Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
|
|
- Valentín Crespo Cabrera
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de ntonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 2007 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en ndalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II sobre Probabilidad. Cada uno lleva un código como el siguiente: B-3, que significa ejercicio 3 de la opción B del modelo 4 de la convocatoria de Ejercicio ( ) Se tienen dos dados, uno () con dos caras rojas y cuatro verdes, y otro (B) con dos caras verdes y cuatro rojas. Se lanza una moneda; si sale cara se arroja el dado y si sale cruz el dado B. (a) [] Halle la probabilidad de obtener una cara de color rojo. (b) [] Si sabemos que ha salido una cara de color verde en el dado, cuál es la probabilidad de que en la moneda haya salido cara? Solución : (partado a) Llamemos y B a los sucesos, elegido un dado al azar, éste resulta ser el dado o el dado B, respectivamente (lo cual ocurre si, en la moneda, sale cara o cruz, en este orden). De la misma forma, llamemos R y V a los sucesos lanzado un dado ha azar, ha salido cara roja o verde, respectivamente. Como la moneda no está trucada, los dos dados tienen la misma probabilidad de ser elegidos: p () p (B) 2. En cada dado, hay un número concreto de caras rojas y caras verdes, lo que nos lleva al siguiente * Profesor del I.E.S. cci de Guadix (Granada) -
2 diagrama en árbol. 2 6 R V 4 6 R 2 B 2 6 V plicando el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de obtener una cara de color rojo es: p (R) p () p ( ) ( ) R R + p (B) p B (partado b) La probabilidad de que en la moneda haya salido cara (o lo que es lo mismo, se haya seleccionado el dado ) supuesto que en el dado se haya obtenido una cara de color verde es, aplicando la definición de probabilidad condicionada: ( ) ( ) cara p p p ( V ) p () p ( ) V V V p (V ) p (R) Ejercicio 2 En una población, el porcentaje de personas que ven un determinado programa de televisión es del 40 %. Se sabe que el 60 % de las personas que lo ven tiene estudios superiores y que el 30 % de las personas que no lo ven no tiene estudios superiores. (a) [0 75] Calcule la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga estudios superiores. (b) [ 25] Halle la probabilidad de que una persona que tiene estudios superiores vea el citado programa. Solución : (partado a) Llamemos V y E a los sucesos elegida una persona al azar de la población, ésta ve el programa de televisión o tiene estudios superiores, respectivamente. Los datos que nos da el enunciado son: p (V ) 0 4, p ( ) ( E E 0 C 6 y p V V C ) 0 3. ndalucía 2 ntonio Roldán
3 Con estos datos, completamos el siguiente diagrama en árbol. 0 6 E V E C E 7 V C 0 3 E C plicando el Teorema de la Probabilidad Compuesta (o la definición de probabilidad condicionada), la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga estudios superiores es: p(v E) p(v ) p ( ) E V (partado b) plicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que una persona que tiene estudios superiores vea el citado programa es: ( ) V p (V ) p ( ) E V p E p (V ) p ( ) E V + p (V C ) p ( ) E V C Ejercicio 3 ( , Junio) La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos: a) [] Si se extraen las cartas con reemplazamiento. b) [] Si se extraen las cartas sin reemplazamiento. Solución : Llamemos E i al suceso elegida la i ésima carta al azar, ésta resulta ser de espadas. Es claro que p (E ) 0/40 /4, porque hay 40 cartas y, de ellas, 0 son de espadas, y también sabemos que p ( E C ) p (E ) 3/4. El suceso en el que al menos una de las dos cartas es de espadas es el suceso unión E E 2, pues o bien la primera carta es de espadas, o bien lo es la segunda, o bien lo son las dos cartas extraídas. Tenemos que calcular la probabilidad de este suceso utilizando las propiedades que conocemos; por ejemplo, sabemos que este suceso es la unión disjunta de dos posibilidades: o bien la primera es de espadas (y ya da igual la segunda), ndalucía 3 ntonio Roldán
4 o bien la primera no es de espadas y la segunda sí lo es. De esta forma, tenemos: E E 2 p (E [ E 2 ) p (E ) + p (E 2 E ) p (E ) + p E C \ E 2 p (E ) + p E C E2 p : E C Las probabilidades p (E ) y p E C son conocidas, y la probabilidad condicionada p E2 E C es la que varía según si hay o no reemplazamiento. Si hay reemplazamiento, la probabilidad de que la segunda carta sea de espadas no depende de lo que haya pasado en la primera (los sucesos son independientes), y así p E 2 E C 4. Si no hay reemplazamiento y la primera carta no es de espadas, en la baraja quedan 39 cartas y 0 de ellas son de espadas, por lo que p E 2 E C 039. Por consiguiente, la probabilidad de que alguna de las dos cartas extraídas sea de espadas es: p (E [ E 2 ) p (E ) + p E C E2 p E C 8 >< ; si hay reemplazamiento, 4 >: ; si no hay reemplazamiento 39 8 >< >: 7 ; si hay reemplazamiento, 6 23 ; si no hay reemplazamiento > >; Nota Una forma, quizá más sencilla, de realizar el ejercicio anterior consiste en pasar al complementario: lo contrario de que alguna carta sea de espadas, (E [ E 2 ) C, aplicando las leyes ndalucía 4 ntonio Roldán
