1. Combinatoria Sucesos aleatorios...

Transcripción

1 PROBABILIDAD

2 Índice: Página. Combinatoria..... Sucesos aleatorios Experimento aleatorio Tipos de sucesos Operaciones con sucesos..... Sistema completo de sucesos Experimentos compuestos Probabilidad de un suceso Frecuencia de un suceso Definición clásica de probabilidad Definición axiomática de probabilidad Probabilidad de la unión de sucesos Probabilidad condicionada Probabilidad compuesta o de la intersección de sucesos...

3 . COMBINATORIA. Repasaremos la combinatoria a partir de un cuadro resumen y de cinco problemas tipo: Ejemplo : Se van a celebrar elecciones en la Asociación de Padres y hay que elegir al presidente, secretario y tesorero. De cuántas maneras se pueden elegir estos tres cargos si se presentan 8 candidatos? 8! V 8, ! Ejemplo : Cuántas quinielas hemos de rellenar para acertar, con seguridad, los 5 resultados? VR Ejemplo 3: 3,5 Los participantes de un concurso tienen que ordenar a ciegas seis tarjetas en las que están escritas cada una de las letras de la palabra premio. Cuántas ordenaciones distintas pueden salir? P 6! 70 Ejemplo : 6 Si queremos que una quiniela tenga 6 unos, equis y 5 doses, de cuántas formas distintas la podemos rellenar? Ejemplo 5: P 5! 6!!5! 6,, Estás haciendo la maleta para irte de vacaciones y quieres llevarte cuatro de las ocho camisetas que tienes. De cuántas formas las puedes seleccionar? Ejemplo 6: C 8 8!! 8! 8, Cuántas sumas distintas podemos obtener tomando tres cifras impares? Considera que dos sumas con el mismo resultado pero con sumandos diferentes son distintas. CR ,

4 . SUCESO ALEATORIO... Experimento aleatorio. Cuando repetimos un experimento un número grande de veces y siempre bajo las mismas condiciones, se pueden dar dos posibilidades: a) Obtener siempre los mismos resultados. Estaremos en este caso ante un experimento determinista. b) El resultado del experimento puede cambiar, no pudiéndose predecir éste antes de su realización. Esta situación corresponde a un experimento aleatorio. Cada uno de los resultados posibles en un experimento aleatorio es un punto muestral. El conjunto de todos los puntos muestrales, es decir, el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, se nombra como E. Ejemplos: En el experimento consistente en el lanzamiento de una moneda el espacio muestral será: Lanzamiento de dos monedas: cara, cruz c x E, E cc, cx, xx, xc Lanzar dos dados y anotar la suma de los números que aparecen en las caras superiores: E Diremos que un suceso A se verifica, si al realizar el experimento, obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que forman el suceso A. 3,3,,5,6,7,8,9,0,, El espacio muestral de un experimento aleatorio se puede dividir en subconjuntos. Por ejemplo en el lanzamiento de un dado, cuyo espacio muestral es E,,3,,5,6,, podemos definir los siguientes subconjuntos: a),,6 b),3,5 c) C,5 etc. A salir par. B salir impar. Cada uno de estos subconjuntos es un suceso aleatorio. Llamamos suceso aleatorio a cada uno de los subconjuntos que se pueden extraer del espacio muestral. El conjunto de todos los sucesos aleatorios se denomina espacio de sucesos y se designa por S. Verificación de un suceso:

5 Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, E,,3,,5,6, definimos el suceso A,3,5 verifica si sale o sale 3 o sale 5.. A se A B, si siempre que se verifica A se ve- Diremos que el suceso A está incluido en el suceso B, rifica B. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, el suceso salir está incluido en el suceso salir impar. Dos o más sucesos son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente. También se dice que son disjuntos o mutuamente excluyentes Ejemplo: Salir par y salir impar son dos sucesos incompatibles... Tipos de sucesos. Llamaremos suceso elemental al formado por un solo punto muestral, mientras que un suceso compuesto será el formado por dos o más puntos muestrales. Suceso cierto o seguro se llama a aquel que siempre se verifica. Coincide con el espacio muestral. Suceso imposible es aquel que no se verifica nunca. Se representa con el símbolo.3. Operaciones con sucesos. Unión de sucesos: Dados dos sucesos A y B, el suceso A unión B es aquel que se verifica cuando se verifica A, B o ambos. Se representa como A B Ejemplo: En el experimento consistente en el lanzamiento de un dado, consideramos los suce-,,5 C,3,5. Tendremos: sos A, B y A B,,,5

