UNIDAD 1.- PROBABILIDAD

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1 UNIDAD 1.- PROBABILIDAD 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. Definiión: Un fenómeno o experienia se die aleatorio uando al repetirlo en ondiiones análogas no se puede predeir el resultado. Si por el ontrario, se puede predeir el resultado de una experienia aún antes de realizarla, se die que el experimento es determinista. Son fenómenos aleatorios: - Extraión de una arta de la baraja. - Lanzamiento de un dado. - Respuestas a una enuesta. Definiión: El onjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espaio muestral y se designa por la letra El espaio muestral del experimento que onsiste en lanzar un dado es: { } El espaio muestral del experimento que onsiste en lanzar una moneda al aire tres vees es:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, E x x x x x x x x x x x x El espaio muestral del experimento que onsiste en lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos: E 3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 Definiión: Cada elemento del espaio muestral E se llama sueso elemental. Una bolsa ontiene bolas blanas y negras. Se extraen suesivamente tres bolas. Calular: 1. El espaio muestral. E = {(b, b, b); (b, b, n); (b, n, b); (n, b, b); (b, n, n); (n, b, n); (n, n, b); (n, n, n)} 2. El sueso A = {extraer tres bolas del mismo olor}. A = {(b, b, b); (n, n, n)} 3. El sueso B = {extraer al menos una bola blana}. B= {(b, b, b); (b, b, n); (b, n, b); (n, b, b); (b, n, n); (n, b, n); (n, n,b)} 4. El sueso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b, b, n); (b, n, b); (n, b, b)} 1

2 2. SUCESOS Un sueso de un fenómeno o experimento aleatorio es ada uno de los subonjuntos del espaio muestral. Se suelen representar por letras mayúsulas o una expresión que lo identifique laramente. Tipos de suesos: - Suesos elementales, son los formados por un solo resultado del espaio muestral. - Suesos ompuestos, son los formados por varios suesos elementales. Tirando un dado obtener una puntuaión que sea par. PAR 2,4,6 - Sueso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es deir, por el espaio muestral). Tirando un dado obtener una puntuaión que sea menor que 7. - Sueso imposible,, es el que no tiene ningún elemento. Tirando un dado obtener una puntuaión igual a 7. - Unión de suesos. Dados dos suesos A y B se llama unión de A y B, y se representa por A B, al sueso que se realiza uando se realiza alguno de ellos, A o B. Se el experimento aleatorio de lanzar un dado. Consideramos el sueso A = {salir nº par} = {2, 4, 6} y el sueso B = {salir un 5}. El sueso A B= {2, 4, 5, 6} - Interseión de suesos. Dados dos suesos A y B se llama interseión entre A y B y se representa por A B, al sueso que se realiza si y sólo se realizan simultáneamente A y B Se el experimento aleatorio de lanzar un dado. Consideramos el sueso A = {salir nº par} = {2, 4, 6} y el sueso B = {salir un múltiplo de 3} = {3, 6}. El sueso A B= {6} Si onsideramos C = {salir impar}, entones tenemos que AC - Sueso ontrario o omplementario de A. Se representa por A o por A, al sueso que se realiza uando no se realiza A y reíproamente. El sueso ontrario de E es y reíproamente. Se el experimento aleatorio de lanzar un dado. Consideramos el sueso A = {salir nº par} = {2, 4, 6}. El sueso A A= {salir nº impar} = {1, 3, 5} - Suesos inompatibles. Dados dos suesos A y B se dien inompatibles si es imposible que ourran a la vez, es deir, A B= Consideramos el sueso A = {salir nº par} = {2, 4, 6} y el sueso B = {salir un múltiplo de 5} = {5}. Los suesos son inompatibles pues A B= 2

3 - Diferenia de suesos. La diferenia de dos suesos, A B, es el sueso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es deir, la diferenia de los suesos A y B se verifia uando lo hae A y no B. Por tanto, A B A B A B se lee omo "A menos B". Consideramos el experimento que onsiste en lanzar un dado, si A = "saar par" y B = "saar múltiplo de 3". Entones A B A B = {2, 4} Definiión: Un sueso A está inluido (ontenido) en otro sueso B si todos los suesos elementales de A son suesos elementales de B. Se representa por A B. Dos suesos A y B son iguales si están formados por los mismos suesos elementales. Se representa por A B. A 2,6 está ontenido en el sueso Considerando el experimento de lanzar un dado, el sueso B salir par. Y el sueso C salir par o impar y el sueso D salir un nº menor que 7 3. ÁLGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS son iguales Se llama espaio de suesos al onjunto de todos los suesos posibles de un experimento aleatorio. Se representa por la letra Se verifian las siguientes propiedades on la unión, interseión y omplementaión (ontrario) de suesos: PROPIEDAD UNIÓN INTERSECCIÓN 1. Conmutativa A B B A A B B A 2. Asoiativa A( B C) ( A B) C A( B C) ( A B) C 3. Idempotente AA A AA A 4. Simplifiaión A( B A) A A( B A) A 5. Distributiva A( B C) ( A B) ( A C) A( B C) ( A B) ( A C) 6. Elemento neutro A A AE A 7. Absorión AE E A Por verifiar estas propiedades, al espaio de suesos on estas operaiones de unión, interseión y omplementaión se le llama álgebra de Boole de los suesos aleatorios. También se verifian estas dos importantísimas propiedades onoidas omo Leyes de Morgan: - El sueso ontrario de la unión de suesos es la interseión de sus suesos omplementarios ( A B) A B - El sueso ontrario de la interseión de suesos es la unión de sus suesos omplementarios ( A B) A B Tenemos una urna on nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento que onsiste en saar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideremos estos suesos: A = saar un nº par, B = salir un nº uadrado y C = salir un nº primo 3

