha usado la propiedad que nos die que ( A C ) C = A (2) Aquí úniamente se ha tenido en uenta que A A= A (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A C A A C A B A B A C = A B. 4.- Siendo A, B y C subonjuntos de U entones el onjunto ( A B) [( A B) C ] ( A B C) on uál de los siguientes se orresponde? a) B b) C ) A d) SOLUCIÓN: ( A B) [( A B) C ] ( A B C) = ( = A B) ( A B C ) ( A B C) = (1) (2) (3) = = = ( A B) [( A B) ( C C)] ( A B) [( A B) U] = ( A B) ( A B) = (2) (3) = = = ( A A) B U B B. (1) Distributiva :( A A ) ( A A ) = A ( A A ) (2) A A = U (3) A U = A 20

21 Introduión a las estruturas algebraias 5.- De 100 ordenadores, 80 tienen un virus A, 35 tienen un virus B, y 12 no tienen ningún virus. Cuántos ordenadores poseen los dos virus? SOLUCIÓN: Si llamamos: { ordenadores que tienen el virus A} A = y si llamamos: B = { ordenadores que tienen el virus B} Como sólo hay 12 ordenadores sin virus, entones = 88 ordenadores tienen algún 7 virus, es deir el ardinal de A B es 88 : na ( B) = 88. Por otro lado, na= ( ) 80 y nb ( ) = 35 Sabemos, por otro lado que: na ( B) = na ( ) + nb ( ) na ( B) na ( B) = na ( ) + nb ( ) na ( B) Luego: na ( B) == = 27 Es deir hay 27 ordenadores que poseen los virus A y B. 6.- Sea la relaión binaria definida entre elementos de : xry x y. Estudiar qué tipo de relaión es R (equivalenia, orden total u orden parial). SOLUCIÓN: Veamos qué propiedades son las que umple la relaión R. i ) Reflexiva. x se tiene que x = x, por lo tanto se puede deir que x x (no se umple la ondiión de <, pero sí la del = ). 21

22 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Luego sí es reflexiva. ii ) Simétria.? Si xry yrx Si xry x y, pero de aquí no se obtiene que y x.las dos ondiiones sólo se darán uando x = y. Por ejemplo, sea x = 3 e y = 4, se tiene que 3 4 3R 4. Sin embargo 43 4R 3. Luego, no es simétria. iii ) Antisimétria. Lo que tendríamos que ver es que: xr y y yr x x= y x R y x y x = y yrx y x Luego sí es antisimétria. iv ) Transitiva. xry? Tendríamos que ver que: xr z e yrz Tenemos que xry x y e x y z x z x R z yrz y z Por lo tanto sí es transitiva. v ) Conexa. Habría que ver que dados x, y R, se tiene que: xr y ó yr. x 22

23 Introduión a las estruturas algebraias Ahora bien, si xy,, lo que podemos asegurar es que o x y o y x, es deir, efetivamente se tiene que o xr y o yr. x Por lo tanto, la relaión es onexa. i) Para que la relaión sea de equivalenia es neesario que se umplan las propiedades reflexiva, simétria y transitiva. En este aso en partiular no se umple la simétria por lo que R no es de equivalenia. ii) Para que la relaión sea de orden tiene que umplir las propiedades reflexiva, antisimétria y transitiva. R umple todas estas propiedades, por lo que R es una relaión de orden. Además omo se umple la propiedad onexa, será de orden total. 7.- Sea la relaión binaria definida en el onjunto de los triángulos del plano por dos triángulos T 1 y T 2 están relaionados si y sólo sí tienen al menos un ángulo igual. Estudiar qué propiedades de las relaiones binarias umple. SOLUCIÓN: i ) Reflexiva. Sí lo es porque un triángulo T 1, tiene todos los ángulos iguales onsigo mismo, obviamente. ii ) Simétria. Si un triángulo T 1 está relaionado on otro triángulo T 2 ambos tienen al menos un ángulo igual, por lo tanto también podemos deir que T 2 tiene al menos un ángulo igual a T 1, o lo que es lo mismo, T 2 está relaionado on T 1. Es deir si T 1 R T 2 T 2 R T 1 iii ) Transitiva. Si T 1 R T 2 entones sabemos que T 1 y T 2 tienen al menos un ángulo igual. Por otro lado si se umple que T 2 R 23

24 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. T 3, lo que sabemos es que T 2 tiene al menos un ángulo igual on T 3, pero en ningún momento eso implia que T 1 tenga algún ángulo igual on T 3, es deir, no podemos onluir que T 1 esté relaionado on T 3. Por lo tanto la relaión no es transitiva. iv) Antisimétria. Si T 1 R T 2 y T 2 R T 1 entones podemos onluir que T 1 = T 2? La respuesta es evidentemente que no, ya que lo únio que podemos asegurar es que al menos tienen un ángulo igual, pero de los demás ángulos no sabemos nada. Por lo tanto no es antisimétria. No puede ser una relaión de equivalenia porque para ello tendría que ser reflexiva, simétria y transitiva y en este aso en partiular no se umple la transitividad. Por otro lado tampoo puede ser de orden porque para ello se exige la reflexiva, antisimétria y transitiva y en esta relaión fallan la antisimetría y la transitividad. 8.- Sea la relaión binaria definida en = {0, 1, 2, 3, 4,...}, por arb a+ b= 2. Razonar la veraidad o falsedad de los siguientes enuniados. a) El onjunto oiente tiene un únio elemento. b) El onjunto oiente sólo tiene 2 elementos. ) El onjunto oiente sólo tiene 3 elementos. d) La relaión no es de equivalenia. SOLUCIÓN: Veamos en primer lugar que se trata de una relaión de equivalenia: 24

