Unidad 14 Probabilidad

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1 Unidad 4 robabilidad ÁGINA 50 SOLUCIONES Calcular variaciones.! 5! 4 a) V, 6 b) 5, 60 c),4 6 ( )! V (5 )! VR Calcular permutaciones. a)! 6 b) 5 5! 0 c) 0 0! ! palabras diferentes. Números combinatorios. 5 5! ! a) 0 b) 0 c) 5!(5 )! 9!(7 )!

2 ÁGINA 5 SOLUCIONES. Experimentos deterministas. a) Lanzar un objeto. b) Calentar agua a 00º. Experimentos aleatorios. a) Sacar una moneda de una bolsa. b) Saca una carta de la baraja.. a) E {cara, cruz} b) E {(cara, ), (cara, ), (cara, ), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (cruz, ), (cruz, ), (cruz, ), (cruz, 4), (cruz, 5), (cruz, 6)} c) E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 7), (6, 8), (7, ), (7, ), (7, ), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 7), (7, 8), (8, ), (8, ), (8, ), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 7), (8, 8)} d) E {as de oros, dos de oros, tres de oros, cuatro de oros, cinco de oros, seis de oros, siete de oros, sota de oros, caballo de oros, rey de oros, as de copas, dos de copas, tres de copas, cuatro de copas, cinco de copas, seis de copas, siete de copas, sota de copas, caballo de copas, rey de copas, as de espadas, dos de espadas, tres de espadas, cuatro de espadas, cinco de espadas, seis de espadas, siete de espadas, sota de espadas, caballo de espadas, rey de espadas, as de bastos, dos de bastos, tres de bastos, cuatro de bastos, cinco de bastos, seis de bastos, siete de bastos, sota de bastos, caballo de bastos, rey de bastos} d) E {(cara, cara, cara), (cara, cara, cruz), (cara, cruz, cara), (cruz, cara, cara), (cruz, cruz, cruz), (cruz, cruz, cara), (cruz, cara, cruz), (cara, cruz, cruz)}

3 ÁGINA 5 SOLUCIONES. a) Suceso seguro E {Ø, cara, cruz, (cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), (cruz, cruz)} Sucesos elementales: {cara}, {cruz} b) Suceso seguro E {Ø, {}, {}, {}, {4}, {5}, {6} (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6,6)} Sucesos elementales: {}, {}, {}, {4}, {5}, {6} c) Suceso seguro E {Ø, {}, {}, {}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {0}, {}, {}, (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6,6)} Sucesos elementales: {}, {}, {}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {0}, {}, {} d) Suceso seguro E {Ø, {}, {}, {}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {0}, {}, {}, {5}, {8}, {0}, {4}, {5}, {0}, {6}, (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6,6)} Sucesos elementales: {}, {}, {}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {0}, {}, {}, {5}, {8}, {0}, {4}, {5}, {0}, {6}. 4. a) Sucesos compuestos: (cruz, cara), (cruz, cruz). b) Sucesos compuestos: (5, 4), (5, 5). c) Sucesos compuestos: (, ), (, ). d) Sucesos compuestos: (, ), (, 4).

4 ÁGINA 54 SOLUCIONES 5. a) A B Sacar un número múltiplo de o múltiplo de 5 { } C { } C { } B{ plo de 5} { Sacar un número múltiplo de 5} C { } { } C { } { de 0} B { } C { } C { } b) A Sacar un número múltiplo de o múltiplo de 4 c) B Sacar un número múltiplo de 5 o múltiplo de 4 d) A Sacar un número múltiplo de y múlti e) A Sacar un número múltiplo de y múltiplo de 4 Sacar un número múltiplo de f) B Sacar un número múltiplo de 5 y múltiplo de 4 Sacar un número múltiplo g) A Sacar un número que no sea múltiplo de pero sí de 5 h) B Sacar un número que sea múltiplo de 5 pero no de 4 i) C

5 ÁGINA 55 SOLUCIONES 6. Cara Frecuencia absoluta Si la probabilidad es el valor al que tiende la frecuencia relativa, calculemos la frecuencia relativa de cada cara. h() 0 h() 0 h() 0 7 h(4) 0 6 h(5) 0 6 h(6) 0 08 La probabilidad es aproximadamente 0 4, es decir, aproximadamente 6.

6 ÁGINA 56 SOLUCIONES 7. a) A ( ) A ( ) 0' 0'7 b) A ( B) A ( ) + B ( ) A ( B) 0'+ 0'5 0'55 0 porque A y B son incompatibles. c) A ( B) ( ) 0 d) B ( ) B ( ) 0'5 0'75 e) B ( B) B ( ) + B ( ) B ( B) B ( ) + B ( ) 0 B B f) A ( A) 0 porque A A

7 ÁGINA 57 SOLUCIONES ( ) Regla de Laplace A casos favorables casos posibles 8. i 8 4 a) A ( ) (4) 0' d) A ( ) 0' b) A ( ) 0' e) A ( ) 0' c) A ( ) 0'4 f) A ( ) 0' a) ( XX ) 0' c) ( XC XX ) ( XC) + ( XX ) 0'67 b) XC ( ) 0' d) C ( ) C ( ) XX ( ) 0'