5 Selectividad de De Morgan, es que ninguna de las dos cartas sea de espadas, es decir, E C EC 2. Entonces: ( p (E E 2 ) p (E E 2 ) C) p ( E C E2 C ) ( ) ( p E C p E C 2 /E C ) 3 4 3, si hay reemplazamiento, , si no hay reemplazamiento 39 7, si hay reemplazamiento, 6 23, si no hay reemplazamiento. 52 Ejercicio 4 ( B-3, Junio) En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna y si sale cruz se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna. a) [] Calcule la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas. b) [] Halle la probabilidad de que no se haya extraído ninguna bola roja. Solución : (partado a) Llamemos c y a los sucesos que ocurren cuando al lanzar la moneda aleatoriamente, sale cara o sale cruz, respectivamente. Como suponemos que la moneda no está trucada, es claro que p (c) p ( ) /2. De la misma forma, llamemos R i y B i a los sucesos extraída la i ésima bola al azar de la urna, ésta ha resultado ser roja o blanca, respectivamente. La probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas es p (R R 2 ), pues tanto la primera como la segunda deben ser rojas. Tenemos entonces el siguiente esquema con las siguientes probabilidades: /3 R 2/3 B c /2 /2 /3 /5 R 2 R 4/5 B 2 2/3 2/5 R 2 B 3/5 B 2 ndalucía 5 ntonio Roldán
6 ntes de sacar alguna bola hay que tirar la moneda. Entonces el hecho de que salgan dos bolas rojas puede ocurrir, en principio, habiendo salido cara o habiendo salido cruz. Por tanto, tenemos la unión disjunta: R R 2 (c R R 2 ) ( R R 2 ). Sin embargo, el primer suceso es imposible ya que si sale cara, sólo se extrae una bola, y entonces la segunda no puede ser roja porque no hay una segunda bola (c R R 2 c R 2 ). Queda entonces solamente el segundo suceso, R R 2, en el que después de salir cruz, se extraen dos bolas que resultan ser rojas. De esta forma, aplicando el teorema de la probabilidad compuesta y teniendo en cuenta el anterior esquema en árbol: ( ) ( ) R R2 p (R R 2 ) p ( R R 2 ) p ( ) p p R Esto demuestra que la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas es: (partado b) Llamemos ahora al suceso ninguna de las bolas extraídas al azar es roja. Razonando de forma similar, este suceso puede ocurrir habiendo salido antes o bien cara o bien cruz, por lo que podemos descomponerlo como la unión disjunta: (c ) ( ), y esto nos lleva al teorema de la probabilidad total: p () p (c ) + p ( ) p (c) p ( ) ( ) + p ( ) p. c Si sale cara, sólo se extrae una bola; por tanto, el hecho de que ninguna bola extraída sea roja significa que la única que se ha sacado es blanca, y así: ( ) ( ) B p p 2 c c 3. Por otro lado, si ha salido cruz, se extraen dos bolas, y que ninguna sea roja significa que las dos bolas que se sacan son blancas. Entonces: ( ) ( ) B B 2 p p p ( B ) ( ) B2 p 2 B Recapitulando toda la información que tenemos: ( ) ( ) p () p (c) p + p ( ) p c De esta forma, la probabilidad de que ninguna bola extraída sea roja es 8/ ndalucía 6 ntonio Roldán
7 Ejercicio 5 ( , Septiembre) En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos y B se verifica: p ( B) 0, p ( C B C) 0 6, p (/B) 0 5. a) [0 75] Calcule p (B). b) [0 75] Calcule p ( B). c) [0 5] Son y B independientes? Solución : (partado a) Despejamos la probabilidad de B de la fórmula de la probabilidad condicionada: ( ) p B p ( B) p (B) p (B) p ( B) p (/B) p (B) 0 2. (partado a) La probabilidad de la unión de y B se puede calcular aplicando las leyes de De Morgan y la probabilidad del suceso contrario, pues: 0 6 p ( C B C) ( p ( B) C) p ( B) p ( B) 0 4. (partado c) Finalmente, calculamos la probabilidad del suceso con la fórmula de la probabilidad del suceso unión: p ( B) p () + p (B) p ( B) p () p ( B) + p ( B) p (B) Como p () 0 3 y p (/B) 0 5, los sucesos y B no son independientes, ya que los valores anteriores no coinciden. Ejercicio 6 ( B-3, Septiembre) Una urna contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar, una bola de una de las urnas. a) [] Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) [] Si la bola extraída resulta ser azul, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? ndalucía 7 ntonio Roldán
8 Solución : (partado a) Llamemos, R y N a los sucesos aleatorios extraída una bola al azar, ésta resulta sea azul, roja o negra, respectivamente, y llamemos U y U B a los sucesos elegida una urna al azar, ésta resulta ser la urna o la urna B, según sea el caso. Como no se indica lo contrario, la probabilidad de elegir una u otra urna es la misma, por lo que p (U ) p (U B ) 0 5. Dada la composición de las urnas, conocemos las probabilidades a priori: ( ) p 37, ( ) p RU 47, ( ) p UB 26 3, ( ) p RUB 3, ( ) p NUB 3, U que representamos en el siguiente diagrama en árbol: 3/7 U /2 4/7 R /2 /3 U B R /3 /3 Por consiguiente, aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea roja es: ( R p (R) p (U ) p U N ) ( ) R + p (U B ) p U B (partado b) De la misma forma, podemos calcular la probabilidad de que la bola extraída sea azul: ( ) ( ) p () p (U ) p + p (U B ) p U U B , y esta probabilidad nos sirve para aplicar el teorema de Bayes en el cálculo de la probabilidad de que, extraída una bola azul, ésta provenga de la urna B: ( ) ( ) UB p (U b ) p UB 2 p 3 p () Ejercicio 7 ( ) [2] En un espacio muestral se consideran dos sucesos y B tales que p ( B), y la del suceso B. p ( B) 6 y p (/B). Halle la probabilidad del suceso 3 ndalucía 8 ntonio Roldán