25 i ) Reflexiva. Tendríamos que omprobar que Introduión a las estruturas algebraias a se umple que ar a Ahora bien, a a+ a= 2a= 2 ara ii ) Simétria. Tendríamos que omprobar que arb br a. Sabemos que iii ) Transitiva. ( + esonmutativa) arb a+ b= 2 b+ a= 2 bra Lo que habría que ver es que ar b y br ar Sabemos que arb a+ b= 2 y br b+ = 2 Con estos datos podemos esribir que a+ = ( a+ b) + ( b+ ) 2b= = (2b= 2) = 2b 2 ar Como la relaión es reflexiva, simétria y transitiva entones se trata de una relaión de equivalenia. Veamos uál es la lase de equivalenia de un elemento a. [ ] { } a a b a b 2 = = / + =. Para que al sumar dos números naturales entre sí nos de una antidad par, sólo hay dos opiones: i ) que ambos números sean pares. ii ) que ambos números sean impares. Al sumar un número par on un número impar siempre obtendremos un impar. 25

26 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Por lo tanto, sólo habrán dos lases de equivalenias: la de los números pares y la de los números impares. { a b a es par y b es impar } /R =, /, omo ada lase de equivalenia está representada por un elemento de su lase, si tomamos el 2 omo representante de los pares y el 1 omo representante de los impares, obtenemos que: { 12} /R =,. a) Falso. b) Verdadero. ) Falso. d) Falso. 9.- En definimos la relaion binaria 2 2 arb a + a= b + b. Comprobar que esta relaión binaria indue una partiión en, en la que ada lase ontiene dos elementos. SOLUCIÓN: Veamos en primer lugar que se trata de una relaión de equivalenia: i ) Reflexiva a R se umple que ii ) Simétria 2 2 a + a = a + a por lo tanto ar a arb a + a= b + b b + b= a + a br a iii ) Transitiva 26

27 2 2 arb a + a= b + b 2 2 y a + a = + a R. 2 2 br b + b= + Introduión a las estruturas algebraias Como se umplen i ), ii ) y iii ), tenemos que la relaión es de equivalenia. El onjunto oiente de esta relaión /R = { a / a R} nos da una partiión de. a= { b R / ar b}, a a, vamos a ver si hay algún otro elemento en la lase de a a b a a b b a b b a a b a b a b R + = + = ( + )( ) = ( ) a+ b= 1 b= 1 a, luego a= { a, 1 a} En el onjunto de los números reales definimos la relaión binaria, x y x y e e R =, analizar las propiedades de esta relaión binaria. SOLUCIÓN: Reflexiva. R si es reflexiva ya que, = R x x x e e x x Simétria x y y x xry e = e e = e yr x Antisimétria. x y xr y e = e yr x ey ex = = = Transitiva. x y e e x y 27

28 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. x y xr y e = e yr z ey ez = = R x z e e x y Por tanto, se trata de una relaión binaria que es de equivalenia y de orden al mismo tiempo. apliaión 11. Analizar qué subonjunto X, hae inversible a la f: -{ 1} X SOLUCIÓN: x x f( x) =. 3 2x 2 Para poder definir 1 f tenemos que tener una biyeión. Para ello en primer lugar vamos a asegurarnos de que f es inyetiva.? f ( x) = f( y) x= y 3 f( x) = f( y) = x 3 y 2x 2 2y 2 2xy 2x 6y + 6= 2xy 2y 6x + 6 4x = 4y x= y f es inyetiva Para onseguir que f sea también sobreyetiva tenemos que restringir el onjunto de llegada a Im ( f ), es deir, tenemos que ver qué valores de, no tienen antiimagen, la imagen de f será todo, menos dihos puntos: y = y x = x xy y = x x y = y x 3 2x 2 (2 2) (2 1) 2 3 x = 2y 3 2y 1 28

29 x =. 4 0 f ( x) Introduión a las estruturas algebraias 1 Si y =, es imposible enontrar un valor para x, ya que daría 2 1 Luego y, podemos enontrar un valor para x de manera que = y. La gráfia de la funión es: y = 1 2 en ella se puede ver que la funión tiene una asíntota horizontal en, pero que no orta a diha asíntota, es deir, ningún punto tiene omo imagen el 1. Por tanto, el onjunto pedido es 1 2 { } Sean los onjuntos A = { 12345,,,, } y B { abde} apliaión f uyo grafo es: G {( 1 a) ( 2 a) ( 3 ) ( 4 d)( 5 e) } 2 =,,,, y la =,,,,,,,,,. Es f inyetiva? Es f sobreyetiva? Es f biyetiva? SOLUCIÓN: f no es inyetiva porque los elementos 1, 2 A tienen la misma imagen en B : f(1) = f(2) = a f tampoo es sobreyetiva porque ( ) { } Im f = a,, d, e B. 29

