La probabilidad y otras mentiras

Transcripción

1 La probabilidad y otras mentiras Ejercicios tres y cuatro de selectividad. Todo esto de la probabilidad comenzó con la intención, de dado un experimento aleatorio, (es decir, un experimento el cual, repetido en las mismas condiciones, y conocidos sus resultados, no podemos saber con certeza qué va a ocurrir), medir la posibilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados. Con esto, salieron definiciones como espacio muestral (el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio), suceso seguro (el formado por el espacio muestral), suceso imposible, (el que nunca ocurre, por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, jamás saldrá cruz). Al hablar de conjuntos, resulta que algunas de las probabilidades que nos pedirán en ejercicios, podremos resolverlas pintando los sucesos como conjuntos. Con esto y unas cuántas divagaciones, llegamos a la conclusión de que la probabilidad de un suceso, se obtiene como resultado del cociente del número de casos favorables a la ocurrencia de dicho suceso, entre casos favorables del experimento. (Fórmula que siempre nos permite obtener la probabilidad de lo que queramos, aunque algunas veces el hecho de contar casos favorables y casos posibles sea complicado y debamos usar técnicas de combinatoria.)

2 [Las más importantes, las leyes de Morgan] Y se cumplen las propiedades: 0 P(A) 1, con lo cual, si al calcular una probabilidad, nos da negativo, o mayor que uno, ya sabemos que está mal. P(A B) = P(B) P(A B) A = el contrario de A P(A B) = P(A B) P(B), de donde: P(A B) = P(A B) P(B) (Probabilidad condicionada, es decir, "posibilidad de que ocurra A, si ha ocurrido B)

3 Seguimos avanzando y puede ocurrir que dos sucesos sean incompatibles, o no; independientes o no, es decir: Dos sucesos A y B, decimos que son incompatibles, si no pueden ocurrir a la vez, es decir, si no pueden suceder simultáneamente, o lo que es lo mismo, A B = 0. Entonces, como consecuencia de ser incompatibles, tenemos que se cumple lo siguiente: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(B A) = 0 P(A B) = P(B) Dos sucesos A y B, decimos que son independientes, si la ocurrencia de uno, no afecta en absoluto a la ocurrencia o no del otro, es decir: P(A B) = P(A) o lo que es lo mismo P(B A) = P(B) Las consecuencias de que dos sucesos sean independientes, son las siguientes: P(A B) = P(A) P(B) A y B son independientes, con lo que P(A B) = P(A ) P(B) A y B, son independientes, con lo que P(A B ) = P(A) P(B ) A, y B, son independientes, con lo cual P(A B ) = P(A ) P(B ) Con toda esta artillería, el ejercicio tres de probabilidad, puede ser resuelto aplicando las fórmulas anteriores, si es un solo experimento, y si el ejercicio es composición de varios experimentos, mediante diagrama de árbol o tablas de contingencia, os dejo a continuación qué es un diagrama de árbol y tabla de contingencia:

4 Ejemplos: Colegio Portocarrero.

5 Ejemplos: Colegio Portocarrero.

6 Para el ejercicio 4, hablaremos de distribución Normal, o Binomial, variables aleatorias, tablas y demás cuentos. Empecemos por describir que entenderemos por variable aleatoria, y para esto, basta decir que este concepto surge para responder a la necesidad de cuantificar los resultados de un experimento aleatorio, es decir, de una forma intuitiva la variable aleatoria es una función que asocia a cada suceso de un experimento aleatorio, un número. De esta forma se pueden aplicar técnicas de análisis y en general medidas cuantitativas para estudiar experimentos que por su naturaleza cualitativa pues ofrecen ciertos problemas para modelizar. De todo esto tan resumido, debe quedarnos que a partir de ahora, el experimento aleatorio vendrá representado por una variable aleatoria, y los distintos sucesos por valores de dicha variable. Tendremos dos tipos de variables modelizadas. Discretas y continuas. Discretas aquellas que toman un número finito (contable) de valores, como ejemplo fácil, el lanzamiento de un dado, y continuas, aquellas que pueden tomas infinitos valores no contables, como ejemplo fácil, el peso. La función que asocia a cada suceso un número, también debe transferir la probabilidad (esa que casi ya dominamos del ejercicio 3) es lo que se conoce como distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria, es decir, a grandes rasgos, dada una variable aleatoria, siempre lleva asociada una distribución de probabilidad, es decir, la forma de calcular la probabilidad de los distintos sucesos, ahora números en la variable aleatoria. Con esto, sólo nos fijaremos en dos tipos de distribuciones, la Normal (variables continuas) Binomial (variables discretas)

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12 Con esto, estamos capacitados para calcular probabilidades de distribuciones Normales y Binomiales, usando las tablas correspondientes. Así que medio ejercicio cuatro hecho. Nos falta la parte de inferencia y contraste. Empezaremos por la de inferencia.

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14 Más adelante, cuando hayamos visto que es hacer inferencia, renombraremos los intervalos característicos como Intervalos de confianza. Pasemos a ver dos resultados importantes antes de abordar los intervalos de confianza:

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