8 ÁGINA 58 SOLUCIONES 0. El espacio muestral de nuestro suceso es E {,, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso lanzar dos veces un dado de cuatro caras. Su espacio muestral es E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (, ), (, 4), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de dos en dos: VR 4, 4 6 Suceso Casos favorables Número de casos favorables robabilidad {} (, ) 6 {} (, ), (, ) 6 {4} (, ), (, ), (,) 6 {5} (, 4), (,), (,), (4,) {6} (, 4), (, ), (4,) 6 {7} (, 4), (4, ) 6 {8} (4, 4) 6. El espacio muestral de nuestro suceso es E {,,, 4, 6, 8, 9,, 6}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso lanzar dos veces un dado de cuatro caras. Su espacio muestral es E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (, ), (, 4), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de dos en dos: VR 4, 4 6

9 a) Suceso Casos favorables Número de casos favorables robabilidad {} (, ) 6 {} (, ), (, ) 6 {} (, ), (,) 6 {4} (, 4), (, ), (4,) 6 {6} (,), (,) 6 {8} (, 4), (4,) 6 {9} (, ) 6 {} (, 4), (4, ) 6 {6} (4, 4) 6 b) i () ( ) () + (4) + (6) + (8) + () + (6) Observación : Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir la diferencia de las intersecciones. c) i () ( 6 9 ) () + (6) + (9) + () Observación : Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir la diferencia de las intersecciones. d) i i i ( ) (6) (6 ) (6) + () Observación : Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir la diferencia de las intersecciones.

10 ÁGINA 59 SOLUCIONES. Llamaremos C a la posibilidad de obtener cara y X a la de obtener cruz. Ambas tienen la misma probabilidad de ocurrir: C ( ) X ( ). a) ( C) ( CXX ) + ( XCX ) + ( XXC) C ( ) X ( ) X ( ) + X ( ) C ( ) X ( ) + X ( ) X ( ) C ( ) b) ( C) ( CCX ) + ( XCC) + ( CXC) C ( ) C ( ) X ( ) + X ( ) C ( ) C ( ) + C ( ) X ( ) C ( ) c) ( C) ( CCC) ( C) ( C) ( C) 8 d) (al menos una cara) (ninguna cara) (tres cruces) 7 XXX ( ) X ( ) X ( ) X ( ) 8. a) El suceso ''obtener un cinco y un seis'' puede darse sacando (5, 6) ó (6, 5). ( {(5, 6) }) ( {(6, 5) }) (5) (6) A ( ) ( {(5, 6) }) + ( {(6, 5) }) 6 8

11 x [ ] b)el suceso ''obtener un cinco en el primer dado'' puede darse sacando (5, x) con x,6. ((5, { x)) } (5) ( x) A ( ) ((5, { x)) } 6 6 c)el suceso ''obtener al menos un cinco'', es el complementario de ''no obtener ningún cinco'', entonces [ ] {} podemos sacar cualquier combinación ( x, y), siempre y cuando x, y,6 / 5 (al menos un cinco) (ningún cinco) Si contamos el número de casos que tenemos, coinciden con el número de variaciones con repetición de cinco elementos tomados de dos en dos, es decir, VR5, 5 5. or lo tanto, si ( {( x, y) }) ( x) ( y), la probabilidad de que no salga ningún cinco es (al menos un cinco) (ningún cinco) 6 6 d) (obtener un número par en ( x, y)) ( x par) ( y impar) + ( x impar) ( y par) [ () + (4) + (6)] [ () + () + (5)] + [ () + () + ( 5)] [ () + (4) + (6)]

12 ÁGINA 60 SOLUCIONES 4. a) Queremos que las extracciones se den en el orden siguiente: ª Blanca B ª Roja R ª Negra N or lo tanto, tenemos que calcular N R B ( R N) ( B B ) R B 7 R 8 N ( B ),, 8 B 7 B R 6 N R ( B B ) R B Solución: B ( R N) 04 b) Queremos que las extracciones sean negras, por lo tanto tenemos que calcular N N N ( N N) ( N N ) N N N N ( N ),, 8 N 7 N N 6 N N N ( N ) N N Solución: N ( N N) 86 c) Queremos que las extracciones sean dos bolas negras y una blanca, por lo tanto tenemos que calcular: B N N ( N B) N ( ) N N N

13 N B 7 ( N ),, 8 N 7 N N 6 B N 7 7 ( ) N N N N 7 Solución: N ( N B) 86 d) Queremos que las extracciones sean todas rojas, es decir: R R R ( R R) ( R R ) R R 8 R 7 6 R ( R ),, 8 R 7 R R 6 N N N N N ( N ) Solución: R ( R R) 0

14 ÁGINA 6 SOLUCIONES 5. a) Queremos que las dos bolas que saquemos sean blancas: B B ( B) ( B) B Solución: B ( B) 8 b) Queremos que sólo una de las dos bolas que saquemos sea blanca: B B ( B) B B B + B Solución: B ( B) 9 B ( ) ( ) c) El suceso ''ninguna bola blanca'', es el complementario del suceso ''las dos bolas blancas''. 9 9 B B B B or lo tanto, ( ) ( ) Solución: B ( B) 8 d) Queremos que la primera bola sea blanca y la segunda negra: B B ( N) ( N) N Solución: B ( N) 8