30 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. f no puede ser biyetiva porque no es ni inyetiva, ni sobreyetiva Si la apliaión f : A B es inyetiva razonar la veraidad o falsedad de los siguientes apartados: a) na ( ) nb ( ) b) na ( ) > nb ( ) ) f tiene inversa. d) A B SOLUCIÓN: a) Verdadero. Si f es inyetiva quiere deir que a ada elemento de A, f le asoia un elemento en B, pero ualquier elemento de B será a lo sumo imagen de sólo un elemento de A. Por tanto B tiene que tener al menos tantos elementos omo A. b) Falso. Por el razonamiento heho en el apartado a). ) Falso. Veámoslo on un ejemplo: f : x f( x) = x Es evidente que no existe antiimagen para ualquier número real no perteneiente a los naturales. d) Falso. La apliaión f : 2 30

31 Introduión a las estruturas algebraias x f( x) = ( x, x) es inyetiva y sin embargo En se define la ley de omposiión interna dada por: x y = 2xy 3x 3y+ 3. Comprobar si esta ley posee neutro y en aso afirmativo deir qué elemento sería. SOLUCIÓN: Sea el elemento neutro busado e, diho elemento tiene que umplir que x : x e= e x= x. Pero, x e= 2xe 3x 3e+ 3= x 2xe 2x 3e+ 3= 0 e(2x 3) = 2x 3 e= 1, siempre que (2x 3) 0, es deir, uando x 32 / 3 Si x = 2, veamos si e = 1 funiona omo neutro: 1= =. Como no existe un e que funione omo neutro para todos los elementos de R, entones no tiene neutro En onsideramos las dos leyes de omposiión internas definidas por: neutro. a b= a+ b 8 y a b= a+ b ab Cual de las siguientes afirmaiones es falsa? a) es asoiativa en b) (, ) posee elemento ) Cada elemento de tiene simétrio on la Ley d) es distributiva respeto de SOLUCIÓN: 31

32 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. a) Esta afirmaión es orreta. ( a b) = ( a+ b 8) = ( a+ b 8) + 8= a+ b+ 16 a ( b ) = a ( b+ 8) = a+ ( b+ 8) 8= a+ b+ 16 ( a b) = a ( b ) b) Esta afirmaión es orreta. El elemento neutro, e, tiene que umplir que a e= e a= a, a. Por la definiion de ", a e= e a. Faltaría ver si hay algun valor fijo "e" que verifique a e= a, a a e= a a+ e 8= a e 8= 0 e= 8 Efetivamente, a 8= a+ 8 8= a, a ) Esta afirmaion es orreta. a, vamos a ver que existe, a, tal que a a = a a= e, ( ya sabemos que e = 8). a a = e a+ a 8 = 8 a+ a = 16 a = 16 a. Efetivamente, a (16 a) = a+ (16 a) 8 = a a = 8 = e, a d) Veamos que esta afirmaión es falsa: Tenemos que ver que existen valores de ab, y tales que a ( b ) ( a b) ( a ). 2 (3 4) = 2 (3+ 4 8) = 2 ( 1) = 2 + ( 1) 2( 1) = 3 (2 3) (2 4) = ( ) ( ) = ( 1) ( 2) = = 1 + ( 2) ( 1)( 2) = 5 3 5, luego, no es distributiva respeto de. 32

33 Introduión a las estruturas algebraias BIBLIOGRAFIA ANZOLA, M.; CARUNCHO, J.; PÉREZ-CANALES, G. (1981). Problemas de Álgebra (Tomos 1-7). Madrid. SSAG. BURGOS, J. (1999). Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana. Madrid. MGraw-Hill. CARBO, R.; DOMINGO, LL. (1987). Álgebra Matriial y Lineal. España. MGraw-Hill. DE LA VILLA, A. (1994). Problemas de Álgebra. Madrid. Clagsa. ESPADA BROS, E. (1984). Problemas resueltos de Álgebra. Barelona. EUNIBAR. FLAQUER, J; OLAIZOLA, J; OLAIZOLA, J. (1996). Curso de Álgebra Lineal. Navarra EUNSA. FRALEIGH, J.B.; BEAUREGARD, R.A. (1989). Álgebra Lineal. U.S.A. Addison-Wesley Iberoameriana. GARCÍA, J.; LÓPEZ, M. (1990). Álgebra Lineal y Geometría. Aloy. Marfil. GRANERO, F. (1994). Álgebra y Geometría Analítia. Madrid. MGraw-Hill. GROSSMANN, S.I. (1996). Álgebra Lineal on apliaiones. Méxio. MGraw-Hill. GUERRA, N.; LÓPEZ, B. (1999). Problemas resueltos tipo test de Álgebra Lineal (Con esquemas teórios). Las Palmas de G.C. El Libro Ténio. 33