6 A C B C,,3,5,3,,5 La unión de sucesos tiene las siguientes propiedades: a) A B C A B C (Propiedad asociativa) b) A B B A (Propiedad conmutativa) c) A A (Elemento neutro) d) A E E (Elemento universal) Intersección de sucesos: Sean A y B dos sucesos. Llamamos A intersección B al suceso que se da cuando al realizar el experimento, se verifican simultáneamente A y B. Se representa como A B. Ejemplo: En el experimento consistente en el lanzamiento de un dado, consideramos los suce-,,5 C,3,5. Tendremos: sos A, B y A B A C,5 B C Los sucesos A y B son incompatibles si A B. La intersección de sucesos tiene las siguientes propiedades: a) A B C A B C (Propiedad asociativa) b) A B B A (Propiedad conmutativa) c) A E A (Elemento neutro) d) A e) Propiedades distributivas: B C A B A C A B C A B A C A 5

7 Suceso contrario: Se llama suceso contrario de un suceso A, al suceso que se verifica si y sólo si, no se verifica A. Se representa como A Ejemplo: En el experimento consistente en el lanzamiento de un dado, consideramos los suce-,,5 C,3,5. Tendremos: sos A, B y A 3,,6 B,,3,5,6 C,,6 Las propiedades de esta operación son: a) E ; E b) A A E ; A A c) A A d) Leyes de Morgan: A B A B ; A B A B Diferencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B, se llama diferencia entre A y B al suceso en el que se verifica A pero no se verifica B. Se representa como A B También podemos definir la diferencia simétrica entre A y B si se verifica sólo uno de los dos. A B B A AB.. Sistema completo de sucesos: En un espacio muestral formado por n puntos muestrales podemos definir diferentes sucesos. Sucesos formados por un solo punto muestral, sucesos formados por puntos muestrales, etc. Existe un caso particular de descomposición de un espacio muestral, el Sistema completo de sucesos. Los sucesos A, A, A3,... An, forman un sistema completo de sucesos para un determinado experimento aleatorio, si se verifica: 6

8 a) A A A... A E, A, A3 3 n b) A,... An son incompatibles dos a dos, es decir, A A si i j i j De manera gráfica el sistema completo de sucesos podría representarse como: A A... A n Ejemplo: En el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado, con E,,3,,5,6, los sucesos A,,6, B 3, y C 5 forman un sistema completo de sucesos..5. Experimentos compuestos. Un experimento compuesto será el formado por dos o más experimentos simples. Un experimento compuesto tendrá asociado un espacio muestral que llamaremos espacio muestral compuesto. Ejemplo: Consideremos el experimento consistente en el lanzamiento de un dado y de una moneda. El espacio muestral será:, c,, c, 3, c,...,, x, 5, x, 6 x E, 3. PROBABILIDAD DE UN SUCESO. 3.. Frecuencia de un suceso. Antes de llegar al concepto de probabilidad recordamos las definiciones de frecuencia absoluta y relativa de un suceso: Se llama frecuencia absoluta de un suceso A, al número de veces que se verifica A al realizar el experimento en un número determinado de ocasiones. Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre su frecuencia absoluta y el número de veces que se realiza el experimento Si llamamos f a (A) a la frecuencia absoluta de un suceso A, f r (A) y n el número de veces que realizamos el experimento, las definiciones anteriores se relacionan por la expresión f a ( A) f r ( A) n 7