15 6. Queremos que el alumno elegido sea niño, y moreno, entonces: 7 (Niño Moreno) Niño Niño 8 4 Solución: (Niño Moreno) 4 ( ) ( Moreno )

16 ÁGINA 64

17 SOLUCIONES Experimentos deterministas y aleatorios. 7. a) Experimento aleatorio. b) Experimento determinista. c) Experimento aleatorio. d) Experimento aleatorio. e) Experimento aleatorio. f) Experimento aleatorio. g) Experimento aleatorio. 8. a) E {(cara, ), (cara, ), (cara, ), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (cara, 7), (cara, 8), (cruz, ), (cruz, ), (cruz, ), (cruz, 4), (cruz, 5), (cruz, 6), (cruz, 7), (cruz, 8)}. b) E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (7, ), (7, ), (7, ), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (8, ), (8, ), (8, ), (8, 4), (8, 5), (8, 6)}. c) E {(cara, cara, ), (cara, cara, ), (cara, cara, ), (cara, cara, 4), (cruz, cruz, ), (cruz, cruz, ), (cruz, cruz, ), (cruz, cruz, 4)}. d) E {(0, 0), (0, ), (0, ), (0, ), (0, 4) (, 0), (, ), (, ), (, ), (, 4) (, 0), (, ), (, ), (, ), (, 4) (, 0), (, ), (, ), (, ), (, 4) (4, 0), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4)}. 9. Experimentos aleatorios a) Elegir un número y anotar su resultado al dividirlo entre tres. b) Sacar unos calcetines del cajón al azar. Experimentos deterministas a) esar dm de agua. b) Medir el lado de un cuadrado de cm de área. 0. E{R, B, N}. a) E {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, }

18 b) E {,,, 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 5, 6, 0, 4, 5, 0, 6} c) E {(0, 0), (0, ), (0, ), (0, ), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (0, 8), (0, 9), (, 0), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (, 9), (, 0), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (, 9), (, 0), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (, 9), (4, 0), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9),}. d) E {(B, B), (B, R), (B, N), (R, R), (R, B), (R, N), (N, N), (N, R), (N, B)} e) E { (B, B, B), (B, B, N), (B, N, B), (N, B, B), (B, N, N), (N, B, N), (N, N, B), (N, N, N)} Sucesos.. a) El único suceso imposible es el conjunto vacío: Ø. b) El suceso seguro es el formado por todos los sucesos. E { Ø, {varón}, {mujer}, {moreno}, {castaño}, {rubio}, (varón, moreno), (varón, castaño), (varón, rubio), (mujer, morena), (mujer, castaña), (mujer, rubia)} c) Los sucesos elementales son: {varón}, {mujer}, {moreno}, {castaño}, {rubio}. d) Los sucesos compuestos son: (varón, moreno), (varón, castaño), (varón, rubio), (mujer, morena), (mujer, castaña), (mujer, rubia).. a) {0}, {}, {}. b) {,, 5, 7, 9}, {, 4, 6, 8} c) E d) Ø Operaciones con sucesos. 4. A, 4, 6, 8, 0 B 6,, 8 C,, 4, 6, 8 { } { } { } { } { } { } {} { } {} a) A B, 4, 6, 8, 0,, 8 b) A C,,, 4, 6, 8 c) B C,, 4, 6, 8,, 8 d) A B 6 e) A C 4, 8 f) B C 6 {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} g) A,, 5, 7, 9, { } h) B C,, 4, 8 i) C C E

19 5. A, 4, 5, 7, 8 B, 5, 7, 9 C,,, 4 E { } { } { } {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} A ( B C) { } ( A B) ( A C) { } A B { } A B { } A ( B C) { } ( A B) ( A C) {,, 4, 5, 7, 8} A B { } A B { } a), 4, 5, 7 b), 4, 5, 7 c), 6, 0 d), 6, 0 e),, 4, 5, 7, 8 f) g),,, 4, 6, 8, 9, 0 h),,, 4, 6, 8, 9, 0 6. Se pueden asegurar las dos propiedades siguientes. a) A B A B b) A B A B Frecuencia de un suceso. Ley de los grandes números. 7. Normalmente, el número de veces que sale cara tiene que ser aproximadamente el mismo que la probabilidad de que salga cruz, por lo tanto, es probable, que esté trucada, puesto que el número de cruces casi triplica al de caras. 8. La probabilidad de cruces no varía a lo largo del experimento, si no que hay que estudiarla una vez terminado el mismo y habiendo lanzado la moneda una cantidad de veces lo suficientemente grande para que las frecuencias puedan estabilizarse. 9. La probabilidad es el número al que tiende la frecuencia relativa después de realizar el experimento un número de veces considerablemente grande. or lo tanto, en este caso, la probabilidad de acertar la canasta de dos puntos la conseguimos calculando la frecuencia relativa después de 7 lanzamientos: 8 hi 0'74 7 La probabilidad de encestar un tiro de dos puntos es 0 74.