9 Solución : De la definición de probabilidad condicionada deducimos la probabilidad de B: ( ) 3 p B p ( B) p (B) 6 p (B) p (B) /6 /3 2. hora de la propiedad del suceso unión deducimos la probabilidad de : p ( B) p () + p (B) p ( B) p () p () Deducimos entonces que: p () 2 3 y p (B) 2. Ejercicio 8 ( B-3) Un experimento aleatorio consiste en lanzar simultáneamente dos dados con las caras numeradas del al 6. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: (a) [0 5] Obtener dos unos. (b) [0 5] Obtener al menos un dos. (c) [0 5] Obtener dos números distintos. (d) [0 5] Obtener una suma igual a cuatro. Solución : Consideremos el espacio muestral asociado al experimento que consiste en lanzar simultáneamente dos dados con las caras numeradas del al 6. Sabemos que éste se obtiene como el conjunto producto de los experimentos más simples que consisten en lanzar los dados independientemente. (, ), (, 2), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, ), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), E. (4, ), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) En el conjunto anterior, el caso (2, 3) significa que en el primer dado sale un 2 y en el segundo un 3. unque podamos pensar que los dados son indistinguibles, siempre podemos considerar que están pintados de dos colores distintos (por ejemplo, rojo y azul), y así es perfectamente razonable distinguir entre el resultado que se obtiene en un dado y el resultado del otro lado. ndalucía 9 ntonio Roldán
10 Como el conjunto anterior posee 36 casos y suponemos que los dados no están trucados, cada una de los anteriores sucesos elementales posee probabilidad /36 (según la regla de Laplace). (partado a) La probabilidad de obtener dos unos es: p ( obtener dos unos ) p (, ) 36. (partado b) La probabilidad de obtener al menos un dos es: p ( obtener al menos un dos ) p (, 2) + p (2, ) + p (2, 2) (partado c) Obtener dos números distintos es lo contrario de obtener dos números iguales, lo cual ocurre en 6 de los casos anteriores. Por tanto, la probabilidad de obtener dos números distintos es: p ( obtener dos números distintos ) p ( obtener dos números iguales ) (partado d) La probabilidad de obtener una suma igual a cuatro es: p ( obtener una suma igual a cuatro ) p (, 3) + p (2, 2) + p (3, ) Ejercicio 9 ( ) El 30 % de los clientes de una tienda de música solicita la colaboración de los dependientes y el 20 % realiza una compra antes de abandonar la tienda. El 5 % de los clientes piden la colaboración de los dependientes y hacen una compra. (a) [] Calcule la probabilidad de que un cliente ni compre, ni solicite la colaboración de los dependientes. (b) [] Sabiendo que un cliente ha realizado una compra, cuál es la probabilidad de que no haya solicitado colaboración a los dependientes? Solución : (partado a) Llamemos S y R a los sucesos elegido un cliente de la tienda al azar, éste Solicita la colaboración de los dependientes o Realiza una compra antes de abandonar la tienda. Los datos del problema nos dicen que: p (S) 0 3, p (R) 0 2 y p (S R) 0 5. ndalucía 0 ntonio Roldán
11 plicando las leyes de De Morgan, la probabilidad del suceso complementario y la probabilidad del suceso unión, deducimos que la probabilidad de que un cliente ni compre ni solicite la colaboración de los dependientes es: p ( S C R C) ( De Morgan p (S R) C) Complementario p (S R) Unión (p (S) + p (R) p (S R)) (partado b) Sabiendo que un cliente ha realizado una compra, la probabilidad de que no haya solicitado colaboración a los dependientes es: ( ) S C p p ( S C R ) p (R) p (S R) R p (R) p (R) Ejercicio 0 ( B-3) En un Instituto se pueden practicar dos deportes: fútbol y baloncesto. Se sabe que el 48 % de los alumnos practica fútbol pero no baloncesto, que el 5 % practica baloncesto pero no fútbol y que el 28 % no practica ninguno de los dos. Si se toma, al azar, un alumno de ese Instituto, calcule la probabilidad de que: (a) [0 75] Practique fútbol. (b) [0 5] Practique alguno de los dos deportes. (c) [0 75] No practique fútbol, sabiendo que practica baloncesto. Solución : Los porcentajes que nos indica el enunciado quedan resumidos en la siguiente tabla de contingencia: Baloncesto No baloncesto TOTL Fútbol 48 % No fútbol 5 % 28 % TOTL 00 % Completamos fácilmente esta tabla de contingencia: Baloncesto No baloncesto TOTL Fútbol 9 % 48 % 57 % No fútbol 5 % 28 % 43 % TOTL 24 % 76 % 00 % ndalucía ntonio Roldán
12 (partado a) La probabilidad de que practique fútbol es: %. (partado b) Observamos que solamente 28 de cada 00 alumnos no practican ni fútbol ni baloncesto, por lo que la probabilidad de que practique alguno de los deportes es: %. (partado c) De cada 00 alumnos, 24 practican baloncesto. Entre éstos, sólo 5 de ellos no juegan al fútbol. sí, la probabilidad de que un alumno que juega al baloncesto no juegue al fútbol es: %. Ejercicio ( ) Se lanza una moneda tres veces y se consideran los sucesos: : Obtener al menos dos veces cara y B: Obtener cara en el segundo lanzamiento. (a) [] Describa el espacio muestral asociado al experimento. Calcule p () y p ( B). (b) [] Los sucesos y B, son independientes?, son incompatibles? Solución : El experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces puede interpretarse como un experimento compuesto de tres experimentos sencillos, que consisten en lanzar una sola moneda. Lanzar una sola moneda sólo puede producir dos resultados: cara y cruz, que denotamos por c y, respectivamente. sí, el espacio muestral del lanzamiento de una sola moneda es E {c, }. Como el resultado de un lanzamiento no influye en el resultado previo o en el posterior, los tres experimentos simples son independientes. Por tanto, el principio de multiplicación nos dice que el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces es el producto: E E E E {c, } {c, } {c, } { (c, c, c), (c, c, ), (c,, c), (c,, ), (, c, c), (, c, ), (,, c), (,, ) }. El suceso elemental (c,, c) significa que en el primer lanzamiento ha salido cara, en el segundo, cruz, y en el tercero, cara. Como las monedas no están trucadas, estos casos son equiprobables, por lo que todos poseen probabilidad /8. ndalucía 2 ntonio Roldán