9 La frecuencia relativa de un suceso tiene las siguientes propiedades: a) 0 f r ( A) b) f r ( E) c) Si A y B son dos sucesos incompatibles f ( A B) f ( A) f ( B) r A partir de la definición de frecuencia relativa podemos dar una primera definición de probabilidad: Ley de los grandes números: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente. Este número lo llamaremos probabilidad de un suceso. p( A) lim f ( A) n siendo n el número de veces que realizamos el experimento r r r 3.. Definición clásica de probabilidad. Esta definición se conoce también como regla de Laplace: Si los sucesos elementales de una experiencia aleatoria son equiprobables, la probabilidad de un suceso A es: A) nº de casos favorables nº de casos posibles Ejemplo: En el lanzamiento de un dado: a) Cuál es la probabilidad de obtener un número impar? El espacio muestral es E,,3,,5,6 El suceso impar es A,3,5, tenemos, por tanto 6 casos posibles., 3 casos favorables nº de casos favorables 3 A) nº de casos posibles 6 b) Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3? Múltiplos de 3: B 3,6 nº de casos favorables B) nº de casos posibles 6 3 8

10 Ejemplo: En el lanzamiento de dos monedas, definimos los siguientes sucesos: A: Obtener dos caras B: Obtener una cara y una cruz C: Obtener al menos una cara Teniendo en cuenta que el espacio muestral es E cc, cx, xc, xx, se darán las siguientes probabilidades: P ( A) P ( B) P ( C) 3 Ejercicio: Si se lanzan cuatro dados, cuál es la probabilidad de que los cuatro números que aparecen sean distintos? Ejercicios: En una caja tenemos 5 bolas blancas, 30 bolas negras y 5 bolas verdes. Si extraemos 3 bolas simultáneamente, cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color? 3.3. Definición axiomática de probabilidad. La definición clásica de probabilidad tiene el inconveniente de que todos los sucesos elementales deben ser equiprobables. La construcción de una teoría más adecuada para el cálculo de probabilidades se debe al matemático ruso Kolmogorov. Su teoría se basa en la relación que existe entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real que cumple los siguientes axiomas: A.. La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos siempre es positiva, es decir P ( A) 0 A.. La probabilidad del suceso seguro es, es decir, E) = A.3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de P A B P A P B probabilidades de cada uno de ellos, es decir, A partir de estos axiomas se pueden demostrar las siguientes propiedades: a) PA PA b) P 0 c) Si A y B son sucesos tales que B A, entonces PA PB 9

11 Ejemplo: En una imprenta de cada millar de folios se estropean. Si elegimos un folio al azar: a) Cuál es la probabilidad de que esté en malas condiciones? Si llamamos M al suceso está en malas condiciones P 000 M 0, 0 b) Cuál es la probabilidad de que esté en buenas condiciones? P M PM 0, Probabilidad de la unión de sucesos. Distinguiremos dos casos: Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles: Para calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles basta con aplicar directamente el tercer axioma de la definición axiomática de probabilidad. Si A y B son dos sucesos incompatibles, entonces PA B PA PB En el caso de n sucesos incompatibles. P A A A A ) A )... A )... n n Probabilidad de la unión de sucesos compatibles: Si A y B son dos sucesos compatibles, entonces: P A B PA PB PA B Para tres sucesos compatibles tendremos: P A B C PA PB PC PA B PA C PB C PA B C Ejemplo: Sea el experimento que consiste en el lanzamiento de un dado. Se definen los suce-,3,5 B,3,5, calcula la probabilidad de su unión. sos A y Teniendo en cuenta que A B 3, 5 y aplicando Ley de Laplace : P ( A) B), A B), por tanto PA B PA PB PA B

12 Ejemplo: Una bolsa contiene bolas numeradas del al 8. Se realiza el experimento consistente en extraer una bola de la bolsa y anotar el número. Consideremos los siguientes sucesos: A, salir par; B, salir impar; C, salir múltiplo de. Calcular las probabilidades de los sucesos A B, A C y B C. Construimos primeros los sucesos: A,,6,8 B,3,5,7 C,8 A B PA PB P P A C PA PC PA C B C PB PC P 3.5. Probabilidad condicionada. 3 Para introducir la probabilidad condicionada vemos primero el siguiente ejemplo Ejemplo: Los resultados de una encuesta sobre las preferencias musicales de 33 personas es el siguiente: Sea A : ser varón y B : preferir la música clásica.se elige una persona al azar, cuál es la probabilidad de que le guste la música clásica sabiendo que es varón? VARONES MUJERES TOTAL CLÁSICA 5 87 MODERNA TOTAL Evidentemente la probabilidad pedida es pues hay 96 varones de los cuales a 5 les gusta 96 la música clásica. Esta probabilidad es la que llamaremos Probabilidad condicionada del suceso B respecto al suceso A. La probabilidad condicionada de un suceso B respecto de otro A es la probabilidad del suceso B sabiendo que previamente ha ocurrido el suceso A. Se representa como P ( B / A). B / A) B A) A) Ejemplo: Un profesor de matemáticas da clases en tres grupos diferentes, a un total de 93 alumnos. En una evaluación los aprobados y suspensos de cada grupo fueron los siguientes:

