Probabilidad del suceso imposible

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1 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 4.- PROBABILIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Experimentos aleatorios y sucesos Experimento aleatorio Es aquel cuyo resultado depende del azar y, aunque conocemos todos los resultados, no se puede predecir de antemano el resultado que se va a obtener. Por ejemplo, lanzar un dado o una moneda son experimentos aleatorios. Los experimentos aleatorios pueden ser simples o compuestos. Son simples aquellos que constan de una sola etapa. Por ejemplo, echar una moneda al aire. Son compuestos si constan de varias etapas. Por ejemplo, lanzar un dado cinco veces o el experimento que consiste en tirar una moneda y luego sacar una bola de una bolsa. Espacio muestral de un experimento aleatorio Es el conjunto formado por todos los resultados que podemos obtener al hacer el experimento. El espacio muestral se representa con la letra E. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Suceso aleatorio Es el conjunto formado por algunos resultados de un experimento aleatorio. Los sucesos se representan con letras mayúsculas Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, A = salir número par = {2, 4, 6} es un suceso Probabilidad de un suceso aleatorio: Si en un experimento aleatorio todos los resultados tienen la misma posibilidad de aparecer, para calcular la probabilidad de un suceso se divide el número de casos favorables al suceso entre el número de casos posibles: Casos favorables a que ocurra A REGLA DE LAPLACE : p(a) Casos posibles Nº de elementos de A Nº de elementos de E La probabilidad nos indica si es más o menos frecuente que ocurra dicho suceso. La probabilidad de un suceso siempre es un número entre 0 y 1 (ambos incluidos): 0 p(a) 1, pues el número de casos favorables siempre es menor o igual al número de casos posibles Suceso seguro Es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda el suceso A = salir cara o cruz = { C, X } siempre ocurre, pues al lanzar la moneda siempre saldrá cara o cruz. A es un suceso seguro. Observa que A coincide con el espacio muestral, E. Probabilidad del suceso seguro p(e) = 1 Suceso imposible Es aquel que nunca ocurre. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el suceso A = salir un número mayor que 6 nunca ocurre. A es un suceso imposible. El suceso imposible es el conjunto "que no tiene ningún elemento" Este conjunto se llama conjunto vacío y se representa con el símbolo Probabilidad del suceso imposible p() = 0

2 2.- Operaciones con sucesos Unión de sucesos La unión de dos sucesos A y B es otro suceso formado juntando los elementos de A y B. La unión de A y B se representa por A U B. A U B significa: ocurre A ó B Ejemplo A "salir nº par" 2, 4,6 En el lanzamiento de un dado, si tomamos los sucesos: B "salir nº primo" 2,3,5 entonces A U B = salir par o primo = {2, 3, 4, 5, 6} Intersección de sucesos La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso formado por los elementos comunes de A y B. La intersección de los sucesos A y B se representa por A B. A B significa: ocurre A y B Ejemplo A "salir nº par" 2, 4,6 En el lanzamiento de un dado, si tomamos los sucesos: B "salir nº primo" 2,3,5 entonces A B = salir par y primo = { 2 } Probabilidad de la unión de dos sucesos p(a U B) = p(a) + p(b) p(a B) Probabilidad de la unión de tres sucesos p(a U B U C) = p(a) + p(b) + p(c) p(a B) p(a C) p(b C) + p(a B C) Página 2

