1.- Definiciones Básicas:

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1 Tema 3 PROBABILIDAD Y COMBINATORIA 1.- Definiciones Básicas: El objetivo del cálculo de probabilidades es el estudio de métodos de análisis del comportamiento de fenómenos aleatorios en lo relativo a su comportamiento aleatorio y no a otros aspectos del fenómeno considerado (Parzen, 1992). Veamos algunas definiciones fundamentales: Con el nombre de experimento describimos cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Hay que distinguir entre dos tipos de experimentos o fenómenos: aleatorios y deterministas. Los fenómenos deterministas son los que obedecen a una relación causa-efecto y al variar poco las causas varía poco el efecto. Es decir, aunque se repita varias veces, bajo condiciones dadas, el resultado es previsible salvo, quizás, errores de medida. Por ejemplo, al disparar un proyectil con el mismo ángulo de elevación y las mismas condiciones siempre describe la misma parábola. Los fenómenos aleatorios se caracterizan porque al repetirse en condiciones análogas indefinidamente presentan resultados impredecibles de antemano, dependen del azar y no pueden pronosticarse con certidumbre. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire repetidamente, no es posible garantizar que en un lanzamiento dado se obtenga cara, aunque se conozca el conjunto completo de posibilidades para cada lanzamiento (cara, cruz). Más formalmente, se dice que un experimento es aleatorio si cumple las siguientes condiciones: a) El experimento puede repetirse indefinidamente bajo análogas condiciones. b) En cada prueba del experimento se obtiene un resultado, que pertenece al conjunto de resultados posibles del experimento. c) Antes de realizar una nueva prueba del experimento no se puede predecir el resultado particular que se obtendrá al realizarlo, aunque si se conoce el conjunto de todos los resultados posibles. El espacio muestral, que denotaremos por S ó Ω, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Puede ser de dos tipos: a) Espacio muestral finito: Tiene un número finito de posibles resultados. Experimento aleatorio: Lanzar un dado al aire una sola vez Espacio muestral: S {1, 2, 3, 4, 5, 6} Experimento aleatorio: Lanzar una moneda al aire dos veces Espacio muestral: S {CC, CX, XC, XX} b) Espacio muestral infinito: Tiene infinitos sucesos elementales. Si se corresponden con los números naturales se trata de un espacio muestral infinito numerable. Experimento aleatorio: Nº de veces que hay que lanzar una moneda al aire hasta obtener la primera cara Espacio muestral: S {1, 2, 3,, n, } En caso contrario, infinito no numerable. 1

2 Experimento aleatorio: Elección al azar de un valor en el intervalo real [0,1] Espacio muestral: S {infinitos valores reales entre 0 y 1} Un evento o suceso del espacio muestral es cada uno de los posibles subconjuntos del espacio muestral, cada uno de los elementos de (S). Los denotaremos con A, B, C, Al realizar el experimento aleatorio se dice que se ha verificado el suceso A, si el resultado obtenido pertenece a A. Experimento aleatorio: Lanzar un dado al aire una sola vez Espacio muestral: S {1, 2, 3, 4, 5, 6} (S) {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4},, {1,2,3,4,5,6} } Cada uno de estos elementos es un suceso o evento. Llamaremos sucesos elementales de un experimento a cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio, es decir, a cada uno de los subconjuntos unitarios (de un solo elemento) de (S). Experimento aleatorio: Lanzar un dado al aire una sola vez Espacio muestral: S {1, 2, 3, 4, 5, 6} (S) {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4},, {1,2,3,4,5,6} } Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Un suceso será compuesto si es unión de dos o más sucesos elementales. Experimento aleatorio: Lanzar un dado al aire una sola vez Espacio muestral: S {1, 2, 3, 4, 5, 6} (S) {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4},, {1,2,3,4,5,6} } Sucesos compuestos: {1,3,5}, {2,4}, {4,6} El suceso seguro es aquel que se verifica siempre, sea cual sea el resultado del experimento, por tanto estará formado por todos los resultados posibles. Es suceso segur equivale al espacio muestral. Experimento aleatorio: Lanzar un dado al aire una sola vez Espacio muestral: S {1, 2, 3, 4, 5, 6} (S) {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4},, {1,2,3,4,5,6} } Suceso seguro: {1,2,3,4,5,6} El suceso que no contiene ningún resultado del espacio muestral recibe el nombre de suceso nulo o imposible. Lo denotamos con φ. Las OPERACIONES que se pueden llevar a cabo ENTRE SUCESOS son las siguientes: - El suceso unión de A y B, denotado por A B, es el suceso formado por todos los posibles resultados de A, de B o de ambos. 2