20 ÁGINA 65

21 SOLUCIONES robabilidad de un suceso. 0. A ( ) A ( ) 0' 0'7 Solución: A ( ) 0'7. A ( B) A ( ) + B ( ) A ( B) 0'5+ 0' 0'6 Solución: A ( B) 0'6 0 porque A y B son incompatibles.. a) Verdadera. Todos los sucesos elementales sn incompatibles porque su intersección es el conjunto vacío. b) Falsa. Los sucesos elementales son incompatibles. c) Falsa. La probabilidad nunca toma valores mayores que. d) Verdadera. E { A} { B} { C} ( { A} ) + ( { B} ) + ( { C} ) E ( ) e) Verdadera. A C A + C A C A + C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 porque son sucesos incompatibles f) Verdadera. A y B son sucesos incompatibles.. B ( ) B ( ) A ( ) 0' 0'7 Solución: B ( ) 0'7 4. a) A ( ) A ( ) 0'7 0' Solución: A ( ) 0'7 b) B ( ) B ( ) 0'6 0'4 Solución: B ( ) 0'4

22 c) A ( B) A ( ) + B ( ) A ( B) 0'7+ 0'6 0'5 0'8 Solución: A ( B) 0'8 d) A ( B) A ( B) 0'8 0' Solución: A ( B) 0' e) A ( B) A ( B) 0' Solución: A ( B) 0' e) A ( B) A ( B) A ( B) 0'5 0'5 Solución: A ( B) 0' 5 La ley de Laplace. 5. ( ) Regla de Laplace A casos favorables casos posibles (Chico) 8 7 Solución: La probabilidad de que sea chico es LLamaremos N al suceso ''bañador negro'', A al suceso ''bañador azul'' y R al suceso ''bañador rojo''. a) (N) 0 0 Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color negro es. 0 8 b) (A) 0 5 Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color azul es. 5 0 c) (R) ( R) 0 Solución: La probabilidad de que su bañador no sea de color rojo es.

23 0 d) (N R) ( N) + ( R) (N R) porque son sucesos incomptibles Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color negro o rojo es. 5 9 e) (N) ( N) Solución: La probabilidad de que su bañador no sea de color negro es LLamaremos B al suceso ''bola blanca'', N al suceso ''bola negra'' y A al suceso ''bola azul'', y R al suceso ''bola roja''. a) (B) 4 Solución: La probabilidad de sacar una bola blanca es. 4 4 b) (R) 4 7 Solución: La probabilidad de sacar una bola roja es. 7 5 c) (N) 4 5 Solución: La probabilidad de sacar una bola negra es. 4 d) (A) 4 7 Solución: La probabilidad de sacar una bola azul es a) (ar) () + (4) + (6) 6 Solución: La probabilidad de sacar un número par es.

24 b) (Impar) () + () + (5) 6 Solución: La probabilidad de sacar un número impar es. c) x ( < 4) () + () + () 6 Solución: La probabilidad de sacar un número menor que cuatro es. 4 d) x ( 4) () + () + () + (4) 6 Solución: La probabilidad de sacar un número menor o igual que cuatro es. e) () 6 Solución: La probabilidad de sacar dos es. 6 f) ( 5) () + (5) 6 Solución: La probabilidad de sacar un dos o un cinco es. i g) () () + (6) 6 Solución: La probabilidad de sacar un múltiplo de tres es. 4 h) (rimo) () + () + () + (5) 6 Solución: La probabilidad de sacar un número primo es. 9. a) () Solución: La probabilidad de sacar el volumen número doce es.

25 6 b) (ar) () + (4) + (6) + (8) + (0) + () Solución: La probabilidad de sacar un volumen par es. i 4 c) () () + (6) + (9) + () Solución: La probabilidad de sacar un volumen múltiplo de tres es. 40. Queremos que las extracciones se den en el orden siguiente: ªR R ª U U ª B B 4ª I I 5ª O O 4 5 or lo tanto, tenemos que calcular R ( U B I O) 4 5 ( ) R U B I4 O 5 R R U R U B R U B I 4 U B ( R ) 5 R 4 R U I O 4 5 R U B R U B I 4 R ( U B I4 O5) Solución: La probabilidad de que las letras salgan en el mismo orden es 0 4. a) ((6, ar)) (6) (par) (6) [ () + (4) + (6) ] 6 6 Solución: La probabilidad de sacar 6 en la primera tirada y un par en la segunda es.