4 Tenemos que el espaio muestral es E 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 y los suesos dados son 2, 4,6,8 B 1,4,9 y C 2,3,5,7. Pasemos a omprobar algunas de las propiedades a. Distributiva de la unión respeto de la interseión A( B C) ( A B) ( A C) A, A( B C) 2, 4,6,8 1, 4,9 2,3,5,7 2, 4,6,8 2, 4,6,8 ( A B) ( AC) 2, 4,6,8 1, 4,9 2, 4,6,8 2,3,5,7 1, 2, 4,6,8, 9 2,3,5, 4,6,7,8 2, 4,6,8 b. Primera ley de Morgan 2,4,6,8 1,4,9 1,3,5,7,9 2,3,5,6,7,8 3,5,7 ( A B) 2, 4,6,8 1, 4,9 1, 2, 4,6,8,9 3,5,7 A B. Segunda ley de Morgan 2, 4,6,8 1, 4,9 1,3,5,7,9 2,3,5,6,7,8 1, 2,3,5, 6,7,8,9 ( A B) 2, 4,6,8 1, 4,9 4 1, 2,3,5,6,7,8,9 A B 4. PROBABILIDAD. PROPIEDADES La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (sueso) uando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por iento, entre 0% y 100%) Definiión: La probabilidad de un sueso A es el límite al que tiende la freuenia relativa de A uando el nº de experienias es muy grande, es deir, tiende a Definiión: Llamamos probabilidad a toda apliaión P definida entre los onjunto y P: S que verifia los axiomas siguientes: A P(A) Axioma 1. La probabilidad del sueso seguro o espaio muestral es 1 PE ( ) 1 Axioma 2. Cualquiera que sea el sueso A, su probabilidad es un nº no negativo PA ( ) 0 Axioma 3. Si A y B son dos suesos inompatibles, A B, entones la probabilidad del sueso unión es la suma de las probabilidades de los suesos P( A B) P( A) P( B) Propiedades - La probabilidad del sueso seguro, E, es 1: PE ( ) 1 - Se umple que para ualquier sueso 0 PA ( ) 1 - La probabilidad de la unión de dos suesos, A y B, que sean inompatibles ( A B= ) es: P( A B) P( A) P( B) - La probabilidad del sueso imposible es 0: P( ) 0 4

5 - La probabilidad el sueso ontrario o omplementario es: P( A ) 1 P( A) - La probabilidad de la unión de dos suesos, A y B, es: P( A B) P( A) P( B) P( A B) - Si A y B son suesos tales que A B entones P( A) P( B) Cuál de las siguientes apliaiones define una probabilidad en E A, B, C a) b)? P( A), P( B) y P(C)=. No se trata de una probabilidad pues P( E) P( A) P( B) P(C) P( A), P( B) y P(C)=. En este aso umple los tres axiomas luego es una probabilidad E A, B, C. Enuentra PA ( ) sabiendo que: Sea P una probabilidad definida en 1 1 a) PB ( ) y P(C)=. Como se tiene que umplir el axioma 1, tenemos que P( E) P( A) P( B) P(C) P( A) + 1 P( A) b) P( A) 2 P( B) y P(C)=. Como se tiene que umplir el axioma 1, P( E) P( A) P( B) P(C) Sustituyendo, 2 P( B) P( B) 1 3 P( B) P( B) Y por tanto P( A) 2 P( B) Por una enuesta realizada entre los estudiantes de Bahillerato de un instituto, se sabe que lee el periódio el 40 % y el 30 % lee alguna revista de informaión general. Además, el 20 % lee periódios y revistas. Con estos datos, uál es la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, lea el periódio o revistas? Consideremos los suesos, LP = lee periódio y LR = lee revista, tenemos omo datos por el enuniado del problema que: P( LP) 0,4 P( LR) 0,3 P( LP LR) 0,2 Apliando la propiedad de la unión de suesos: P( LP LR) P( LP) P( LR) P( LP LR) 0,4 0,3 0,2 0,5 5. REGLA DE LAPLACE Un aso partiular y simple de probabilidad en un espaio muestral finito es aquel en el que se puede suponer que ada sueso elemental tiene la misma probabilidad de ourrir. Cuando esto ourre se die que los suesos elementales son equiprobables. En este aso, y sólo en este aso, podemos apliar la llamada regla de Laplae para hallar la probabilidad de un sueso: Sea un sueso A ompuesto por suesos elementales del espaio muestral E, entones la probabilidad de A viene dada por: número de elementos de A número de asos favorables PA ( ) número de elementos de E número de asos posibles Si se lanza un dado perfeto, la perfeión del dado nos indue a suponer que la probabilidad de ada sueso elementales la misma. Como además la suma de estas probabilidades ha de ser 1, se asigna a ada sueso elemental 1/6 de probabilidad. 5

6 En este aso, la probabilidad del sueso A: Obtener número par es: P A P ( ) 2,4,6 3/ 6 0,5 Estas probabilidades que, omo en este ejemplo, se asignan a los suesos por onsideraiones teórias, se llaman probabilidades a priori, y siempre que no exista alguna razón para pensar que un sueso elemental puede apareer más vees que otro, admitiremos que todos ellos tienen la misma probabilidad. En una baraja de 40 artas, hallar la P (as) y P (opas). Casos posibles: Casos favorables de ases: 4 P( as) Casos favorables de opas: 10 P( opas)