TEMA 17: PROBABILIDAD

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Luis Miguel Vera Sosa
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1 TEMA 17: PROBABILIDAD Probabilidad de un suceso aleatorio es un numero entre 0 y 1 (más cerca del 0, mas difícil que ocurra. Más cerca del 1 más fácil que ocurra). Suceso seguro: Su probabilidad es 1. Ejemplo: Puntuación mayor de 0 al lanzar un dado. Suceso imposible (Ø): Su probabilidad es 0. Ejemplo: Obtener un 7 al lanzar un dado. Sucesos equiprobables: Dos sucesos con la misma facilidad de ocurrir. Ejemplo: Sacar un dos o un cuatro al lanzar un dado. Sucesos no equiprobables: Dos sucesos que no tienen la misma facilidad de ocurrir. Ejemplo: Sacar como suma siete puntos y dos puntos al lanzar dos dados. COMBINATORIA La combinatoria estudia las agrupaciones de elementos. Conceptos Combinatoria Población (m): Numero de elementos en estudio de un conjunto. Muestra (n): Subconjunto de la población. Orden si importa el orden de los elementos Tipos de Muestra Repetición si se pueden repetir elementos (Reemplazamiento) 1

2 Factorial de n (n!): Producto de n factores desde n hasta 1. n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x... x 3 x 2 x 1 Ejemplos: 0!= 1 1!=1 2!=2x1=2 3!=3x2x1=6... Variaciones (V m,n ): ordinarias de m elementos tomados de n en n (m n). No hay repetición V m,n = m! Ejemplo: V 6,3 = 6! / (6-3)! = 6x5x4x3! / 3! = 120 (m-n)! Variaciones con Repetición (VR m,n ): de m elementos tomados de n en n. Si hay repetición VR m,n = m n Ejemplo: VR 5,3 = 5 3 = 125 Permutaciones (P n ): de m elementos (m=n) son las diferentes agrupaciones de esos m elementos. No hay repetición P n = n! Ejemplo: P 5 = 5! 2

3 Permutaciones con Repetición (PR m a,b,c.. ): de m elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces,... son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos. Si hay repetición PR m a,b,c.. = P n a! x b! x c! x... Ejemplo: PR 12 6,4,2 = 12!/6!x4!x2! Combinaciones (C m,n ): de m elementos tomados de n en n de todas las agrupaciones con los mismos. No importa el orden No hay repetición C m,n = m! Ejemplo: C 3,2 =3! / 2! x (3-2)! = 3 n! (m-n)! Combinaciones con Repetición (CR m,n ): Son los grupos formados por m elementos tomados de n en n. No importa el orden Si hay repetición (n+m-1)! CR m,n = n! (m-1)! Ejemplo: CR 5,4 =(4+5-1)!/ 4!(5-1)!=8!/4!x4! 3

4 EJERCICIOS EJEMPLO COMBINATORIA EJERCICIO 1: Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 6, cuántos números de cuatro cifras distintas se podrán formar de modo que acaben en cifra par? Solución: Los números han de acabar en 4 ó 6, luego hay 2 opciones: _ 4 _ 6 En cada uno de estos dos casos hay tres espacios que hemos de llenar con cuatro cifras. Por influir el orden y no poderse repetir las cifras, tendremos: 2 V 4,3 = 2 x 24 = 48. Se pueden formar 48 números de cuatro cifras que acaben en cifra par. EJERCICIO 2: Ocho ciclistas van por el carril bici en fila. De cuántas formas pueden ir ordenados? Solución: El orden en la fila influye. P 8 = 8! = Se pueden colocar de formas distintas. EJERCICIO 3: Para formar un equipo de pádel se necesitan 4 jugadores y un entrenador, que se deben elegir de entre un grupo de 10 jugadores y 3 entrenadores. Cuántos equipos distintos se pueden formar? Solución: El orden, a la hora de elegir 4 jugadores, no influye. Formas de elegir a los jugadores C 10,4 = 210 elecciones. Formas de elegir a los entrenadores 3 formas Por cada entrenador, tengo 210 maneras de elegir a los jugadores. Como hay 3 entrenadores, en total tendré 3 x 210 = 630 equipos. EJERCICIO 4: Para hacer una transferencia bancaria, Marta tiene que teclear una clave de acceso que consta de 8 cifras con los dígitos 0 y 1. Cuántas claves distintas puede formar? Solución: Para formar un código de ocho cifras con los dígitos 0 y 1, estos se han de repetir; además, el orden influye: VR 2,8 = 28 = 256. Luego Marta puede formar 256 claves distintas. EJERCICIO 5: En una carrera organizada en un centro escolar participan los 6 finalistas de 4º ESO. De cuántas formas distintas pueden llegar a la meta? Solución: P 6 = 6! = 720 Pueden llegar de 720 formas distintas EJERCICIO 6: De cuántas formas se pueden repartir 4 bocadillos distintos entre 4 amigos, si cada uno debe recibir solo uno? Solución: P 4 4! 24 Se pueden repartir de 24 formas. 4

5 1. SUCESOS. OPERACIONES CON SUCESOS Espacio Muestral (E): Conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Sucesos elementales: Resultados del experimento aleatorio. Ejemplo: Observar el color de los ojos de la primera persona que te encuentras al salir de casa. E = {negros, marrones, grises verdes, azules} No son equiprobables Sucesos elementales Suceso compuesto: Conjunto formado por uno o varios sucesos elementales. Ejemplo: A = {negros, marrones} _ Suceso contrario (A): Suceso que se verifica cuando no se realiza A. Ejemplo: A = {2,4,6,8} A = {1,3,5,7} Suceso Unión ( ): Suceso que se verifica cuando se realiza un suceso u otro o ambos a la vez. Ejemplo: A = {2,4,6,8} B = {2,7} (A B) = {2,4,6,7,8} Suceso Intersección ( ): Suceso que se verifica cuando se realizan dos sucesos a la vez. Ejemplo: A = {2,4,6,8} B = {2,7} (A B) = {2} 5

6 2. PROBABILIDAD. PROPIEDADES Regla de Laplace: La probabilidad de que se verifique un suceso A de un experimento aleatorio con todos sus sucesos elementales equiprobables viene dada por: P(A)= Numero casos favorables suceso A Numero de casos posibles _ Probabilidad del suceso contrario: P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 P(A) P(A) = 1 P(A) Probabilidad de la Unión: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Probabilidad de la Intersección: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 6

7 3. PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS Un experimento es compuesto cuando esta formado por varios experimentos simples. Para calcular la probabilidad de un experimento compuesto se multiplican las probabilidades del camino a seguir de las ramas del diagrama de árbol. 4. PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad del suceso A condicionado al suceso B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. P(A/B) = P(A B) P(B) Sucesos Independientes: Dos sucesos A y B son independientes cuando para que ocurra uno no influye que haya ocurrido el otro. P(A B) = P(A) x P(B) Sucesos Dependientes P(A B) P(A) x P(B) 5. PROBABILIDAD TOTAL Es la suma de las probabilidades de las ramas de un diagrama de árbol que recorre un suceso. 7

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