26 b) ((primo, 5)) (primo) ( 5) [ () + () + () + (5) ] () + (5) ( 5) Solución: La probabilidad de sacar un primo en la primera tirada y un dos o un cinco en la segunda es. 9 c) Sea la tirada obtenida ( xy, ), queremos saber x ( + y 8) El espacio muestral de nuestro suceso es E {,, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso lanzar dos veces un dado de seis caras. Su espacio muestral es E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR 6, 6 6 Suceso Casos favorables Número de casos favorables robabilidad {} (, ) 6 {} (, ), (, ) 6 {4} (, ), (, ), (,) 6 {5} (, 4), (,), (,), (4,) {6} (, 5), (, 4), (, ), (4,), (5, ) {7} (, 6), (, 5), (, 4), (4, ), (5, ), (6,) {8} (, 6), (, 5), (4, 4), (5, ), (6, ) {9} (, 6), (4,5), (5,4), (6,) {0} (4, 6), (5, 5), (6,4) 6 {} (5, 6), (6, 5) 6 {} (6, 6) 6 5 Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 8 es. 6

27 c) Sea la tirada obtenida ( xy, ), queremos saber xy ( ) El espacio muestral de nuestro suceso es E {,,, 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 5, 6, 8, 0 4, 5, 0, 6}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso lanzar dos veces un dado de seis caras. Su espacio muestral es E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR 6, 6 6 Suceso Casos favorables Número de casos favorables robabilidad {} (, ) 6 {} (, ), (, ) 6 {} (, ), (,) 6 {4} (, 4), (, ), (4,) 6 {5} (, 5), (5, ) 6 {6} (, 6), (,), (,), (6,) {8} (, 4), (4, ) 6 {9} (, ) 6 {0} (, 5), (5, ) 6 {} (, 6), (, 4), (4, ), (6, ) 4 6 {5} (, 5), (5, ) 6 {6} (4, 4) 6 {8} (, 6), (6, ) 6 {0} (4, 5), (5, 4) 6 {4} (4, 6), (6, 4) 6 {5} (5, 5) 6 {0} (5, 6), (6, 5) 6 {6} (6, 6) 6

28 Solución: La probabilidad de que el producto de las dos tiradas sea es a) El número de piezas de un dominó son 8, y sólo una de ellas es doble blanca. Aplicando la ley de Laplace tenemos: casos favorables ( doble blanca) casos posibles 8 ( ) Solución: doble blanca 8 b) Si queremos que salga un seis, tenemos las siguientes posibilidades: (blanco,6), (,6), (,6), (,6), (4,6), (5,6), (6,6). Es decir, ( ) sacar seis casos favorables 7 casos posibles 8 ( ) Solución: sacar seis 4 c) Sólo existen siete fichas blancas: (blanco, blanco), (blanco, ), (blanco, ), (blanco, ), (blanco, 4), (blanco, 5), (blanco, 6). casos favorables 7 ( sacar blanco) casos posibles 8 ( ) Solución: sacar blanco 4 d) Las fichas que suman diez son dos: (4,6) y (5,5). casos favorables ( sumar diez) casos posibles 8 ( ) Solución: sumar diez 4 e) Las fichas cuyo producto es son : (, 6) y (, 4). casos favorables ( producto sea doce) casos posibles 8 Solución: ( producto sea doce) 4

29 f) Las fichas cuya puntuación suma un número par son: (blanca, ), (blanca, 4), (blanca, 6), (, ), (, ), (, 5), (, ), (, 4), (, 6), (, ), (, 5), (4, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 6) casos favorables 5 ( suma par) casos posibles 8 ( ) Solución: suma par a) El espacio muestral de nuestro suceso es E {,, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso lanzar dos veces un dado de seis caras. Su espacio muestral es E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR 6, 6 6 Suceso Casos favorables Número de casos favorables robabilidad {} (, ) 6 {} (, ), (, ) 6 {4} (, ), (, ), (,) 6 {5} (, 4), (,), (,), (4,) {6} (, 5), (, 4), (, ), (4,), (5, ) {7} (, 6), (, 5), (, 4), (4, ), (5, ), (6,) {8} (, 6), (, 5), (4, 4), (5, ), (6, ) {9} (, 6), (4,5), (5,4), (6,) {0} (4, 6), (5, 5), (6,4) 6 {} (5, 6), (6, 5) 6 {} (6, 6) 6 4 Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 5 es. 6

30 b) 5 8 (4 6) (4) + (6) (4 6) Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 4 o 6 es. 9 c) ( x> 0) () + () Solución: La probabilidad de que obtener un número mayor que 0 es. d) i 5 4 () () + (6) + (9) + () Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de tres es. e) i 4 7 (5) (5) + (0) Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de cinco es. 6 f) i ( ) () + (4) + (6) + (8) + (0) + () Solución: La probabilidad de obtener un número par es.

31 ÁGINA 66

32 SOLUCIONES 44. or la regla de Laplace sabemos que la probabilidad de elegir un chicos la calculamos dividiendo los casos favorables entre los posibles, entonces: casos favorables x ( chico) 0'6 x 8 casos posibles 0 Solución: En la clase hay 8 chicos. 45. El espacio muestral de nuestro suceso es E {,,, 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 5, 6, 8, 0 4, 5, 0, 6}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso lanzar dos veces un dado de seis caras. Su espacio muestral es E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR 6, 6 6 Suceso Casos favorables Número de casos favorables robabilidad {} (, ) 6 {} (, ), (, ) 6 {} (, ), (,) 6 {4} (, 4), (, ), (4,) 6 {5} (, 5), (5, ) 6 {6} (, 6), (,), (,), (6,) {8} (, 4), (4, ) 6 {9} (, ) 6 {0} (, 5), (5, ) 6 {} (, 6), (, 4), (4, ), (6, ) 4 6 {5} (, 5), (5, ) 6 {6} (4, 4) 6 {8} (, 6), (6, ) 6

