Bloque 5. Probabilidad y Estadística Tema 1. Probabilidad Ejercicios resueltos

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1 loque 5. Probabilidad y Estadística Tema 1. Probabilidad Ejercicios resueltos Se lanzan al aire tres monedas iguales, describe todos los sucesos del esacio muestral. Sean los sucesos A = sacar al menos una cara, = sacar al menos una cruz, describe los sucesos: A, A, A, A,A, A Si denotamos or C salir cara y or X salir cruz, el esacio muestral sería E = {CCC, CCX, CXX, XXX } y todos sus sucesos serían: Ø, {CCC}, {CCX}, {CXX}, {XXX}, {CCC, CCX}, {CCC, CXX}, {CCC, XXX}, {CCX, CXX}, {CCX, XXX}, {CXX, XXX}, {CCC, CCX, CXX}, {CCC, CCX, XXX}, { CCC, CXX, XXX}, {CCX, CXX, XXX}, {CCC, CCX, CXX, XXX} A = sacar al menos una cara = { CCC, CCX, CXX} = sacar al menos una cruz = { CCX, CXX, XXX } A = no sacar al menos una cara = { XXX } A = sacar al menos una cara o al menos una cruz A = { CCC, CCX, CXX, XXX } = E Es decir, seguro que sale al menos una cara o al menos una cruz. A = sacar al menos una cara y al menos una cruz A = { CCX, CXX } A A A A A A = no sacar al menos una cara y al menos una cruz = { CCC, XXX } = no sacar al menos una cara y no sacar al menos una cruz = { XXX } { CCC } = Ø = no sacar al menos una cara o no sacar al menos una cruz = { XXX } { CCC } = { CCC, XXX } Se comrueba como A =A Ejercicios resueltos 1

2 5.1-2 Una bolsa contiene 2 bolas negras, 3 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas verdes. Se extrae una bola de la bolsa, describe el esacio muestral y calcula la robabilidad de: a) La bola es de color rojo. b) La bola no es negra. c) La bola es blanca o verde. El exerimento aleatorio es extraer una bola de una bolsa y observar su color, su esacio muestral es: E = {bola negra, bola blanca, bola roja, bola verde} a) Sea el suceso R = la bola es roja. Como los sucesos son equirobables, odemos alicar la regla de Lalace. Recordamos que hay 4 bolas rojas de un total de 14. casos favorables 4 2 ( R ) = = = casos osibles 14 7 b) Sea el suceso N = la bola es negra. Entonces el suceso contrario es: N = la bola no es negra casos favorables a N ( N) = 1 ( N) = 1 = 1 = 1 = casos osibles c) Sean los sucesos = la bola es blanca, V = la bola es verde, V= o V = la bola es blanca o verde. ( o ) ( ) ( ) ( ) V = V = + P V = casos favorables a casos favorables a V = + = casos osibles casos osibles = + = = Ejercicios resueltos 2

3 5.1-3 De una baraja esañola de cuarenta cartas, se extrae una y se consideran los siguientes sucesos: O = La carta es de oros, F = la carta es una figura. Calcular la robabilidad de O, F, O F, O F. Recordamos que en la baraja esañola de 40 cartas hay 10 cartas de cada alo (oros, coas, esadas y bastos) y 12 figuras (3 de cada alo). casos favorables 10 1 ( O) = = = casos osibles 40 4 casos favorables 12 3 ( F= ) = = casos osibles casos favorables 3 ( O F) = ( oros y figura) = = casos osibles 40 ( O F ) ( O ) + ( F ) ( O F ) = = = + = + = El 30% de los estudiantes de un Instituto ractica el fútbol, el 40% ractica el baloncesto y el 10% ractica ambos deortes. Se elige un estudiante al azar. Calcula: a) La robabilidad de que no juegue al fútbol ni al baloncesto. b) Si juega al fútbol, cuál es la robabilidad de que juegue al baloncesto? c) Son indeendientes jugar al fútbol y al baloncesto? Para ayudar a resolver el roblema comletamos la siguiente tabla: Fútbol No fútbol aloncesto No baloncesto Ejercicios resueltos 3

4 Fútbol No fútbol aloncesto No baloncesto Nf Nb = = 0, a) ( ) b) ( F) ( ) ( ) F 10 1 = = = F 30 3 c) Comrobamos si se cumle que ( F ) = ( F) ( ) ( F ) = 0,1 ( F) ( ) = 0,3 0, 4 = 0,12 Luego no son indeendientes Se lanzan al aire tres monedas iguales. Calcula la robabilidad de que salgan dos caras y una cruz. Si el esacio muestral del exerimento es E = {CCC, CCX, CXX, XXX }, los sucesos elementales no son equirobables, ya que, or ejemlo, CCC sólo se uede obtener de una forma, mientras que CXX se uede obtener de varias (CXX, XCX, XXC). No odemos alicar la regla de Lalace. Para calcular la robabilidad, nos ayudamos de un diagrama en árbol. CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX Ejercicios resueltos 4

