TEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO

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1 TEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO Introducción. Definición axiomática de probabilidad. Consecuencias de los axiomas Probabilidad condicionada Independencia de sucesos Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes

2 1.1. INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS. El Cálculo de Probabilidades es la ciencia que permite analizar de manera adecuada los fenómenos que presentan incertidumbre, llamados fenómenos aleatorios y que son el objeto de estudio de este tema. Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado, tiempo hasta que se imprime un trabajo, voltaje en un circuito eléctrico. La axiomática de Kolmogorov nos permite definir una medida de la posibilidad de ocurrencia de un determinado suceso asociado a un fenómeno aleatorio, medida a la que llamaremos probabilidad del suceso. Los fenómenos aleatorios se estudian mediante experimentos, llamados, experimentos aleatorios.

3 DEFINICIONES Definición 1: Llamaremos experimento aleatorio a un experimento que cumple: a) Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado del mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles del experimento. b) El experimento puede repetirse en idénticas condiciones. Definición 2: Llamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y lo denotaremos por Ω, al conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Cada uno de estos resultados posibles se llama suceso elemental. Definición 3: Llamaremos suceso compuesto o simplemente suceso, a cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. Los sucesos se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,, Los elementos del conjunto se denotan con minúsculas: a,b,..

4 Un conjunto o suceso A se caracteriza mediante la propiedad que cumplen todos sus elementos o dando todos sus elementos, entre llaves. Ejemplo 2: Experimento aleatorio: lanzar un dado. Espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso A: obtener un número par al lanzar un dado o A = {2, 4, 6} Llamaremos suceso seguro al que se verifica siempre (Ω). Llamaremos suceso imposible al que no se verifica nunca (). Definición 4: Se llama espacio de sucesos al conjunto S formado por todos los subconjuntos de Ω. Para hacernos una idea intuitiva de un espacio muestral Ω y de los sucesos asociados al mismo, usaremos la teoría de conjuntos donde la representación de los mismos se realiza mediante diagramas de Venn.

5 OPERACIONES CON SUCESOS (CONJUNTOS) Sean A y B dos sucesos cualesquiera de Ω asociados a un experimento aleatorio, entonces: a) Llamamos suceso unión de A y B (notación: A B ), al suceso que resulta cuando ocurre A o B o ambos a la vez. b) Llamamos suceso intersección de A y B (notación: A B ), al suceso que resulta cuando ocurren a la vez A y B. Decimos que A y B son disjuntos o incompatibles si A B. c) Llamamos suceso contrario o complementario de A (notación: A ), al que se verifica cuando no lo hace A. d) Llamamos suceso diferencia de A y B (notación: A-B ) al que resulta cuando ocurre A y no ocurre B. Observar que A B A B. e) Decimos que A está contenido en B (A implica B) y lo designamos por A B, si siempre que ocurre A ocurre B.

6 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS Conmutativa : A B B A A B B A A A; A Asociativa: ABC AB C ABC AB C Distributiva: ABC AB A C ABC AB A C Leyes de De Morgan: A B A B A B A B A A A; AA A AA; AA A ; A A

7 A partir de un enunciado, será imprescindible escribir en notación conjuntista un cierto suceso Ejemplo 3: (problema 2 de la hoja de problemas propuestos)

8 DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD Definición Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sea S el espacio de sucesos asociado. Diremos que la aplicación P: S 0,1 es una PROBABILIDAD si verifica los siguientes axiomas: Axioma 1 P 1 Axioma 2Si ii I A A i j i j, entonces A, son sucesos incompatibles dos a dos, es decir, P Ai PAi ii, ii donde I puede ser un conjunto de sucesos finito o infinito numerable. La terna (Ω, S, P) se llama ESPACIO PROBABILÍSTICO.

9 La función probabilidad asigna a cada suceso A un número entre 0 y 1: Si P(A) es cercana a 0, indica posibilidad pequeña de que ocurra el suceso A. Si P(A) = 0, es imposible que ocurra A. En este caso A. Si P(A) es cercana a 1, indica posibilidad alta de que ocurra el suceso A. Si P(A) = 1, A ocurre con total seguridad. En este caso, A = Ω PROPIEDADES CONSECUENCIA DE LOS AXIOMAS Propiedad 1 Si A, entonces 0 P A 1 Propiedad 2 P A1 P A ( también se escribe P A 1 P A Propiedad 3 P 0 ) Propiedad 4 Si A es un suceso cualquiera, siempre se verifica que siendo B cualquier suceso. P A P A B P A B Propiedad 5 P A B P A B P A P A B