13 A B C Suficientes Insuficientes 6 Halla la probabilidad de que un alumno, elegido al azar a) Sea del grupo A. b) Tenga suficiente y sea del grupo A. c) Haya aprobado, sabiendo que es del grupo A. a) En total hay 93 alumnos, de los cuales, 3 son del grupo A, por tanto b) La probabilidad pedida es la del suceso A S : A S) c) Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada: Sucesos dependientes o independientes: Dos sucesos A y B son independientes si B) B / A). Dos sucesos A y B son dependientes si B) B / A) 6 93 P ( A) S A) S / A) 93 A) 3 93 Ejemplo: Consideremos el experimento consistente en la extracción sucesiva de dos cartas de una baraja española, cuál es la probabilidad de extraer dos reyes? a) Sin devolver la carta después de la primera extracción. b) Devolviéndola En cualquiera de los dos apartados se nos pide la probabilidad de rey en la primera (R ) y rey en la segunda (R ), es decir P R R ) ( a) Cuando realizamos la primera extracción tenemos 0 cartas de las cuales son reyes, por tanto P ( R ). Cuando realizamos la siguiente extracción sólo nos quedan 3 reyes y cartas, son sucesos dependientes P ( R / R ). 39 De la fórmula de la probabilidad condicionada: 3 R R ) R ) R / R ) 0 39 b) En este caso, al devolver la primera carta no se cambia la situación inicial, son sucesos independientes: 30

14 R R ) R ) R / R ) R ) R ) Probabilidad compuesta o de la intersección de sucesos. Distinguiremos dos casos: Probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes: Si A y B son independientes A B) A) B) Probabilidad de la intersección de dos sucesos dependientes: Si A y B son dependientes A B) A) B / A) Para el caso de tres sucesos A, B y C A B C) A) B / A) C / A B) Para el caso de n sucesos tenemos el teorema de la probabilidad compuesta: Teorema: Sean A, A,..,A n, sucesos cualesquiera de un mismo experimento aleatorio, se verifica entonces: A A... An ) A ) A / A ) A3 / A A )... An / A A... An ) Ejemplo: Halla la probabilidad de obtener caras en los lanzamientos de una moneda. P ) ( C C C3 C Ejemplo: Un alumno ha estudiado 5 temas de los 5 que tiene el cuestionario de un examen. El examen consiste en contestar dos temas extraídos al azar. Halla la probabilidad de que los dos temas sean de los que el alumno estudió. Definimos los sucesos: B, estudió el primer tema; B, estudió el segundo tema. La probabilidad pedida es la del suceso B B. Se trata de sucesos dependientes, cuando elige el segundo tema, sólo quedan y, si el primero fue de los estudiados, sólo le quedan temas conocidos. 5 B B ) 0,35 5 También podemos resolver el problema utilizando la ley de Laplace y la combinatoria: 6 3