33 {0} (4, 5), (5, 4) 6 {4} (4, 6), (6, 4) 6 {5} (5, 5) 6 {0} (5, 6), (6, 5) 6 {6} (6, 6) 6 a) Solución: La probabilidad de obtener seis es. 9 b) Solución: La probabilidad de obtener 0 es. 8 c) i () () + (4) + (6) + (8) + (0) + () + (6) + (8) + (0) + (4) + (0) + (6) Solución: La probabilidad de obtener un número par es. 8 d) Solución: La probabilidad de obtener ocho es. 8 e) i (5) (5) + (0) + (5) + (0) + (5) + (0) Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de cinco es. f) ( x< 4) () + () + () Solución: La probabilidad de obtener un número menor que cuatro es.

34 46. Las extracciones puede darse en el orden siguiente: caso a) ª M M ª E E caso b) ª M E M E ª M M ª E E caso c) ª M E M E ª M E M E ª M M 4ª E E4 caso d) ª M E M E ª M E M E ª M E M E 4ª M M4 5ª E E5 caso e) ª M E M E ª M E M E ª M E M E 4ª M E M4 E4 5ª M M5 6ª E E6 or lo tanto, tenemos que calcular M ( n En+ ) (caso a) + (caso b) + (caso c) + (caso d) + (caso e) Solución: La probabilidad de que salgan ME es Llamemos A al suceso ''Ana y Alberto sentados juntos''. Existen dos posibilidades, posición a) ANA-ALBERTO. posición b)alberto-ana. casos favorables a ( ) + b ( ) ( A) casos posibles V 60 Solución: La probabilidad de que se sienten juntos es 0 5, Composición de sucesos independientes. 48. a) A ( B) 0 porque los sucesos son incompatibles. b) A ( B) A ( ) + B ( ) A ( B) 0'+ 0'4 0'7 0 porque A y B son incompatibles. c) A ( B) A ( B) A ( B) 0' d) A ( B) A ( B) A ( B)

35 49. a) ( C) () ( C) * 0 0 * Esa igualdad es cierta porque ambos sucesos son independientes. b) (0 X) (0) ( X) 0 0 c) ( C) () ( C) [ () + (6) + (9) ] ( C) d) () () + (4) + (6) + (8) Las extracciones puede darse en el orden siguiente: caso a) ª ª ª 5 5 caso b) ª ª 5 5 ª caso c) ª ª ª 5 5 caso d) ª ª 5 5 ª caso e) ª 5 5 ª ª caso f) ª 5 5 ª ª or lo tanto, tenemos que calcular ( ) (caso a) + (caso b) + (caso c) + (caso d) + (caso e) + (caso f ) Solución: La probabilidad de que salgan un, un y un 5 es a) Las extracciones puede darse en el orden siguiente: caso a) ª ª caso b) ª ª or lo tanto, tenemos que calcular ( ) (caso a) + (caso b) Solución: La probabilidad de que salgan un y un es. 8

36 b) Las extracciones puede darse en el orden siguiente: caso a) ª 5 5 ª cualquier número distinto de 5 5 caso b) ª cualquier número distinto de 5 5 ª 5 5 or lo tanto, tenemos que calcular (5) (caso a) + (caso b) Solución: La probabilidad de que salga un 5 es. 8 5 c) (5) (5 ) Solución: La probabilidad de que salgan dos 5 es. 6 d) (5) (5) 5 ( ) Solución: La probabilidad de que no salga ningún 5 es. 6 5 e) (al menos un 5) (5) 6 6 Solución: La probabilidad de que salga al menos un 5 es a) El espacio muestral de nuestro suceso es E {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, }, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso lanzar dos veces un dado de seis caras. Su espacio muestral E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR 6, 6 6 Suceso Casos favorables Número de casos favorables robabilidad {} (, ) 6 {} (, ), (, ) 6 {4} (, ), (, ), (,) 6

37 {5} (, 4), (,), (,), (4,) {6} (, 5), (, 4), (, ), (4, ), (5, ) {7} (, 6), (, 5), (5, ), (, 4), (4, ), (6,) {8} (, 6), (, 5), (5, ), (6, ) {9} (, 6), (4, 5), (5, 4), (6, ) {0} (4, 6), (5, 5), (6, 4) 6 {} (5, 6), (6, 5) 6 {} (6, 6) 6 Solución: La probabilidad de que sumen 7 es. 6 b) El espacio muestral de nuestro suceso es E {,,, 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 5, 6, 8, 0 4, 5, 0, 6}, pero los sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso lanzar dos veces un dado de seis caras. Su espacio muestral es E {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} y su sucesos elementales son equiprobables. El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos tomados de dos en dos: VR 6, 6 6 Suceso Casos favorables Número de casos favorables robabilidad {} (, ) 6 {} (, ), (, ) 6 {} (, ), (,) 6 {4} (, 4), (, ), (4,) 6 {5} (, 5), (5, ) 6 {6} (, 6), (,), (,), (6,) {8} (, 4), (4, ) 6 {9} (, ) 6 {0} (, 5), (5, ) 6