3 A {1,2} B {2,4,6} A B {1,2,4,6} - El suceso intersección de A y B, denotado por A B es el suceso formado por los resultados comunes a A y a B. A {1,2} B {2,4,6} A B {2} - Dos sucesos son mutuamente excluyentes, incompatibles o disjuntos si no tienen resultados en común, es decir, A B φ A {1,3} B {2,5,6} A B φ - Si cualquier resultado de A es también resultado de B, entonces A está contenido en B y se denota A B. A {1,3} B {1,3,6} A B - El complementario de un suceso A es aquel suceso que contiene a todos los resultados del espacio muestral que no están en A. Lo denotamos A c, A ó A A {1,3} A c {2,4,5,6} A {1,2,3,4,5,6} A c φ A φ A c {1,2,3,4,5,6} 2.- Definiciones de Probabilidad: La probabilidad de un suceso es un número que cuantifica, en términos relativos, las opciones de verificación de ese suceso al realizar un experimento aleatorio. A los experimentos que no son aleatorios no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad. Existen varios enfoques de cómo obtener esa medida de la posibilidad de aparición de un determinado suceso al realizar un experimento. Enfoque CLÁSICO o a priori (Laplace, 1812): Supongamos un espacio muestral finito S {a 1,, a N } de manera que los a i son sucesos 1 elementales igualmente probables p( a i ) y sea un suceso A {a 1,, a k } (N k). N En este caso, se define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el nº de casos favorables y el nº de casos posibles, en el caso de equiprobabilidad. nº casos favorables P ( A ) nº casos posibles k N Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: 3

4 a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero. b) Todos los sucesos elementales tienen que tener la misma probabilidad, en caso contrario no podríamos aplicar esta regla. Por otro lado, la determinación de k y N puede resultar, a veces, tan complicada que requiera de métodos o procedimientos de enumeración matemática (análisis combinatorio). Supongamos que el experimento consiste en lanzar el dado al aire una sóla vez. En este caso, el espacio muestral es finito (solo 6 posibles resultados) y los sucesos elementales son equiprobables (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A i ) 1 / 6 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%). Si queremos calcular la Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: P(A) 3 / 6 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%) Si queremos calcular la Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) 4 / 6 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%) Enfoque FRECUENCIALISTA o a posteriori Los fenómenos aleatorios presentan una propiedad llamada regularidad estadística que consiste en que, al aumentar el número de repeticiones de un experimento, en condiciones prácticamente constantes, las frecuencias relativas de ocurrencia de cada evento tiende a estabilizarse y alcanzar un valor fijo. Este valor fijo es el que se conoce como probabilidad frecuencial de ese evento. Por tanto la probabilidad de un suceso A vendría dada por: (n nº de ensayos o de veces que se repite el experimento aleatorio). La probabilidad del suceso A se determina a partir de la repetición sistemática (n veces) del experimento aleatorio (en ensayos independientes y en las mismas condiciones) y n A es el nº de veces que se verifica el suceso A. En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad. Esta definición de probabilidad sería la más real, pero presenta dos inconvenientes: 4