10 Propiedad 6 Si AB, son tales que A B, entonces o P A PB o PBA PB P A. Propiedad 7 Si A y B son sucesos cualesquiera, entonces P A B P A P B P A B Si A, B y C son sucesos cualesquiera, entonces PABPACPBCPAB C P A B C P A P B P C Esta propiedad se puede generalizar al caso de más de tres sucesos n n n n 1 i1 ij ijk Hacer ejercicios 4, 5 y 9 de la hoja de problemas propuestos P A A A P A P A A P A A A P A A A 1 2 n i i j i j k 1 2 n

11 Propiedad 8 (Regla de Laplace) Sea Ω un espacio muestral FINITO A1, A2,..., An asociado a un experimento aleatorio. Si se asignan probabilidades a cada suceso elemental Ai i 1,2,..., n entonces para cualquier subconjunto B de Ω, la probabilidad de B se calcula como PB PA j A B En concreto, si todos los sucesos elementales i 1,2,..., IGUALMENTE POSIBLES, entonces, P B j A i n son k nº de elementos de B casos favorables a B n nº de elementos de casos posibles del experimento. Ejemplo 4: (prob 1 hoja) Calcular la probabilidad de obtener 2 cruces al lanzar una moneda tres veces y la de obtener al menos dos cruces. Para aplicar la regla de Laplace hay que contar el número de elementos de un conjunto. Necesitaremos utilizar el Análisis Combinatorio.

12 COMBINATORIA Si tengo n elementos y quiero contar cuántos grupos de k elementos puedo hacer, debo de responder a tres preguntas: P1: Importa el orden de los k elementos dentro del grupo? P2: Se pueden repetir los elementos dentro de un grupo? P3: k < n? Si k = n se están ordenando todos los elementos. Variaciones Variaciones con repetición Combinaciones Permutacio nes Permutaciones con repetición P1 SI SI NO SI SI P2 NO SI NO NO SI P3 k < n k < n, k = n ó k > n k < n k = n k = n V nk k, VRnk n n n! P, n n! n Cnk PR, k1, k2,.., kr nn1... nk1 k k! n k con n! k1! k2!... kr! k k... k n 1 2 r

13 EJEMPLOS REGLA DE LAPLACE Ejemplo 5: Una caja contiene 2 bolas rojas y 2 negras. Se sacan dos bolas (a la vez o sin reemplazamiento). Calcular la probabilidad de que: a) Las dos sean rojas. b) Al menos una sea negra. Ejemplo 6: (prob 14) Se forma un número de tres dígitos, seleccionándolos entre el 0,1,2,,9. Calcular la probabilidad de que: a) Los tres dígitos sean distintos b) Los tres dígitos sean iguales c) Los tres dígitos sean mayores que 4. Ejemplo 7: (prob 13) Calcular la probabilidad de: a) obtener la palabra tema al construir todas las permutaciones distintas con las cuatro letras de las que consta. b) obtener la palabra campana al construir todas las permutaciones distintas con las siete letras de las que consta.

14 1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA. Si se dispone de información adicional sobre un experimento, por ejemplo, si sabemos que cierto suceso A se ha verificado, esta información puede modificar la probabilidad de un suceso B. Ejemplo 8: Consideremos el experimento consistente en extraer una carta de una baraja española y los sucesos A: extraer figura y B : extraer rey P A y 4 1 P B Supongamos ahora que se repite el experimento y al extraer la carta alguien nos dice que ha salido una figura. En este caso la probabilidad de obtener un rey, usando la regla de Laplace (el espacio muestral Ω se ha modificado dando lugar a Ω con 12 elementos: las 12 figuras de la baraja) es PB sabiendo que ha ocurrido A PB

15 Definición Sean A y B. Llamaremos probabilidad de B condicionada por A a la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A. Se denota por P BA y si PA 0 Vamos a calcular, se calcula como P B A P B A P A P BA del ejemplo 8 con esta regla de cálculo y comprobar que se obtiene el mismo resultado que usando la regla de Laplace con Ω. Observación: Despejando de la igualdad anterior, también tenemos una regla para calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos: P BA P A P B A Esta igualdad se puede generalizar de manera que tenemos una regla que permite calcular probabilidades de intersecciones de 3 o más sucesos P ABC P A P B A P C A B Esta regla se llama Regla de la Probabilidad Compuesta.

16 Observaciones: 1. La probabilidad condicionada es una PROBABILIDAD y, por tanto, cumple los axiomas de la probabilidad y TODAS las propiedades que se derivan de los mismos. Por ejemplo, P A / B 1 P A/ B 2. P A y P A B que aparecen en la fórmula se calculan sobre el espacio muestral inicial Ω. Es complicado usar directamente la Regla de Laplace porque no suele ser posible saber cuál es el espacio muestral Ω. 3. Observar que también se verifica que P A B P A / B P B. Por tanto, tenemos que P A B P A / B P B P B / A P A 4. En ejercicios es importante detectar si nos preguntan por / ó P B A P B. 5. No confundir P B / A con P A B. En la primera, A ya ha ocurrido y en la segunda los dos sucesos A y B están por ocurrir.