13 Los sucesos y B están formados por los casos: { } obtener al menos dos veces cara (c, c, c), (c, c, ), (c,, c), (, c, c) ; { B obtener cara en el segundo lanzamiento (c, c, c), (c, c, ), (, c, c), (, c, ) }. Por tanto, p () p (B) 4/8 /2. Igualmente, { B (c, c, c), (c, c, ), (c,, c), (, c, c), (, c, c), (, c, ) }, por lo que p ( B) 6/8 3/4. p () 2 y p ( B) 3 4. (partado b) Como { B (c, c, c), (c, c, ) }, los sucesos y B no son incompatibles. demás, p ( B) 2/8 /4, y p () p (B) (/2) 2 /4. De esta forma, p ( B) p () p (B), lo que significa que los sucesos y B son independientes. y B son independientes, pero no son incompatibles. Ejercicio 2 ( B-3) En un tribunal se han examinado 40 alumnos de un Instituto y 50 de otro Instituto B. probaron el 80 % de los alumnos del y el 72 % del B. (a) [] Determine el tanto por ciento de alumnos aprobados por ese tribunal. (b) [] Un alumno, elegido al azar, no ha aprobado. Cuál es la probabilidad de que pertenezca al Instituto B? Solución : Como hay 40 alumnos de y 50 alumnos de B, en total hay 290 alumnos. El 80 % de los alumnos de han aprobado, lo que significa que, en total, han aprobado: 80 % de alumnos de, e igualmente, han aprobado: 72 % de alumnos de B. ndalucía 3 ntonio Roldán
14 Con estos datos, construimos la siguiente tabla de contingencia con el número de alumnos de cada clase. probados Suspensos TOTL Instituto 2 40 Instituto B TOTL Completamos esta tabla de manera muy sencilla. probados Suspensos TOTL Instituto Instituto B TOTL (partado a) En total hay 220 alumnos porcentaje de alumnos aprobados es: aprobados de un total de 290, por lo que el %. (partado b) Globalmente, hay 70 alumnos que no han aprobado, de los cuales 42 proceden del instituto B. Por tanto, si un alumno está suspenso, la probabilidad de que provenga de B es: ndalucía 4 ntonio Roldán
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD
POBLEMAS ESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: POBABILIDAD Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B eserva 1, Ejercicio 3, Opción A
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 7 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 2008 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Más detallesINTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD.
INTRODUCCIÓN A LA ROBABILIDAD. Departamento de Matemáticas Se denomina experimento aleatorio a aquel en que jamás se puede predecir el resultado. El conjunto formado por todos los resultados posibles de
Más detalles13Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 280
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 0 Pág. P RACTICA Muy probable, poco probable Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo (R), verde (V) y azul (A), y una
Más detallesProbabilidad. Relación de problemas 5
Relación de problemas 5 Probabilidad 1. Una asociación consta de 14 miembros, de los cuales 6 son varones y 8 son mujeres. Se desea seleccionar un comité de tres hombres y tres mujeres. Determinar de cuántas
Más detallesProblemas Resueltos del Tema 1
Tema 1. Probabilidad. 1 Problemas Resueltos del Tema 1 1- Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.. El espacio muestral
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD Junio, Ejercicio 3, Parte I, Opción A Junio, Ejercicio 3, Parte I, Opción B Reserva 1,
Más detallesOBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
008 _ 0-048.qxd 9/7/08 9:07 Página 405 4 Probabilidad INTRODUCCIÓN En la vida cotidiana tienen lugar acontecimientos cuya realización es incierta y en los que el grado de incertidumbre es mayor o menor
Más detallesUnidad 14 Probabilidad
Unidad 4 robabilidad ÁGINA 50 SOLUCIONES Calcular variaciones.! 5! 4 a) V, 6 b) 5, 60 c),4 6 ( )! V (5 )! VR Calcular permutaciones. a)! 6 b) 5 5! 0 c) 0 0! 68 800! 9 96 800 palabras diferentes. Números
Más detallesEjercicios y problemas resueltos de probabilidad condicionada
Ejercicios y problemas resueltos de probabilidad condicionada 1.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(a) = 1/2, p(b) = 1/3, p(a B)= 1/4. Determinar: 1 2 3 4 5 2.- Sean A y B dos sucesos aleatorios
Más detallesPROBLEMAS SOBRE CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
ANDALUCIA: º) (Andalucía, junio, 98) Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una consulta médica, sortean, al azar, el orden en que van a entrar. a) Calcule la probabilidad de que los dos últimos
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES GUÍA 2: PROBABILIDADES Profesor: Hugo S. Salinas Segundo Semestre 2010 1. Describir el espacio muestral
Más detallesTema 11 Probabilidad Matemáticas B 4º ESO 1
Tema 11 Probabilidad Matemáticas B 4º ESO 1 TEMA 11 PROBABILIDAD SUCESOS EJERCICIO 1 : En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una bola al azar y anotamos su número. a Escribe el espacio
Más detallesPROBABILIDAD. 2. Un dado está cargado de forma que la probabilidad de obtener 6 puntos es 1 2
PROBABILIDAD 1. Blanca y Alfredo escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos. Determine el espacio muestral asociado al experimento. Calcule la probabilidad de que no escriban la misma vocal.