3 Sucesos compatibles y sucesos incompatibles Dos sucesos A y B son compatibles cuando pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los sucesos A = salir un número par B = salir un número primo son compatibles, pues si sale un 2 ocurren los dos sucesos a la vez: 2 es un número par y también es un número primo. Si A y B son compatibles, hay elementos comunes a los sucesos y por tanto A B Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, si sacamos al azar una carta de la baraja, los sucesos A = salir un basto B = salir una espada son incompatibles, pues no puede salir a la vez un basto y una espada. Si A y B son incompatibles, no hay elementos comunes a los sucesos y por tanto A B = Si A y B son incompatibles, p(a B) = 0 p(a U B) = p(a) + p(b), siendo A y B incompatibles Suceso contrario o complementario Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario de A es aquel que expresa lo contrario que el suceso A. Se representa por A c o también por A. El suceso A c está formado por los elementos del espacio muestral que no están en A Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A = salir número par = {2, 4, 6}, entonces el suceso contrario es A c = no salir número par = salir número impar = {1, 3, 5} Observa que (A c ) c = A Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A = salir número par, A c = salir número impar, (A c ) c = salir número par = A Leyes De Morgan ( A U B) c = A c B c ( A B) c = A c U B c Probabilidad del suceso contrario Según del diagrama anterior: A U A c = E A A c = ( A y A c son incompatibles). Entonces, 1 = p(e) = p(a U A c ) = p(a) + p(a c ) p(a c ) = 1 p(a) Página 3

4 Diferencia de dos sucesos. Dados dos sucesos A y B, se define A B como el suceso que expresa: ocurre A y no ocurre B. Es decir A B = A B c. Los elementos de A B se obtienen tomando los elementos de A que no estén en B. Probabilidad de la diferencia de sucesos: p(a B) = p(a) p(a B) 3.- Probabilidad condicionada y dependencia de sucesos Probabilidad condicionada Dados dos sucesos, A y B, con p(b) 0, se llama probabilidad de A condicionada a B a la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. La probabilidad de A condicionada a B se representa por p(a / B) y se puede calcular usando la fórmula: p(a / B) p(a B) p(b) Si despejamos P(A B) de la fórmula anterior se obtiene: P(A B) = P(B). P(A/B) Razonando de forma análoga para B condicionado a A p(b / A) p(a B) p(a) P(A B) = P(A). P(B/A) Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes si p(a/b) = p(a) y p(b/a) = p(b) Se aquí se deduce que si A y B son independientes entonces p(a B) = p(a) p(b) Si A y B son independientes, entonces también son independientes A y B c, A c y B, A c y B c Página 4

5 ACTIVIDADES 1 Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda. a) Construya el espacio muestral de este experimento aleatorio. b) Determine la probabilidad del suceso A: El jugador obtiene un número par en el dado y cruz en la moneda. c) Si sabemos que en la moneda ha salido cara, cuál es la probabilidad de que en el dado haya salido más de 3 puntos? (Propuesto para selectividad Andalucía 2011) 2 Se consideran los sucesos A y B. a) Exprese, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos: 1. Que no ocurra ninguno de los dos. 2. Que ocurra al menos uno de los dos. 3. Que ocurra B, pero que no ocurra A. b) Sabiendo que p(a) = 0,5 p(b) = 0,5 p(a / B) = 0,3 halle p(a U B) (Propuesto para selectividad Andalucía 2008) 3 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 veces una moneda y observar el resultado. a) Escriba el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elementales. b) Sean los sucesos A: obtener al menos una cara, B: obtener cara en solo uno de los tres lanzamientos. Calcule P(A) y P(B). Son independientes A y B? (Propuesto para selectividad Andalucía 2003) 4 Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco. Lena da en el blanco con probabilidad de 7/11 y Adrián con probabilidad de 9/13. Si ambos sucesos son independientes, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Ambos dan en el blanco b) sólo Lena da en el blanco c) Al menos uno da en el blanco (Propuesto para selectividad Andalucía 2009) 5 Se elige un número, al azar, entre el siguiente conjunto: {225, 201, 162, 210, 180, 172, 156, 193, 218, 167, 176, 222, 215, 120, 190, 171}. a) Calcule la probabilidad de que el número elegido sea impar. b) Si el número elegido es múltiplo de 5, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 200? c) Determine si son independientes los sucesos S: el número elegido es mayor que 200 y T: el número elegido es par. d) Halle la probabilidad del suceso S U T 6 De los sucesos independientes A y B se sabe que p(a c ) = 0.4 y p(a U B) = 0.8 a) Halle la probabilidad de B. b) Halle la probabilidad de que no se verifique B si se ha verificado A. c) Son incompatibles los sucesos A y B? (Propuesto para selectividad Andalucía 2013) 7 Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades P(A)=0.60 y P(B)=0.25. Determine las probabilidades que deben asignarse a los sucesos A U B y A B en cada uno de los siguientes supuestos: a) Si A y B fuesen incompatibles. b) Si A y B fueran independientes. c) Si p(a / B) = En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica P(A B) = 0,1, P(A c B c ) = 0,6 P(A/ B) = 0,5. a) Calcule P(B) b) Calcule P(A U B) c) Son A y B independientes? (Propuesto selectividad Andalucía Septiembre 2007) Página 5