17 1.3. INDEPENDENCIA DE SUCESOS En otras ocasiones la información que proporciona saber que ha ocurrido un determinado suceso NO INFLUYE sobre la probabilidad de otros sucesos relacionados con el anterior. Ejemplo 9: Consideremos el experimento de extraer una carta de una baraja española. Consideremos los sucesos B : sacar un rey y C : sacar un oro 1 10 / PB P B C Se dice entonces que los sucesos B y C son independientes. Definición Sean A y B. Se dice que A y B son independientes si P A P A B. En caso contrario se dice que los sucesos son dependientes o que no son independientes. En el ejemplo 8 los sucesos A: extraer figura y B : extraer rey no son independientes.

18 Teorema Sean Observaciones: A y B. Entonces, A y B son independientes PA B P A PB. 1. Es más fácil ver si dos sucesos son independientes o no usando el teorema que usando la definición. 2. No asumir nunca que dos sucesos son independientes a no ser que el enunciado lo indique o que lo hayamos demostrado. Normalmente cuando os piden calcular P A B siempre hacéis P A PB y esto solamente es cierto si sabéis que A y B son independientes 3. No confundir la propiedad de independencia con el hecho de que dos sucesos sean disjuntos. De hecho, si A y B son disjuntos NO pueden ser independientes; si A y B son independientes NO pueden ser disjuntos.

19 Ejemplo 10: Al lanzar un dado, consideramos A: obtener un nº mayor o igual que 5, B: obtener par y C: obtener número menor o igual que 2: a) Demostrar que A y B son independientes pero no son disjuntos. b) Demostrar que A y C son disjuntos pero no son independientes. 4. Propiedad: A y B son independientes A y B son independientes A y B son independientes A y B son independientes. Definición: Sean A,, 1 An sucesos cualesquiera, se dice que son sucesos independientes si, para toda subcolección A,, i A 1 ik de A,, 1 An se verifica que i i i i P A A P A P A 1 k 1 k.

20 Por ejemplo, para verificar que tres sucesos A, B y C son independientes hay que verificar las siguientes condiciones: 1. P AB P A P B P A C P A P C P B C P B P C P A B C P A P B P C Cálculo de intersecciones en problemas: o Si nos dicen que n sucesos son independientes, usarlo para calcular probabilidades de intersecciones de cualquier subconjunto de ellos y sus complementarios, multiplicando las probabilidades. o Si los n sucesos NO son independientes para calcular probabilidades de intersecciones hay que usar la Regla de la Probabilidad Compuesta, ya enunciada. Hacer ejercicios 27, 24 y 19 de la hoja de problemas propuestos.

21 1.4. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: Sean A1, A2, An tales que verifican: 1) n i1 A i 2) Ai Aj i j, i, j 1,2,..., n. Sea B S un suceso cualquiera. Entonces siempre se verifica que: n P B P A P B A i1 i i sucesos TEOREMA DE BAYES: En las hipótesis del teorema anterior, para un j 1,2,..., n determinado se tiene que: P A j B n i1 j PB Aj P A PB A P A i i

22 Observación: La dificultad fundamental de aplicación de estos teoremas suele ser que los sucesos no están definidos en el enunciado del ejercicio sino que los debe de definir el usuario de forma: a) Al definir los sucesos A i debe de ser más sencillo calcular y / que P Ai P S Ai P S. b) Los sucesos A i deben definirse de manera que cumplan las dos condiciones para poder aplicar los teoremas (recoger todas las posibilidades y ser disjuntos 2 a 2). Hacer ejercicios 28, 29 y 33 de la hoja de problemas propuestos.

23 TÉCNICAS PARA TRATAR PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CASO 1: PA ( ) Casos favorables a A 1. (Regla de Laplace) Casos posibles 2. Escribir A en términos de uniones, intersecciones o complementarios de sucesos más sencillos para los que si sabemos calcular la probabilidad 3. Utilizar el teorema de la Probabilidad Total 1. Regla de Laplace (si sabemos cómo B modifica ) PA ( B) PA ( ) PB ( / A) 2. PB ( ) PB ( ) k CASO 2 : PA ( / B) PA ( i) PB ( / Ai) 3. si PB ( ) PA ( j) PB ( / Aj) ( T. Bayes) k j1 PA ( j) PB ( / Aj) j1 4. Considerar A/ B C un suceso y aplicar PC del caso1

24 TÉCNICAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES DE INTERSECCIONES 1. PA ( ) PB ( / A) PB ( ) PA ( / B) PA ( B) 2. PA ( ) PB ( ) si Ay Bson independientes 3. ABC y aplicar cálculo de P( C) del caso 1 1. Regla deprobabilidad compuesta PA ( 1A2... An ) 2. PA ( 1) PA ( 2)... PA ( n) si A1, A2,..., Anson independientes