Más detallesEJERCICIOS DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. Se extrae una carta de una baraja española, calcula la probabilidad de que: a) Sea un rey; b) Sea un oro; c) Sea el rey de oros; d) Sea un rey o un oros; e) Sea un rey o una
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción
Más detallesTEMA 14 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Tema 14 Cálculo de probabilidades Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 14 CÁLCULO DE PROBABILIDADES ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS EJERCICIO 1 : En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una
Más detalles14Soluciones a los ejercicios y problemas
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 8 Pág. P RACTICA Relaciones entre sucesos En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el gordo. a) Cuál es el espacio muestral? b)escribe los
Más detalles6. Calcula la probabilidad de obtener un número mayor que 2 al lanzar un dado cúbico correcto con sus caras numeradas de 1 a 6.
1. Tenemos una urna con 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. Si sacamos 3 bolas de la urna, sin devolución, entonces: a) Hallar el espacio muestral de este experimento b) Formar los sucesos (sacar los resultados)
Más detallesMOOC UJI: La Probabilidad en las PAU
3. Definición intuitiva de probabilidad: ley de Laplace La palabra probabilidad, que usamos habitualmente, mide el grado de creencia que tenemos de que ocurra un hecho que puede pasar o no pasar. Imposible,
Más detallesEJ:LANZAMIENTO DE UNA MONEDA AL AIRE : S { } { } ESPACIO MUESTRAL:CONJUNTO DE TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.
GUIA DE EJERCICIOS. TEMA: ESPACIO MUESTRAL-PROBABILIDADES-LEY DE LOS GRANDES NUMEROS. MONTOYA.- CONCEPTOS PREVIOS. EQUIPROBABILIDAD: CUANDO DOS O MAS EVENTOS TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD DE OCURRIR. SUCESO
Más detallesMatemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Probabilidad
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Índice 1. Experimentos aleatorios 2 1.1. Espacio muestral...................................... 2 1.2. Los sucesos.........................................
Más detallesProbabilidad Colección C.2. MasMates.com Colecciones de ejercicios
1. En un examen teórico para la obtención del permiso de conducir hay 14 preguntas sobre normas, 12 sobre señales y 8 sobre educación vial. Si se eligen dos preguntas al azar. a) Cuál es la probabilidad
Más detallesTema 11 Cálculo de probabilidades - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 11.0.1. - EXPERIENCIAS ALEATORIAS, CASOS, ESPACIO MUESTRAL, SUCESOS
Tema 11 Cálculo de probabilidades - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 11 CÁLCULO DE PROBABILIDADES 11.0 INTRODUCCIÓN 11.0.1. - EXPERIENCIAS ALEATORIAS, CASOS, ESPACIO MUESTRAL, SUCESOS Un suceso aleatorio
Más detallesLa área en A o B es igual a la suma de las dos áreas. Entonces, interpretando probabilidad como área, concluimos que P (A o B) =P (A)+P (B).
La probabilidad P (A o B) Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos el siguiente diagrama de Venn. Ω A B La área en A o B es igual a la suma de las dos áreas. Entonces, interpretando probabilidad como
Más detallesEJERCICIOS DE PROBABILIDAD (1ºA)
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD (1ºA) 5) 6) Una bolsa contiene bolas negras y rojas. Se extraen sucesivamente tres bolas. Obtener: a) El espacio muestral. b) El suceso A = extraer tres bolas del mismo color.
Más detallesMª Cruz González Página 1
SELECTIVIDAD Probabilidad. Junio 00 (Opc. Se tiene tres cajas iguales. La primera contiene bolas blancas y 4 negras; la segunda contiene 5 bolas negras y, la tercera, 4 blancas y negras. a) Si se elige
Más detallesDiana del Pilar Cobos del Angel. Experimento: Es una prueba o ensayo. Es el proceso de obtener una observación.
Diana del Pilar Cobos del Angel Términos básicos Experimento: Es una prueba o ensayo. Es el proceso de obtener una observación. Eventos Simples: Cualquier resultado básico de un experimento. Un evento
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A
OPCIÓN A (3 puntos) Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tinta negra y dos de color. Si sólo
Más detallesSoluciones a las actividades de cada epígrafe
0 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Pág. PÁGIA 08 En este juego hay que conseguir que no queden emparejadas dos bolas del mismo color. Por ejemplo: GAA PIERDE GAA PIERDE PIERDE uál es la probabilidad
Más detallesProbabilidad condicionada
Probabilidad condicionada Ejercicio nº 1.- Si A y B son dos sucesos tales que: P[A] 0,4 P[B / A] 0,25 P[B'] 0,75 a Son A y B independientes? b Calcula P[A B] y P[A B]. Ejercicio nº 2.- Sabiendo que: P[A]
Más detallesLección 22: Probabilidad (definición clásica)
LECCIÓN 22 Lección 22: Probabilidad (definición clásica) Empezaremos esta lección haciendo un breve resumen de la lección 2 del libro de primer grado. Los fenómenos determinísticos son aquellos en los
Más detallesColegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 15 Y 16
Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero Matemáticas 4º E.S.O. ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 15 Y 16 1. De una urna con 7 bolas blancas y 14 negras extraemos una. Cuál es la probabilidad de
Más detallesPROBABILIDAD. Pruebas de Acceso a la Universidad. Bachillerato de Ciencias Sociales. Departamento de Matemáticas del IES Andalán.