6 9 El 25% de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita en papel, el 70% en prensa digital y el 10% en ambos formatos. Elegido, al azar, un estudiante de esa Universidad: a) Calcule la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital. b) Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcule la probabilidad de que también las lea en prensa escrita en papel. c) Cuál es la probabilidad de que lea las noticias exclusivamente en uno de los dos formatos? 10 Un estudio estadístico de la producción de una fábrica de batidoras determina que el 4.5% de las batidoras presenta defectos eléctricos, el 3.5% presenta defectos mecánicos y el 1% presenta ambos defectos. Se escoge al azar una batidora. a) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos defectos. b) Calcule la probabilidad de que tenga un defecto mecánico sabiendo que tiene un defecto eléctrico. c) Justifique si los sucesos tener un defecto eléctrico y tener un defecto mecánico son independientes. Son incompatibles? 11 Se sabe que el 90% de los estudiantes del último curso de una Universidad está preocupado por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 30% está preocupado por sus notas y el 25% por ambas cosas. a) Si hay 400 alumnos matriculados en el último curso de dicha Universidad, cuántos de ellos no están preocupados por ninguna de las dos cosas? b) Si un alumno del último curso, elegido al azar, no está preocupado por encontrar trabajo, cuál es la probabilidad de que esté preocupado por sus notas? Hacer Actividades del apartado Probabilidad total y fórmulas de Bayes Teorema de la probabilidad total Si A1, A2 son sucesos incompatibles con A1 U A2 = E y A es un suceso cualquiera P(A) = P(A1). P(A/A1) + P(A2). P(A/A2) P(A) = P(A A1) + P(A A2) Luego: P(A) = P(A 1 ). P(A/A 1 ) + P(A 2 ). P(A/A 2 ) Fórmulas de Bayes Si A1, A2 son sucesos incompatibles tales que A1 U A2 = E y A es un suceso de probabilidad no nula, entonces se cumple: P(A).P(A 1 / A) 1 P(A).P(A P(A / A) 1 P(A2/A) = 2 / A) P(A / A) 2 P(A) 2 P(A) donde, según el teorema de la probabilidad total, P(A) = P(A1). P(A/A1) + P(A2). P(A/A2) Página 6

7 ACTIVIDADES 12 Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas. Se extrae una bola al azar. a) Calcule la probabilidad de que sea blanca. b) Cuál es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está marcada? c) Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada? d) Son independientes los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blanca? 13 Se ha impartido un curso de conducción eficiente a 200 personas. De los asistentes al curso, 60 son profesores de autoescuela y, de ellos, el 95% han mejorado su conducción. Este porcentaje baja al 80% en el resto de los asistentes. Halle la probabilidad de que, elegido un asistente al azar: a) No haya mejorado su conducción. b) No sea profesor de autoescuela, sabiendo que ha mejorado su conducción. 14 Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar: a) Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día? b) Calcule la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta. 15 Una urna, A, contiene siete bolas numeradas del 1 al 7. Otra urna, B, contiene cinco bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que si sale cara, extraeremos una bola de la urna A, y, si sale cruz, la extraemos de la urna B. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) La bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par. b) El número de la bola extraída sea par. c) La bola sea de la urna A, si ha salido un número par. 16 Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Calcule: a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B. c) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca. 17 Un pescador tiene tres tipos de carnada de las que sólo una es adecuada para pescar salmón. Si utiliza la carnada correcta la probabilidad de que pesque un salmón es 1/3, mientras que si usa una de las inadecuadas esa probabilidad se reduce a 1/5. a) Si elige aleatoriamente la carnada, cuál es la probabilidad de que pesque un salmón? b) Si ha pescado un salmón, cuál es la probabilidad de que lo haya hecho con la carnada adecuada? Página 7