5 a) Por un lado proporciona probabilidades aproximadas y no valores reales (estima el verdadero valor en función de un determinado nº de realizaciones del experimento) b) Por otro lado, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para obtenerlo. si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%. Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%, y la probabilidad de cruz habría aumentado del 0% al 30%. Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuencialista. Si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según este modelo. Definición AXIOMÁTICA En los años 30 se dio una definición axiomática de la probabilidad como medida de incertidumbre. Sea Ω un espacio muestral cualquiera, P(Ω) conjunto de las partes de Ω, o conjunto de sucesos y A un suceso cualquiera de P(Ω). Se define probabilidad, o función de probabilidad sobre Ω, a una aplicación (es decir, una regla bien definida por la que se asigna a cada suceso un, y un solo un, número real) p: P(Ω) R que cumpla los axiomas siguientes: i) p(a) 0 A P(Ω) ii) p(a 1 A 2 A 3...) p(a 1 ) + p(a 2 ) + p(a 3 ) +... si A i A j i j (sucesos mutuamente excluyentes) iii) p(ω) 1 A la estructura (Ω, P(Ω), p) se le denomina espacio de probabilidad. Esta definición es la más estricta, ya que describe perfectamente las propiedades que debe verificar el número que llamamos probabilidad del suceso A y además asigna ya la probabilidad del suceso seguro. Como consecuencia de estos axiomas se pueden deducir otras propiedades que cumple la función de probabilidad definida y que nos van a ayudar a asignar la probabilidad de cualquier otro suceso que no sea el seguro (es necesario asignar un número a todos los sucesos). 5

6 Para el experimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este espacio el conjunto de sucesos es P(Ω) {, {1}, {2},...{1,2}, {1,3},... {1,2,3,4,5,6}}. Para establecer una probabilidad hay que asignar un número a todos esos sucesos. El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el resultado de tirar el dado es una cara impar". Sin embargo si se ha asignado a los sucesos elementales p({1}) p({2})... p({6}) 1/6, por la propiedad ii), p.e. la probabilidad del suceso {1, 3} es p({1,3}) p({1}) + p({3})2/6. Nota: la probabilidad de los sucesos elementales se puede establecer de la siguiente forma: p({1,2,3,4,5,6}) p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) + p({5}) + p({6}) p(ω) 1. Por ser todos los sucesos elementales equiprobables, resulta p(a i ) 1/6 3.- Probabilidad Condicionada. Independencia de sucesos La probabilidad de un determinado suceso en un experimento aleatorio puede verse modificada si se posee alguna información antes de la realización del experimento. Para modelar este tipo de situaciones en las que se parte de una información a priori, se define el concepto de probabilidad condicionada. Si la probabilidad de que ocurra un suceso B es p(b) 0, entonces la probabilidad del suceso A, condicionada al suceso B, se define considerando únicamente los casos en los que B se ha verificado y viendo en cuántos de ellos ocurre A y viene dada por el cociente: El suceso A B se llama suceso A condicionado a B. Observación: Es importante diferenciar entre P(A B) y P(A B): - P(A B) indica la probabilidad de que ocurran conjuntamente A y B y siempre ocurre que: P(A B) P(A) P(A B) P(B) El espacio muestral sigue siendo Ω 6

7 - P(A B) es la probabilidad de que en los casos en los que ya haya ocurrido B, ocurra también A y puede ser: P(A B)>P(A) o bien P(A B)<P(A) o bien P(A B)P(A) El espacio muestral es ahora B. De la expresión anterior deducimos: P ( A B) P( A/ B). P( B) En general tenemos que P(A/B) P(A). Si así se verifica diremos que el suceso A depende del suceso B. Sean A y B dos sucesos del mismo espacio muestral Ω El suceso A es estadísticamente independiente (o independiente) del suceso B si el conocimiento de la ocurrencia de B no modifica la probabilidad de aparición de A, es decir, si: P(A B)P(A) En este caso, y con la definición de probabilidad condicionada: Notar entonces que: y entonces B es también independiente de A. Diremos que A y B son sucesos independientes. Propiedades de la independencia de sucesos: Sean A y B dos sucesos independientes (i) Entonces también son independientes A y B c, A c y B y A c y B c. (ii) A es independiente de sí mismo si y sólo sí P(A) 0 ó 1 Regla del producto: Sean A 1, A 2,, A n sucesos del mismo espacio muestral Ω tales que P(A 1 A 2 A n ) > 0. Entonces: P(A 1 A 2 A n ) P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ).P(A n A 1 A 2 A n-1 ) 4.- Teoremas Sea Ω un espacio muestral. Una colección de n sucesos, B 1,,B n, de Ω es un sistema completo de sucesos (s.c.s.) si verifican: B B φ i j i Ω j n i 1 B i Teorema de la probabilidad total: Sea Ω un espacio muestral, B 1,,B n un s.c.s. y sea A otro suceso de Ω, del que se conocen sus probabilidades condicionadas a cada B i. Entonces: P( A) n i 1 P( A/ B ) P( i B i ) 7