Pruebas de Acceso a la Universidad. Bachillerato de Ciencias Sociales. Departamento de Matemáticas del IES Andalán. PROBABILIDAD Junio 1994. El año pasado el 60% de los veraneantes de una cierta localidad
Más detallesCÁLCULO DE PROBABILIDADES
8 Unidad didáctica 8. Cálculo de probabilidades CÁLCULO DE PROBABILIDADES CONTENIDOS Experimentos aleatorios Espacio muestral. Sucesos Sucesos compatibles e incompatibles Sucesos contrarios Operaciones
Más detallesSUCESOS. PROBABILIDAD. BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS SUCESOS
1 SUCESOS Experimento aleatorio. Es aquel que al repetirlo en análogas condiciones, da resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. Ejemplos: - Lanzar una moneda
Más detallesLa ruleta Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profr. (a):
La ruleta Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: MI Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes
Más detallesSelectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009. Opción A
SEPTIEMBRE 2009 Opción A 1.- Como cada año, el inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES,
Más detallesIntroducción a la Teoría de Probabilidad
Capítulo 1 Introducción a la Teoría de Probabilidad Para la mayoría de la gente, probabilidad es un término vago utilizado en el lenguaje cotidiano para indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento
Más detalles(1) Medir el azar. ESTALMAT-Andalucía Actividades 06/07. a) Cuenta los casos en que la suma de salga múltiplo de tres y calcula la probabilidad.
(1) Medir el azar Se lanzan dos dados y sumamos los puntos de las caras superiores a) Cuenta los casos en que la suma de salga múltiplo de tres y calcula la probabilidad. Una bolsa contiene 4 bolas rojas,
Más detallesTEMA 2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
TEM 2. CÁLCULO DE PROILIDDES 2.1. Introducción 2.2. Conceptos básicos 2.2.1. Espacio muestral. Sucesos 2.2.2. Operaciones con sucesos 2.3. Concepto de Probabilidad. Propiedades 2.3.1. Definición clásica
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3
EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3 Observación: En todos los ejercicios se ha puesto A, como notación de contrario de A. Ejercicio nº 1.- En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Más detallesPEOBLEMAS RESUELTO DE CADENAS DE MARKOV
PROBLEMAS RESUELTOS DE CADENAS DE MARKOV TEMA: CADENAS DE MARKOV Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés I. El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un
Más detallesTema 3. Concepto de Probabilidad
Tema 3. Concepto de Probabilidad Presentación y Objetivos. El Cálculo de Probabilidades estudia el concepto de probabilidad como medida de incertidumbre. En situaciones donde se pueden obtener varios resultados
Más detallesPÁGINA 261 PARA EMPEZAR
13 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 261 Pág. 1 PARA EMPEZAR Un desafío interrumpido Uno de los problemas que el caballero de Meré le propuso a Pascal es el siguiente: Dos contendientes,
Más detallesDefinición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral.
Capítulo 2 Probabilidades 2. Definición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida
Más detallesI.E.S. CUADERNO Nº 12 NOMBRE: FECHA: / / Probabilidad
Probabilidad Contenidos 1. Experimentos aleatorios Espacio muestral y sucesos Operaciones con sucesos Sucesos incompatibles 2. Probabilidad de un suceso La regla de Laplace Frecuencia y probabilidad Propiedades
Más detallesa) No curse la opción Científico-Tecnológica. b) Si es chico, curse la opción de Humanidades y C. Sociales
1 PROBABILIDAD 1.(97).- Para realizar un control de calidad de un producto se examinan tres unidades del producto, extraídas al azar (y sin reemplazamiento) de un lote de 100 unidades. Las unidades pueden
Más detallesActividad A ganar, a ganar!
Nivel: 2.º Medio Subsector: Matemática Unidad temática: Estadística y probabilidad Ficha 13: Actividad A ganar, a ganar! Cada vez que en un juego de azar se acumula el pozo de dinero para repartir, miles
Más detallesEVALUACIÓN 11 B) 150 1 C) 2 D) 15 E) 30
EVALUACIÓN 1. Si la probabilidad que llueva en San Pedro en verano es 1/30 y la probabilidad que caigan 100 cc es 1/40, cuál es la probabilidad que no llueva en San Pedro y que no caigan 100 cc? A) 1/1200
Más detallesManejo de la Información
Los juegos de azar Manejo de la Información Que las y los estudiantes deduzcan y argumenten que la probabilidad de que un evento suceda está relacionada con la frecuencia en que ocurre el resultado esperado
Más detallesPROBABILIDAD. 2.1. Experimentos aleatorios. 2.2. Definiciones básicas
Capítulo 2 PROBABILIDAD La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias,
Más detallesClase 4: Probabilidades de un evento
Clase 4: Probabilidades de un evento Definiciones A continuación vamos a considerar sólo aquellos experimentos para los que el EM contiene un número finito de elementos. La probabilidad de la ocurrencia
Más detallesExperimentos aleatorios. Espacio muestral
Experimentos aleatorios. Espacio muestral Def.- Un fenómeno o experimento decimos que es determinista si podemos conocer su resultado antes de ser realizado. Si dejamos caer un objeto desde cierta altura
Más detallesPROBABILIDAD. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.