5 Por lo que ( 2 caras y 1 cruz) = Un roducto está comuesto de cuatro iezas. La robabilidad de que la rimera sea defectuosa es de 2 de cada 1.000, que la segunda sea defectuosa de 4, que la tercera sea defectuosa 7 y que la cuarta sea defectuosa 1. Calcular la robabilidad de que el roducto tenga alguna ieza defectuosa. Si intentamos calcular directamente la robabilidad que se ide, tendríamos que calcular la robabilidad de que una ieza sea defectuosa, dos iezas sean defectuosas, Por lo que resulta claramente mejor calcular la robabilidad del suceso contrario. Sea: D1 = rimera ieza defectuosa D2 = segunda ieza defectuosa D3 = tercera ieza defectuosa D4 = cuarta ieza defectuosa ( D1) = 1 ( D1) = 1 0, 002 = 0,998 ( D2) = 1 ( D2) = 1 0, 004 = 0,996 ( D3) = 1 ( D3) = 1 0, 007 = 0,993 ( D4) = 1 ( D4) = 1 0, 001 = 0,999 Por lo que: ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego: D D1 D2 D3 D4 = D1 D2 D3 D4 = = 0,998 0,996 0,993 0,999 = 0,986 ( ) ( ) D = 1 D = 1 0,986 = 0, 014 Ejercicios resueltos 5

6 5.1-7 Las robabilidades de arobar Lengua son del 80%, las de arobar Matemáticas del 75% y las de arobar Inglés del 70%. Calcula: a) La robabilidad de arobar las tres asignaturas. b) La robabilidad de susender sólo una. c) Si se ha susendido sólo una, la robabilidad de que haya sido Matemáticas. Sean los sucesos: L = Arobar Lengua M= Arobar Matemáticas I = Arobar Inglés S1 = Susender sólo una a) ( ) ( ) ( ) ( ) L M I = L M I = 0,8 0,75 0,7 = 0, 42 b) ( 1) = ( L M I) + ( L M I) + ( L M I) = ( L) ( M) ( I) ( L) ( M) ( I) ( L) ( M) ( I) S = + + = = 0, 2 0,75 0,7 + 0,8 0, 25 0,7 + 0,8 0,75 0,3 = = 0, ,14 + 0,18 = 0, 425 c) ( S ) ( ) ( ) ( ) M S1 L M I 0,8 0, 25 0,7 M / 1 = = = = 0,329 S1 S1 0, 425 ( ) Ejercicios resueltos 6

7 5.1-8 Una bolsa contiene 2 bolas negras y 3 bolas blancas. Otra bolsa tiene 4 bolas negras y 2 bolas blancas. Se elige una de las bolsas al azar y se extrae una bola. Calcular la robabilidad de: a) La bola es blanca y de la bolsa rimera. b) La bola es blanca. c) Si la bola es negra, cuál es la robabilidad de que sea de la segunda bolsa? Es un exerimento comuesto, ara analizarlo utilizamos un diagrama en árbol, etiquetando las ramas con las robabilidades condicionadas. Denominamos los sucesos: 1 = La bola es de la bolsa 1 2 = La bola es de la bolsa 2 N = La bola es negra = La bola es blanca 3 1 = 1 1 = 0,5 = 0,3 5 a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) = ( 1) + ( 2) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ) = = 0,5 + 0,5 = + = + = 0, Ejercicios resueltos 7

8 c) Alicando el Teorema de ayes: ( 2 N ) ( N 2) ( 2) ( N 1) ( 1) + ( N 2) ( 2) = = , = = = = = = 0, ,5 + 0, EL volumen de roducción de dos lantas de una emresa es de y unidades de roducto or día. El orcentaje de iezas defectuosas es del 0,5% en la rimera fábrica y del 0,8% en la segunda. Calcular la robabilidad de que al elegir un roducto al azar sea defectuoso. Sean los sucesos: P1 = roducto de la lanta 1 P2 = roducto de la lanta 2 D = ieza defectuosa ( D ) = ( D P1) + ( D P2) = ( D P1) ( P1 ) + ( D P2) ( P2) = = 0, , = + = + = = = = Ejercicios resueltos 8

9 En una asignatura universitaria de rimero asisten a clase 100 de los 150 alumnos matriculados. Se sabe que arueban el 90% de los alumnos que asisten a clase y el 30% de los que no asisten. Se elige un alumno al azar. Calcular: a) La robabilidad de que haya arobado. b) Si se sabe que el alumno ha susendido, la robabilidad de que haya asistido a clase. Sean los sucesos: A = Arobar C = Asistir a clase Es un exerimento comuesto, ara analizarlo utilizamos un diagrama en árbol, etiquetando las ramas con las robabilidades condicionadas. a) b) ( A ) ( A C) ( C ) ( A C) ( C) = + = = 0,9 + 0,3 = 0, 6 + 0,1 = 0, ( ) ( ) ( ) A = 0, 7 A = 1 A = 1 0, 7 = 0,3 ( C A) ( ) ( A) C A 0,1 1 = = = 0,3 3 Ejercicios resueltos 9