8 En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: a) Amarilla: probabilidad del 50%. b) Verde: probabilidad del 30% c) Roja: probabilidad del 20%. Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%. b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60% c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%. Con esta información, qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100% 2.- Aplicamos la fórmula: Luego, P (B) (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) 0,54 Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%. Teorema de Bayes: Sea Ω un espacio muestral, B 1,,B n un s.c.s. y sea A otro suceso de Ω del que se conocen sus probabilidades condicionadas a cada B i. Entonces: P( Bi / A) n P( A/ B ) P( B ) i 1 i P( A/ B ) P( B ) A las probabilidades P(B i ) se les llama probabilidades a priori y a las probabilidades P(B i /A) se les llama probabilidades a posteriori. El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. i i i Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%. Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: 8

9 Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P(A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori". Vamos a aplicar la fórmula: a) Probabilidad de que estuviera nevando: La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%. b) Probabilidad de que estuviera lloviendo: La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla: La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%. 5.- Combinatoria Principio de Multiplicación: Si una operación puede realizarse en n 1 formas y, si por cada una de éstas, una segunda operación puede llevarse a cabo en n 2 formas, entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en n 1.n 2 formas Cuántos puntos muestrales hay en un espacio muestral cuando se lanzan un par de dados una sola vez? El primer dado puede caer en cualquiera de n 1 6 formas diferentes. Para cada una de estas, el segundo dado puede caer en n 2 6 formas. Por tanto, el par de dados puede caer en n 1.n formas posibles. 9

10 Este principio se puede generalizar para k operaciones, la primera de las cuales puede realizarse en n 1 formas, la segunda en n 2, etc Entonces la secuencia de k operaciones puede hacerse en n 1. n 2 n k formas. Principio de Adición: Si una operación puede realizarse en n 1 formas y una segunda operación puede llevarse a cabo en n 2 formas y además no es posible que ambas operaciones se realicen juntas. Entonces, el número de formas en que puede realizarse una operación o la otra es n 1 + n 2. Supongamos que proyectamos un viaje y debemos decidir entre el transporte en guagua o en tren. Si hay 3 rutas para la guagua y 2 para el tren, entonces existen rutas diferentes para realizar el mismo viaje. Permutaciones: Una permutación u ordenación es un arreglo, en un orden particular, de los objetos que forman un conjunto. Supongamos que tenemos n objetos diferentes. De cuántas formas distintas se pueden agrupar o permutar esos objetos? Agrupar u ordenar los n objetos equivale a ponerlos en una caja con n compartimentos, en algún orden específico, de manera que una agrupación será distinta de otra, aunque tenga los mismos objetos, si estos están dispuestos en orden diferente. La primera casilla se puede llenar de cualquiera de las n maneras. Como no se pueden repetir elementos, la segunda casilla se puede llenar de n-1 formas, y así sucesivamente. El número de permutaciones u ordenaciones diferentes de n objetos distintos es n! y se representa por P n n! El termino n! se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos los números que van desde n hasta 1. 4! 4 * 3 * 2 * 1 24 Si n es grande, el proceso del cálculo del factorial se vuelve muy tedioso y cargado, incluso para un ordenador, por lo que se utiliza la aproximación de Stirling a n! n n n n n! 2π e siendo e Calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los números 1, 2 y 3. Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1) P10 son las permutaciones de 10 elementos: Es decir, tendríamos formas diferentes de agrupar 10 elementos. Variaciones: 10