38 {} (, 6), (, 4), (4, ), (6, ) 4 6 {5} (, 5), (5, ) 6 {6} (4, 4) 6 {8} (, 6), (6, ) 6 {0} (4, 5), (5, 4) 6 {4} (4, 6), (6, 4) 6 {5} (5, 5) 6 {0} (5, 6), (6, 5) 6 {6} (6, 6) 6 Solución: La probabilidad de que el producto sea 4 es. 8 c) Las extracciones puede ser las siguientes: caso a) obtener en el primer dado pero no en el segundo. caso b) obtener en el segundo dado pero no en el primero () (caso a) + (caso b) Solución: La probabilidad de que salga un es d) () Solución: La probabilidad de que no salga ningún es. 6 5 e) (al menos un ) () 6 6 Solución: La probabilidad de que salga al menos un es. 6

39 5. Si la probabilidad de cara es el doble que la de cruz, entonces: X ( ) y C ( ) C C a) ( caras) ( C ) 8 7 C C C 8 Solución: La probabilidad de que salgan tres caras es. 7 b) Los casos posibles son: caso a) ª C C ª C C ª X X caso b) ª C C ª X X ª C C caso c) ª X X ª C C ª C C 4 ( caras) (caso ) + (caso ) + (caso ) 9 4 Solución: La probabilidad de que salgan dos caras es. 9 X X c) C ( ) ( X) X ( ) X X X 7 Solución: La probabilidad de que no salga ninguna cara es. 7 6 d) (al menos una C) ( C) Solución: La probabilidad de que salga al menos una cara es A a) ( A) ( A) 6 A Solución: La probabilidad de que salgan dos bolas azules es. 6 R b) B ( R) B ( ) B ( ) ( R B ) 48 Solución: La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda roja es. 48

40 ( ) ( ) R R c) R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) R R ( ) R R + R + + Solución: La probabilidad de que alguna bola sea roja es. ( ) ( ) V V d) V ( ) V ( ) V ( ) V ( ) V V ( ) V V + V Solución: La probabilidad de que alguna bola sea verde es. V e) ( V) ( V ) ( V) ( V V ) 44 5 Solución: La probabilidad de que las dos bolas sean verdes es. 44 ( ) V f) V ( ) V ( ) V ( ) V V Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea verde es g) (al menos una bola verde) ( V) Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea verde es. 44 robabilidad de sucesos dependientes. 55. Llamaremos A al suceso ''salir chica' y O al suceso ''salir chico''. A a) O ( A) O ( ) 0'567 O Solución: La probabilidad de que el primero sea chico y la segunda sea chica es 0'567. O b) O ( O) O ( ) 0'8 O Solución: La probabilidad de que los dos sean chicos es 0'8. A c) A ( A) A ( ) 0'0 A Solución: La probabilidad de que las dos sean chicas es 0'0.

41 A O d) O ( ) O ( ) A ( ) 0'5 O + A Solución: La probabilidad de que haya al menos un chico es 0'5. 49 e) (al menos una chica) ( A) ( O O) 0' Solución: La probabilidad de que al menos haya una chica es 0' Llamaremos A al suceso ''salir chica', O al suceso ''salir chico'' y Ch al suceso ''llevar chandal'' a) Ch ( ) O ( ) ( Ch ) A ( ) ( Ch O + A) Solución: La probabilidad de que lleve chandal es. 7 Ch ( O) 5 5 b) O ( Ch) O ( ) Solución: La probabilidad de elegir a un chico sin chandal es. 7 ( Ch ) 5 c) A ( Ch) A ( ) A Solución: La probabilidad de elegir a una chica con chandal es. 9 Ch ( A) 5 4 d) A ( Ch) A ( ) Solución: La probabilidad de elegir a una chica sin chandal es. 9 ( Ch ) 7 7 e) O ( Ch) O ( ) O Solución: La probabilidad de elegir a un chico con chandal es. 7

42 ÁGINA 67

43 SOLUCIONES 57. a) ( 4) () ( ) ( 4 ) 0' Solución: La probabilidad de sacar el, el y el 4 ordenadamene es 0'009. ( 9 ) ( 9 ) ( ) b) (0 9 ) (0) (0) ' Solución: La probabilidad de sacar el 0, el 9 y un par es 0' c) () ( ) + ( ) + ( ) + + 0' Solución: La probabilidad de sacar un es 0'. d) () ( ) ' Solución: La probabilidad de no sacar un es 0' Aplicando Laplace tenemos que casos favorables (figuras) 0' casos posibles 40 Solución: La probabilidad de sacar tres figuras es 0'. 59. N B 5 4 N ( ) B ( ) N ( ) B ( ) 0'464 N + B Solución: La probabilidad de sacar dos bolas del mismo color es 0' V a) B ( V) B ( ) 0'044 B Solución: La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda verde es 0'044.