PROBABILIDAD Ejercicio nº 1.- De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a Cuál es el espacio muestral? A "Mayor que 6" B "No obtener 6" C "Menor que 6" c Halla los
Más detallesCPE (SEGUNDO CURSO) = P [T 1 ]P [T 2 ]... P [T 525,600 ] = (1 10 8 ) 525,600 = 0.9948
1/10 CPE (SEGUNDO CURSO PRÁCICA 1 SOLUCIONES (Curso 2015 2016 1. Suponiendo que los sucesos terremotos y huracanes son independientes y que en un determinado lugar la probabilidad de un terremoto durante
Más detallesProbabilidad Colección B.1. MasMates.com Colecciones de ejercicios
1. Tenemos un dado (con sus seis caras numeradas del 1 al 6), trucado en el que es dos veces mas probable que salga un número par que un número impar. a) Calcula la probabilidad de salir par y la de salir
Más detallesTema 5. Variables aleatorias discretas
Tema 5. Variables aleatorias discretas Resumen del tema 5.1. Definición de variable aleatoria discreta 5.1.1. Variables aleatorias Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada suceso
Más detallesTEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
TEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXPERIMENTOS: EJEMPLOS Deterministas Calentar agua a 100ºC vapor Soltar objeto cae Aleatorios Lanzar un dado puntos Resultado fútbol quiniela
Más detallesRelación de problemas: Variables aleatorias
Estadística y modelización. Ingeniero Técnico en Diseño Industrial. Relación de problemas: Variables aleatorias 1. Se lanza tres veces una moneda y se observa el número de caras. (a) Calcula la distribución
Más detallesProbabilidad. La probabilidad de un suceso es un nombre que pertenece al intervalo [0, 1]
Probabilidad Un fenómeno es aleatorio si conocemos todos sus posibles resultados pero no podemos predecir cual de ellos ocurrirá. Cada uno de estos posibles resultados es un suceso elemental del fenómeno
Más detallesSistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
MA2006 El concepto de la probabilidad condicional Imagine la probabilidad de que un hombre presente cáncer pulmonar antes de los 70 años. Imagine la probabilidad de que tal hombre presente cáncer pulmonar
Más detallesCAPÍTULO 5. Probabilidad. 5.1 Álgebra de sucesos. 1. Experimento lanzar un dado y anotar la cara que sale:
CAPÍTULO 5 Probabilidad 5.1 Álgebra de sucesos 5.1.1 Fenómenos determinísticos y aleatorios En la naturaleza se producen dos tipos de fenómenos: Determinísticos: Son los fenómenos que siempre que se efectúen
Más detalles16 SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD
EJERCICIOS PROPUESTOS 16.1 Indica si estos experimentos son aleatorios y, en caso afirmativo, forma el espacio muestral. a) Se extrae, sin mirar, una carta de una baraja española. b) Se lanza un dado tetraédrico
Más detallesTema 7: Estadística y probabilidad
Tema 7: Estadística y probabilidad En este tema revisaremos: 1. Representación de datos e interpretación de gráficas. 2. Estadística descriptiva. 3. Probabilidad elemental. Representaciones de datos Cuatro
Más detallesPropuesta didáctica: Juego de azar
Propuesta didáctica: Juego de azar Clase: 5º año Contenido programático: Experimento aleatorio. Sucesos: probable, seguro, imposible. Autor: Ernst Klett Verlag - Adaptado por la maestra Esther Moleri Tiempo
Más detallesSoluciones de los ejercicios de la primera Unidad. Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo
Soluciones de los ejercicios de la primera Unidad Dr. Víctor Hernández Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo 5 de marzo de 0 Índice general Ejercicio.. Manejo del formalismo de los sucesos.............
Más detallesAZAR, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EXPERIENCIAS DE AZAR
AZAR, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EXPERIENCIAS DE AZAR Hay situaciones en la vida diaria en las que no podemos saber qué resultado va a salir, pero sí sabemos los posibles resultados; son situaciones que
Más detallesT.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE
T.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE 1. CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIA CONVERGENCIA CASI-SEGURA CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA CONVERGENCIA EN LEY ( O DISTRIBUCIÓN)
Más detalles2. Probabilidad. Estadística. Curso 2009-2010. Ingeniería Informática. Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24
2. Probabilidad Estadística Ingeniería Informática Curso 2009-2010 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24 Contenidos 1 Experimentos aleatorios 2 Algebra de sucesos 3 Espacios
Más detallesUn juego de cartas: Las siete y media
Un juego de cartas: Las siete y media Paula Lagares Federico Perea Justo Puerto * MaMaEuSch ** Management Mathematics for European Schools 94342 - CP - 1-2001 - DE - COMENIUS - C21 * Universidad de Sevilla
Más detallesLAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN
LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN Existen leyes del azar? Nuestro sentido común pareciera decirnos que el azar y las leyes son conceptos contradictorios. Si algo sucede al azar, es porque no hay leyes
Más detalles1. Simule estas situaciones y concluya: a) Se tira una moneda equilibrada 10 veces y se observa qué proporción de veces salió cara en
1. Simule estas situaciones y concluya: a) Se tira una moneda equilibrada 10 veces y se observa qué proporción de veces salió cara en las sucesivas tiradas, se repite el experimento en condiciones similares
Más detalles10. [2012] [EXT-B] Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60% de los artículos y el resto los produce la
1. [2014] [EXT-A] Se piensa que un estudiante de bachillerato que estudie normal, sobre 10 horas semanales aparte de las clases, tiene una probabilidad de 0.9 de aprobar una asignatura. Suponiendo que
Más detallesno descompone no descompone no descompone
Problema 1. Sea I n el conjunto de los n primeros números naturales impares. Por ejemplo: I 3 = {1, 3, 5, I 6 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, etc. Para qué números n el conjunto I n se puede descomponer en dos partes
Más detallesSelectividad Septiembre 2013 OPCIÓN B
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León ATEÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detallesLABORATORIO Nº 2 GUÍA PARA REALIZAR FORMULAS EN EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar formulas en Microsoft Excel 2010. 1) DEFINICIÓN Una fórmula de Excel es un código especial que introducimos
Más detallesPROBABILIDAD. Ejercicio nº 1.- Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias cuáles son aleatorias?
