Tema 6: Introducción a la Probabilidad

Transcripción

1 Tema 6: Introducción a la Probabilidad 1. Introducción 2. La regularidad estadística 3. Concepto de probabilidad i. Definición clásica ii. Concepto frecuencialista de la probabilidad iii. Definición axiomática de la probabilidad iv. Definición de probabilidad condicionada 4. Teoremas de probabilidad i. Teorema de las probabilidades totales ii. Teorema de Bayes iii. Regla del producto Tema 6 1

2 6.1. Introducción Relación entre probabilidad y estadística: Probabilidad = Vehículo que sirve para usar la información de la muestra y, a partir de ella, hacer inferencia a la población Objetivos de probabilidad: 1. Describir (deducción) 2. Interpretar (inducción) Terminología: Fenómenos: Fenómenos Deterministas Aleatorios Experimentos aleatorios: Posibles resultados conocidos Imposible saber resultado Condiciones iniciales iguales resultados iguales Tema 6 2

3 Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio (W): Conjunto de los diferentes resultados Espacio Muestral Sucesos: Acontecimientos que se pueden dar al hacer un experimento Sucesos Finito Infinito Numerable Infinito Seguros Distintos Iguales Imposibles Complementarios Disjuntos Incluidos Tema 6 3

4 Tema 6: Introducción a la Probabilidad 1. Introducción 2. La regularidad estadística stica 3. Concepto de probabilidad i. Definición clásica ii. Concepto frecuencialista de la probabilidad iii. Definición axiomática de la probabilidad iv. Definición de probabilidad condicionada 4. Teoremas de probabilidad i. Teorema de las probabilidades totales ii. Teorema de Bayes iii. Regla del producto Tema 6 4

5 6.2. La regularidad estadística A medida que se incrementa el número de veces que se repite un experimento, la probabilidad de que ocurra un suceso se estabiliza. La probabilidad se puede definir como la frecuencia relativa de un suceso determinado P(A) = Frecuencia relativa Tema 6 5

6 Tema 6: Introducción a la Probabilidad 1. Introducción 2. La regularidad estadística 3. Concepto de probabilidad i. Definición clásica ii. Concepto frecuencialista de la probabilidad iii. Definición axiomática de la probabilidad iv. Definición de probabilidad condicionada 4. Teoremas de probabilidad i. Teorema de las probabilidades totales ii. Teorema de Bayes iii. Regla del producto Tema 6 6

7 6.3. Concepto de probabilidad Definición clásica: Todos los resultados tienen que tener la misma probabilidad de ocurrencia (equiprobables) P(A) = Casos Favorables Casos Posibles Definición frecuencialista: No se puede usar en fenómenos no experimentales n A P(A) = lim = lim n n n Donde n A = nº de veces que ocurre A n = número de veces que se repite el experimento f A Tema 6 7

8 Definición axiomática: La probabilidad es una aplicación que cumple los siguientes axiomas: Cualquier suceso tiene probabilidad positiva La probabilidad total vale 1 Para un conjunto de sucesos excluyentes se cumple: Otros teoremas que se cumplen son: P ( ) = 0 Sean A y B sucesos no excluyentes A B Si entonces Conclusión: PA P UAi = P Ai i= 1 i= 1 Tema 6 8 ( ) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B ) ( ) 1 PA PB ( ) ( )

9 Definición de probabilidad condicionada Sean 2 sucesos A y B: N A = nº de veces que aparece A N B = nº de veces que aparece B N AB = nº de veces que aparecen A y B conjuntamente N = nº de veces que se repite el experimento NAB NAB ( ) ( / ) N P A B PA B= = = N N B B P( B) N Si A y B son sucesos independientes, entonces se cumple que P( A B) = P( A) P( B) y, por tanto PA ( B) PAB ( / ) = = PA ( ) PB ( ) Tema 6 9

10 Tema 6: Introducción a la Probabilidad 1. Introducción 2. La regularidad estadística 3. Concepto de probabilidad i. Definición clásica ii. Concepto frecuencialista de la probabilidad iii. Definición axiomática de la probabilidad iv. Definición de probabilidad condicionada 4. Teoremas de probabilidad i. Teorema de las probabilidades totales ii. Teorema de Bayes iii. Regla del producto Tema 6 10

11 6.4. Teoremas de probabilidad Teorema de las probabilidades totales Sean los sucesos A 1,A 2,...,A n βque cumplen: La unión de todos los sucesos es igual a W La intersección de 2 sucesos cualesquiera da Todos los sucesos tienen probabilidad > 0 Sea el suceso B β. Entonces se cumple: n P( B) = P Ai P B/ Ai i= 1 ( ) ( ) Tema 6 11

12 Teorema de Bayes De aplicación cuando disponemos de información a priori. Nos permite conocer la probabilidad de que, ocurrido un suceso B y conocida P(B), la causa que lo haya producido sea A i. Sean los sucesos A 1,A 2,...,A n β que cumplen: La unión de todos los sucesos es igual a W La intersección de 2 sucesos cualesquiera da Todos los sucesos tienen probabilidad > 0 P( Ai B) P( B/ Ai) P( Ai) P( B/ Ai) P( Ai) PA ( i / B) = = = P( B) P( B) P( B/ A) P( A) i i Tema 6 12

13 Regla del producto Se deduce de la definición de probabilidad condicionada. Sean los sucesos A y B del espacio W PA ( B) P( A B) PA ( / B) = y PB ( / A) = PB ( ) PA ( ) De donde PB ( ) PA ( / B ) con PB ( ) > 0 PA ( B) = PA ( ) PB ( / A ) con PA ( ) > 0 Generalizando para n sucesos (con interacción no vacía) PA ( A... A) = PA ( ) PA ( / A) PA ( / A A) n P( An/ A1 A 2... An 1) Tema 6 13