PROBABILIDAD. Profesor: Rafael Núñez Nogales CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Experimentos y sucesos

Transcripción

1 PROBABILIDAD CÁLCULO DE PROBABILIDADES Experimentos y sucesos Experimento aleatorio Es aquel cuyo resultado depende del azar, es decir no se puede predecir de antemano qué resultado se va a obtener aunque conozcamos todos los resultados posibles. Por ejemplo, lanzar un dado, sacar una bola de una urna compuesta por bolas de diferentes colores, lanzar una moneda,. Los experimentos que no son aleatorios se llaman deterministas. Por ejemplo, sacar una bola de una urna con bolas del mismo color Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los resultados que se pueden obtener al realizar el experimento. El espacio muestral se representa con la letra E. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Suceso aleatorio Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, A = obtener un número par = {2,4,6} es un suceso aleatorio

2 Tipos de sucesos Suceso elemental Es el que está formado por un solo elemento. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, A = obtener el número 6 = {6} es un suceso elemental. Suceso seguro Es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda el suceso A = salir cara o cruz = { C, X } = E siempre ocurre. El suceso seguro es el espacio muestral, E. Suceso imposible Es aquel que nunca ocurre. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado el suceso A = salir un número mayor que 6 nunca ocurre. El suceso imposible es el conjunto que no tiene "ningún elemento". Se llama conjunto vacío y se representa con el símbolo Suceso contrario o complementario de un suceso A Es aquel que representa lo contrario al suceso A. Se representa por A c ó A Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A = salir número par = {2,4,6}, entonces A c = no salir número par = salir número impar = {1,3,5}

3 Operaciones con sucesos Unión de sucesos El suceso unión de A y B es el que se cumple cuando se cumple A ó se cumple B La unión de los sucesos A y B se representa por A U B Los elementos de A U B se obtienen tomando los elementos de A junto con los de B. Intersección de sucesos El suceso intersección de A y B es el que se cumple cuando se cumple A y B a la vez La intersección de los sucesos A y B se representa por A B Los elementos de A B se obtienen tomando los elementos comunes o repetidos de A y B. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, tomamos los sucesos: A = "salir nº par" = { 2, 4,6} A U B = "salir nº par ó primo" = { 2,3,4,5,6 } B = "salir nº primo" = { 2,3,5} A B = "salir nº par y primo" = { 2 } Sucesos compatibles Son los que pueden ocurrir a la vez. Por ejemplo, los sucesos del ejemplo anterior, A = salir nº par, B = salir nº primo son compatibles, pues si al tirar el dado sale un 2 ocurren los dos sucesos a la vez. A y B son compatibles cuando A B Sucesos incompatibles Son los que NO pueden ocurrir a la vez. Por ejemplo, En el lanzamiento de un dado, los sucesos { } { } A = "salir nº menor que 3" = 1, 2 B = "salir nº mayor que 4" = 5,6 son incompatibles.

4 Probabilidad de un suceso Lanzamos una chincheta y consideramos el suceso A ="caer con la punta hacía arriba" Formamos una tabla y obtenemos los siguientes resultados: n = nº de lanzamientos n A = nº de veces que ocurre A Frecuencia relativa de A fr(a) = n A n 0,2 0,46 0,32 0,332 0, p(a) = n lim(fr) = 0,33... En general, siempre se cumple que la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, llamado probabilidad del suceso, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente. Es la ley de los grandes números que fue enunciada por Jakob Bernoulli Dado un suceso A, la probabilidad de que ocurra A se representa por p(a) y nos indica si es más o menos frecuente que ocurra dicho suceso. Como este método es bastante laborioso, el matemático francés Pierre-Simón Laplace ideó una regla para calcular probabilidades en aquellos experimentos en los que todos los resultados sean equiprobables, llamada regla de Laplace. Regla de Laplace Si en un experimento todos los resultados tienen la misma posibilidad de aparecer (resultados equiprobables) entonces la probabilidad de un suceso A se calcula por la regla de Laplace: p(a) = Casos favorables a que ocurra A Casos posibles Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A = salir un múltiplo de 3" = { 3, 6 } Casos favorables : 2 Casos favorables Luego p(a) = = 2 Casos posibles : 6 0,333 = 33,3 % Casos posibles 6 Nota: Si los resultados no son equiprobables y el suceso A fuese, por ejemplo, A = {a1, a2, a3 }, entonces la probabilidad de A se calcularía así: p(a) = p(a1) + p(a2) + p(a3). Por ejemplo, si se lanza un dado que tiene 3 cara rojas, 2 caras verdes y 1 cara blanca, E = {R, V, B } Si A = salir cara roja o verde = { R, V } entonces p(a) = p(r) + p(v) = =

5 Propiedades de la probabilidad 1) La probabilidad de un suceso siempre es un número entre 0 y 1 (ambos incluidos): 0 p(a) 1 2) La probabilidad del suceso seguro es 1: p(e) = 1 3) La probabilidad del suceso imposible es 0: p( ) = 0 4) p(a) = 1 p(a c ) y p(a c ) = 1 p(a) 5) p(a U B) = p(a) + p(b) p(a B) 6) Si A y B son sucesos incompatibles, entonces p(a U B) = p(a) + p(b) Probabilidad en experimentos aleatorios compuestos Un experimento compuesto es aquel que está formado por dos o más experimentos simples. Por ejemplo, tirar un dado y luego sacar una bola de una bolsa Sucesos dependientes Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia o no de uno de ellos modifica la probabilidad del otro Por ejemplo. Una bolsa contiene 2 bolas rojas y 3 negras. Sacamos dos bolas sin reemplazamiento. Los sucesos A1 = la primera bola es roja, A2 = la segunda bola es negra son dos sucesos dependientes pues: - Si ocurre A1, entonces p(a2) = 3/4 - Si no ocurre A1, entonces p(a2) = 2/4 Si dos sucesos A1, A2 son sucesos dependientes, entonces p(a1 A2) = p(a1). p(a2/a1) siendo p(a2/a1) la probabilidad de que ocurra A2 sabiendo que ha ocurrido A1 Si p(a1) es distinta de 0, obtenemos la fórmula de la probabilidad condicionada p(a1 A 2) p(a 2/ A 1) = p(a 1)

6 Sucesos independientes Dos sucesos son independientes si la ocurrencia o no de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro Por ejemplo. Una bolsa contiene 2 bolas rojas y 3 negras. Sacamos 2 bolas con reemplazamiento. Los sucesos A1 = la primera bola es roja A2 = la segunda bola es negra son dos sucesos independientes pues: - Si ocurre A1, entonces p(a2) = 3/5 - Si no ocurre A1, entonces p(a2) = 3/5 Si dos sucesos A1, A2 son sucesos independientes, entonces p(a1 A2) = p(a1). p(a2)