15 5 P ( temas estudiados) 0,35 5 Ejemplo: Se tiene una bolsa con 0 bolas rojas y 6 negras de la que se extraen dos bolas. Halla la probabilidad de que ambas sean negras: a) Con devolución de la primera bola. b) Sin devolución. 6 6 a) N N ) N) N ) 0, b) N N ) N) N / N) 0, Ejercicio: Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P ( A) 0, 5 ; P ( B) 0, ; A B) 0,. Calcúlense cada una de las siguientes probabilidades: a) A B) b) A B) c) P ( A/ B) d) A B) 3 A B). Calcu- Ejercicio: Sean A y B dos sucesos tales que lar: a) P ( B / A) b) P ( A / B) P ( A), P ( B) y 5 Ejercicio: Se dispone de un dado equilibrado de seis caras, que se lanza seis veces con independencia. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes: a) Obtener al menos un seis en el total de los seis lanzamientos. b) Obtener un seis en el primer y último lanzamiento y en los restantes lanzamientos un número distinto de seis. Probabilidad total: A partir de la probabilidad compuesta podemos llegar al teorema de la probabilidad total: Para un sistema completo de sucesos A, A,.., A n y para un suceso B cualquiera se tiene: B) A ) B / A ) A ) p( B / A )... An ) B / A n B) n i A ) B / i A i ) )

16 Ejemplo: Una empresa de productos lácteos, elabora sus productos en cuatro fábricas. Las cuotas de producción de cada fábrica y la proporción de productos con envasado incorrecto son los siguientes: A B C D Cuota de producción 0, 0,3 0, 0, Envasado incorrecto 0,0 0,0 0,07 0,0 Si se toma un producto al azar, cuál es la probabilidad de que esté defectuosamente envasado? Si llamamos M al suceso está mal envasado, la situación planteada se puede representar en el siguiente diagrama: M ) A M ) B M ) C M ) D M ) M ) A) M / A) B) M / B) C) M / C) D) M / D) y sustituyendo los valores dados en la tabla: P ( M ) 0, 0,0 0,3 0,0 0, 0,07 0, 0,0 0,08 Ejercicio: Una bolsa contiene 0 monedas equilibradas. Cinco de dichas monedas tienen cara y cruz, otras tres son monedas con dos caras y las dos restantes son monedas con dos cruces. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza. Calcúlese la probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento. Teorema de Bayes Sea un sistema completo de sucesos A, A,..A n y sea un suceso B tal que B/A i ) son conocidas, entonces: Ai ) B / Ai ) P ( Ai / B) : A ) B / A ) i i Ejemplo: Siguiendo con el ejemplo anterior, supongamos que hemos tomado un producto al azar y resulta estar mal envasada, qué probabilidad hay de que proceda de la factoría A? 5

17 Nos están pidiendo: A / M ) A M ) M ) A) M / A) A) M / A) B) M / B) C) M / C) D) M / D A) M / A) 0, 0,0 P ( A / M ) 0,8 M ) 0,08 Ejemplo: Se va ha realizar el siguiente experimento, se tira una moneda, si sale cara se saca una bola de una urna en la que hay bolas negras, 3 turquesa y 3 amarillas, si sale cruz se saca una bola de otra urna en la que hay 5 bolas negras, turquesa y 3 amarillas. Cara NNNN TTT AAA Cruz NNNNN TT AAA N /0 Cara N) = / /0 = /0 Cara / T 3/0 Cara T) = / 3/0 = 3/0 A 3/0 Cara A) = / 3/0 = 3/0 N 5/0 Cruz N) = / 5/0 = 5/0 Cruz / T /0 Cruz T) = / /0 = /0 A 3/0 Cruz A) = / 3/0 = 3/0 Tª de la probabilidad total: N) = Cara N) + Cruz N) = /0 + 5/0 = 9/0 Cara N ) Tª de Bayes : Cara/N) = Cara N ) Cruz N ) casos favorables entre casos posibles. que no es ni más ni menos que Ejercicio: Una bolsa contiene 0 monedas equilibradas. Cinco de dichas monedas tienen cara y cruz, otras tres son monedas con dos caras y las dos restantes son monedas con dos cruces. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza. Si en el lanzamiento ha salido cara, cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz? Ejercicio: En una residencia universitaria viven 83 estudiantes, de los cuales 30 utilizan la biblioteca. De estos últimos, 70 estudiantes hacen uso de la lavandería, mientras que sólo 0 de los que no usan la biblioteca utilizan la lavandería. Se elige un estudiante de la residencia al azar. a) Cuál es la probabilidad de que utilice la lavandería? b) Si el estudiante elegido no utiliza la lavandería, cuál es la probabilidad de que utilice la biblioteca? 6

18