8 18 En una industria de calzado se producen botas y sandalias. De cada 12 pares producidos, 7 pares son botas y 5 de sandalias. La probabilidad de que un par de botas sea defectuoso es 0.08 y de que lo sea un par de sandalias es Se escoge al azar un par y resulta ser no defectuoso. a) Cuál es la probabilidad de que se haya escogido un par de botas? b) Cuál es la probabilidad de que se haya escogido un par de sandalias? (Propuesto para selectividad Andalucía 2008) 19 En una tienda de complementos disponen de 100 bolsos, de los cuales 80 son de una conocida marca y 20 son imitaciones casi perfectas de dicha marca. Una inspección encarga a un experto el peritaje de los bolsos de la tienda. Se sabe que este experto acierta en el 95% de sus peritajes cuando el bolso es auténtico y que detecta el 98% de las imitaciones. Se elige, al azar, un bolso para su examen: a) Calcule la probabilidad de que el experto acierte en su dictamen sobre ese bolso. b) Si el experto no ha acertado en su peritaje, calcule la probabilidad de que el bolso sea auténtico. 20 Un Centro de Salud propone dos terapias, A y B, para dejar de fumar. De las personas que acuden al Centro para dejar de fumar, el 45% elige la terapia A, y el resto la B. Después de un año el 70% de los que siguieron la terapia A y el 80% de los que siguieron la B no han vuelto a fumar. Se elige al azar un usuario del Centro que siguió una de las dos terapias: a) Calcule la probabilidad de que después de un año no haya vuelto a fumar. b) Si transcurrido un año esa persona sigue sin fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A. c) Si transcurrido un año esa persona ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A. (Propuesto para selectividad Andalucía 2013) 21 Una granja avícola dedicada a la producción de huevos posee un sistema automático de clasificación en tres calibres según su peso: grande, mediano y pequeño. Se conoce que el 40% de la producción es clasificada como huevos grandes, el 35% como medianos y el 25% restante como pequeños. Además, se sabe que este sistema de clasificación produce defectos por rotura en el cascarón que dependen del peso. Así, la probabilidad de que un huevo grande sea defectuoso por esta razón es del 5%, la de uno mediano del 3% y de un 2% la de uno pequeño. Elegido aleatoriamente un huevo, a) cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Si el huevo es defectuoso, cuál es la probabilidad de que sea grande? (Propuesto para selectividad Andalucía 2013) 22 Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C, que fabrican, respectivamente, el 60%, 30% y 10% de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de C son defectuosos. Elegido, al azar, un artículo de los que se fabrican en la empresa: a) Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C? b) Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? c) Si sabemos que no es defectuoso, cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A? 23 El 30% de los aparatos que llegan a un servicio técnico para ser reparados están en garantía. De los que no están en garantía, el 20% ya fueron reparados en otra ocasión y de los que sí lo están, solamente un 5% fueron reparados anteriormente. Se elige un aparato al azar en el servicio técnico: a) Cuál es la probabilidad de que haya sido reparado en otra ocasión? b) Si es la primera vez que ha llegado al servicio técnico, cuál es la probabilidad de que esté en garantía? (Propuesto para selectividad Andalucía 2011) Hacer Actividades del apartado 4 Página 8