44 N N N N 4 9 b) ( ) ( ) 0'0 N Solución: La probabilidad de que las dos bolas sean negras es 0'0. R R c) R ( ) R ( ) R ( ) 0'4945 R + R Solución: La probabilidad de que alguna bola sea roja es 0'4945. R d) R ( ) R ( ) 0'956 R 4 9 Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea roja es 0' e) (al menos una bola roja) ( R) 0' Solución: La probabilidad de que al menos una bola sea roja es 0' Llamaremos Ni a los nombres y i a las profesiones. a) N ( ) + N ( ) + N ( ) Solución: La probabilidad de que coincidan los nombres y las profesiones es. b) N ( ) + N ( ) + N ( ) Solución: La probabilidad de que no coincidan los nombres y las profesiones es a) O ( F) O ( ) ( F ) O 0 4 Solución: La probabilidad de elegir a un chico que le guste el futbol es. F ( A) 6 b) A ( F) A ( ) Solución: La probabilidad de elegir a una chica que no le guste el futbol es. 5

45 F ( O) 4 4 c) O ( F) O ( ) Solución: La probabilidad de elegir a un chico que no le guste el futbol es. 5 ( F ) 6 4 d) A ( F) A ( ) A Solución: La probabilidad de elegir a una chica que le guste el futbol es a) O ( B O) + O ( B O B) + 0' Solución: La probabilidad de que los dos sean machos y uno ellos blanco es 0' b) A ( O) + O ( A) Solución: La probabilidad de que uno de ellos sea hembra es c) A ( B) A ( B) Solución: La probabilidad de que las dos sean hembras blancas es d) A ( B) O ( ) + O ( ) A ( B) Solución: La probabilidad de que tener una hembra blanca y un macho es. 45 casos favorables e) B ( B) casos posibles 0 Solución: La probabilidad de que ambos sean blancos es. 0

46 64. casos favorables N ( ) casos posibles 9 Solución: La probabilidad de sacar alguna bola negra es.. El espacio muestral de nuestro suceso es E {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}.. El espacio muestral de nuestro suceso es E {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, }. La probabilidad de obtener un número mayor que doce es: x ( > 9) (0) + () + () Solución: La probabilidad de obtener un número mayor que 9 es.. A,,, 4, 7 B, 4, 7 C, 4, 8, 9 E { } { } { } {,,, 4, 7, 8, 9} A B { } B A B { } a), 4, 7 b), 4, 7, 8, 9 c) A C A C ( ) { } d) A B C,,, 4, 7 A 4. A ( B) A ( ) + B ( ) A ( B) 0'+ 0'64 0' 0'64 0'748 Solución: A ( B) 0'748 (A) (B) porque A y B son independientes a) F ( F) 0' Solución: La probabilidad de elegir a dos alumnos que les guste el futbol es 0'59.

47 b) F ( B) + B ( F) + 0' Solución: La probabilidad de elegir a un alumno que le guste el futbol y oto el baloncesto es 0' c) F ( B T) 0' Solución: La probabilidad de elegir a un chico que no le guste ningún deporte es 0'9. 6. casos favorables x (Futbol) 0'7 x casos posibles 60 Solución: Existen alumnos que juegan al futbol. 7. C C a) ( C) ( C ) C C C 8 Solución: La probabilidad de que salgan tres caras es. 8 C X X C b) ( C) ( C ) ( C) C C C + C C X C ( C + X ) X X C 8 Solución: La probabilidad de que salgan dos caras es. 8 7 d) (al menos una C) ( C) ( X) Solución: La probabilidad de que salga al menos una cara es B B B B 0 0 a) ( ) ( ) 0'0045 B B B Solución: La probabilidad de que todas las bolas sean blancas es 0'0045.

48 A N 4 5 A A N A 4 0 b) ( ) ( ) 0'045 A A A Solución: La probabilidad de que las dos primeras bolas sean azules, y la tercera negra es 0'045. N N c) N ( ) N ( ) N + N N N N N ( ) N + N N N N N ( ) 567 0' N N N Solución: La probabilidad de que sacar una bola negra es 0' a) T ( N) T ( ) N ( ) T Solución: La probabilidad de que salga un toro y no sea negro es. 5 ( BN ) 5 0 b) V ( BN) V ( ) V Solución: La probabilidad de que salga una vaca blanca y negra es. 5 ( N ) c) T ( N) T ( ) T Solución: La probabilidad de que salga un toro negro es R N R ( R) + N ( N) R ( ) N ( ) R + N ' Solución: La probabilidad de sacar dos calcetines del mismo color es 0'49.

49 ÁGINA 68 SOLUCIONES ara resolver una inecuación racional, trasponemos términos de forma que consigamos 0 en uno de los miembros. 4x x < x+ 9 < x+ 9 + x + x > 0 ( ) ( ) > 0 4x 4x + x + x + x x+ 9 x+ 9 4x x + x (Reduciendo a común denominador) x + 9 x x () x + 9 Resolvemos la ecuación radical y nos salen dos soluciones: x 0, Solución doble. 45 x 8 45 Comprobamos cuál de estas soluciones verifican la ecuación (), y vemos que sólo es válida x Así, las posibles soluciones de nuestra desigualdad son los intervalos:, y, Sustituyendo descartamos todos los valore mayores que Los valores reales que hacen cierta la desigualdad son x,. 8