PROBABILIDAD Ejercicio nº 1.- a Al lanzar un dado sacar puntuación par. b Lanzar un dado y sacar una puntuación mayor que 6. c Bajar a la planta baja en ascensor. Ejercicio nº 2 a En una caja hay cinco
Más detallesBloque 5. Probabilidad y Estadística Tema 1. Probabilidad Ejercicios resueltos
loque 5. Probabilidad y Estadística Tema 1. Probabilidad Ejercicios resueltos 5.1-1 Se lanzan al aire tres monedas iguales, describe todos los sucesos del esacio muestral. Sean los sucesos A = sacar al
Más detallesMatemáticas, juego,...fortuna: Jugamos?
Matemáticas, juego,...fortuna: Jugamos? Blaise Pascal y Pierre de Fermat en Wikimedia Commons Una de las ramas de la matemática más novedosas es la teoría de probabilidades, que estudia las probabilidades
Más detallesTema 3 Probabilidades
Probabilidades 1 Introducción Tal vez estemos acostumbrados con algunas ideas de probabilidad, ya que esta forma parte de la cultura cotidiana. Con frecuencia escuchamos a personas que hacen afirmaciones
Más detallesDescomposición factorial de polinomios
Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de
Más detalles2 3 independientes? y mutuamente excluyentes? Halla )
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD para hacer en casa IES Jovellanos 1º BI-NS Probabilidad 1. a) Demuestre mediante un diagrama de Venn que ( A B) \ ( A C) = A ( B \ C) b) Demuestre con propiedades Booleanas que
Más detallesEjercicios de combinatoria resueltos. Matemática Discreta. 4º Ingeniería Informática
1. Un número telefónico consta de siete cifras enteras. Supongamos que la primera cifra debe ser un número entre 2 y 9, ambos inclusive. La segunda y la tercera cifra deben ser números entre 1 y 9, ambos
Más detallesSelectividad Junio 2008 JUNIO 2008 PRUEBA A
Selectividad Junio 008 JUNIO 008 PRUEBA A 3 a x + a y =.- Sea el sistema: x + a y = 0 a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del parámetro a. b) Resuélvelo
Más detallesPROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático
PROYECTO DE L REL CDEMI DE CIENCIS Estímulo del talento matemático Prueba de selección 11 de junio de 2013 Nombre:... pellidos:... Fecha de nacimiento:... Teléfonos:... Centro de Estudios: e-mail: Información
Más detalles_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas
Más detallesPROBABILIDAD CONDICIONADA
1 PROBABILIDAD CONDICIONADA La mayoría de estos problemas han sido propuestos en exámenes de selectividad de los distintos distritos universitarios españoles. 1. En un grupo de amigos el 80 % están casados.
Más detallesAyudantía 4 Probabilidades ILI-280 Estadística Computacional. Profesor: Rodrigo Salas Ayudantes: Juan Pablo Cares Pino Fernando Herrera Barría
Ayudantía 4 Probabilidades ILI-280 Estadística Computacional Profesor: Rodrigo Salas Ayudantes: Juan Pablo Cares Pino Fernando Herrera Barría Valparaíso, 25 de septiembre de 2009 1. Se compran 3 billetes
Más detallesUniversidad Simón Bolívar CO3121. Probabilidades para Ingenieros. Enero-Marzo 2010 Problemario I
Universidad Simón Bolívar CO3121. Probabilidades para Ingenieros. Enero-Marzo 2010 Problemario I 1. Supongamos que Ω = A B y P (A B) = 0.2. Hallar: (a) El máximo valor posible para P (B), de tal manera
Más detallesDivisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
Más detallesPROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE PROBABILIDAD
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE PROBABILIDAD 1. Una empresa de telefonía móvil ofrece 3 tipos diferentes de tarifas, A, B y C, cifrándose en un 45%, 30% y 25% el porcentaje de clientes abonados a cada
Más detallesIES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. Probabilidad 2008
Probabilidad 2008 EJERCICIO A Laura tiene en su monedero 6 monedas francesas, 2 italianas y 4 españolas. Vicente tiene 9 francesas y 3 italianas. Cada uno saca, al azar, una moneda de su monedero y observa
Más detallesUna breve introducción a Excel c
Una breve introducción a Excel c Martes 22 de febrero de 2005 Curso de Formación continua en Matemáticas UAM Curso 2004/2005 1. Introducción Excel c es una aplicación de hojas de cálculo electrónicas:
Más detallesPROBABILIDAD Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales
PROBABILIDAD Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales Francisco Álvarez González francisco.alvarez@uca.es REPASO DE COMBINATORIA VARIACIONES ORDINARIAS Características : No se pueden
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos
Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos
Más detalles