11 Las permutaciones de n elementos tomados de r en r (r elementos a la vez) se llaman Variaciones. Si de los n objetos, únicamente r n de ellos se emplean en cualquier ordenación, es decir, tenemos n elementos y queremos llenar una caja de sólo r compartimentos, hasta la r - ésima posición, se sigue el razonamiento anterior. Se habrán empleado (r-1) objetos. Para la última posición tendremos n-(r-1) posibilidades, luego: np r n (n-1) (n-2) (n-r+1) n( n 1)( n 2)...( n r + 1)( n r)! n! n Pr ( n r)! ( n r)! V r n n! ( n r)! Calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los números 1, 2 y 3. Tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos. V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos: Es decir, podríamos formar subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos. Combinaciones: Una combinación de los objetos de un conjunto es una selección de estos, sin importar el orden. Se entenderá por el número de combinaciones de r objetos tomados de un conjunto que contiene n de estos, al número total de selecciones distintas en las que cada una de ellas tiene r objetos, sin que influya el orden. La diferencia entre una permutación y una combinación está en que en la primera el interés se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de estas selecciones, mientras que en la segunda sólo interesan las diferentes selecciones. n! n C r n r!( n r)! n n n Por convenio 1; n; n El valor de C r n se obtiene dividiendo el correspondiente número de permutaciones (variaciones) por r!, ya que en cada combinación de r elementos existen r! permutaciones u ordenaciones distintas de esos r elementos (por el principio de multiplicación) r Calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3. 11

12 Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez. C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos: Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos. Vamos a analizar ahora que ocurriría con el cálculo de las combinaciones, de las variaciones o de las permutaciones en el supuesto de que al formar los subgrupos los elementos pudieran repetirse. Si por ejemplo tenemos bolas de 6 colores diferentes y queremos formar subgrupos en los que pudiera darse el caso de que 2, 3, 4 o todas las bolas del subgrupo tuvieran el mismo color. En este caso no podríamos utilizar las fórmulas que ya vimos. Permutaciones con repetición: Para calcular el número de permutaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula: Son permutaciones de "m" elementos, en los que uno de ellos se repite " x 1 " veces, otro " x 2 " veces y así, hasta uno que se repite " x k " veces. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones: Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos. Variaciones con repetición: Para calcular el número de variaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula: V'10,4 son las variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4 elementos: Es decir, podríamos formar subgrupos diferentes de 4 elementos. Combinaciones con repetición: Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula: 12

13 C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos: Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos. EJEMPLOS 1.- Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los números 1,2,3,4,5? Y si se pudieran repetir? Como el orden dentro de un arreglo da lugar a arreglos diferentes, se trata de: 3 5! V ! Si se admiten repeticiones: VR De cuantas formas pueden colocarse 5 personas en una fila? El orden interviene, ya que las personas colocadas en distinto orden dan lugar a arreglos diferentes. No se pueden repetir elementos porque una persona no se puede sentar en dos sitios a la vez. Luego son permutaciones de 5 elementos. P 5! De cuantas formas se pueden extraer 3 cartas de un conjunto de 40? No importa el orden, puesto que el grupo de 3 cartas será el mismo. No indican nada de que haya reemplazo de la carta una vez sacada, luego no hay repetición. Son, por tanto, ! C !37! Cuántas quinielas distintas pueden rellenarse de modo que todas ellas tengan 9 unos, 3 equis y 2 doses? Se pueden repetir elementos y el orden influye, ya que da lugar a quinielas diferentes. Luego son permutaciones con repetición. 14! PR14, 9, 3, !3! 2! 5.- Se tienen 4 barajas iguales de 40 cartas cada una. Se extrae una carta de cada baraja Cuántos resultados distintos pueden producirse? Al ser barajas iguales no importa el orden, ya que el suceso as de picas de la primera, sota de tréboles en la segunda, rey de diamantes en la tercera y dos de corazones en la 13

14 cuarta, es el mismo que esas cartas de otras barajas. Se pueden repetir, ya que puedo sacar la misma carta de más de una baraja. Luego son combinaciones con repetición: ! CR !159! 14