TALLER 3 ESTADISTICA I

Transcripción

1 TALLER 3 ESTADISTICA I Profesor: Giovany Babativa 1. Un experimento consiste en lanzar un par de dados corrientes. Sea la variable aleatoria X la suma de los dos números. a. Determine el espacio muestral del experimento aleatorio. b. Halle la función de probabilidad de la variable aleatoria X. c. Calcule el valor esperado, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación. 2. Un juego consiste en lanzar dos dados, antes de lanzarlos usted apuesta a un resultado basado en la suma de los números de los dos dados. Por cada apuesta de $1 que usted haga puede: perder $1 si la suma es 5, 6, 7 u 8; ganar $1 si la suma es 3, 4, 9, 10 u 11; o ganar $2 si la suma es 2 ó 12. a. Determine la función de distribución de apostar $1. b. cuál es la utilidad o pérdida que puede esperar a la larga el jugador con apuestas de $1?. Interprete. c. Participaría Ud. en este juego? Por qué? 3. En el juego Albur del Siete se tira una vez un par de dados corrientes y la suma de los dos resultados determina si el jugador gana o pierde la apuesta. El jugador puede apostar $1 a que la suma será menor que siete, si esto ocurre el ganará $1 de lo contrario perderá $1; de igual manera el jugador puede apostar $1 a que la suma será mayor que 7, si esto ocurre él ganará $1 o de lo contrario perderá $1. La otra forma es que el jugador apueste $1 a que la suma de los dos dados será 7, si esto ocurre el jugador ganará $4 y en caso contrario perderá $1. a. Determine la distribución de probabilidad que representa los diferentes resultados que son posibles en una apuesta de $1 a que sea menor que 7. b. Determine la distribución de probabilidad que representa los diferentes resultados que son posibles en una apuesta de $1 a que sea mayor que 7. c. Determine la distribución de probabilidad que representa los diferentes resultados que son posibles en una apuesta de $1 a que sea igual a 7. d. Pruebe que la utilidad (o pérdida) esperada por el jugador es siempre la misma independiente del método de juego utilizado. e. Participaría Ud. en este juego? Por qué? 4. Un Empleado del Estadio Nemesio Camacho El Campín, debe elegir entre trabajar detrás de un mostrador vendiendo perros calientes y recibir una suma fija de $50000 diarios o andar entre las tribunas vendiendo cerveza con un salario por comisión. Si se elige este último, el empleado puede ganar $90000 en un día caluroso, $70000 en un día moderado, $45000 en un día fresco y $15000 en un día frío. Si en esta época del año las probabilidades de un día caluroso, moderado, fresco y frío son respectivamente 0.1, 0.3, 0.4 y 0.2. Determine: 1

2 2 a. El salario esperado en un día, si el empleado decide vender cerveza. b. Calcule la desviación estándar y coeficiente de variación. c. Que producto debe elegir el empleado? Por qué? (Ayuda: Use el teorema de Chebyshev) 5. Una Lotería local se juega con números de 4 dígitos (desde el 0000 hasta el 9999); cada billete de lotería cuesta $9500. Se seleccionan aleatoriamente 6 ganadores: un ganador del premio mayor de $ , un ganador del segundo premio de $ , un ganador del tercer premio de $ y otros tres ganadores de $ cada uno. a. Calcule la ganancia o pérdida esperada al jugar en esta lotería. b. Participaría en este juego? Por qué? 6. Un juego de dados consiste en lanzarlos, antes de ello se debe realizar una apuesta que consiste en que por cada apuesta de $1 que usted haga, puede perder $1 si la suma es 5, 6, 7 u 8; ganar $1 si la suma es 3, 4, 9, 10 u 11; ó puede ganar $2 si la suma es 2 ó 12. a. Determine la distribución de probabilidad que represente los diferentes resultados que son posibles cuando se apuesta $1. b. Determine la función de distribución. c. Cuál es la pérdida o ganancia esperada por el jugador? 7. Usted se encuentra en el Casino La Fortuna disfrutando de un nuevo juego que consta de dos urnas; cada una de ellas con dos cajones. La urna 1 tiene un cajón con una moneda de oro y el otro con una moneda de plata. La urna 2 tiene una moneda de oro en cada cajón. Usted selecciona una de estas urnas de acuerdo al lanzamiento de una moneda; si cae cara selecciona la urna 1 y si es sello la urna 2. Para la selección de los cajones en la urna 1 se tiene la siguiente condición: De una baraja seleccionan tres cartas aleatoriamente, si se obtiene al menos un As se escoge el cajón de la moneda de oro; de lo contrario, se abrirá el otro cajón. Para la selección de los cajones de la urna 2 se lanza una moneda. Se gana un peso por cada oro que obtenga. a. En su primer juego gana una moneda de oro, cual es la probabilidad que esta provenga de la urna 2? b. Si usted obtiene la moneda de plata perderá un peso, Cual es la probabilidad que esto ocurra? c. Cuál es la probabilidad de ganar en el quinto intento, si en los cuatro anteriores perdió 4 pesos? d. Cuál es la utilidad o pérdida esperada después de 7 juegos? e. Participaría en este juego? Por qué? 8. La probabilidad de que un asesor de un banco venda un portafolio a una persona elegida aleatoriamente del directorio telefónico es de Si el asesor le habla a 10 personas en una tarde, cuál es la probabilidad de que a. no venda ningún portafolio? b. venda exactamente 3 portafolios? c. venda por lo menos un portafolio? d. venda a los sumo 7 portafolios?

3 3 9. Suponga que el número de partículas radioactivas que se emiten de un reactor es de 30 por segundo. Cuál es la probabilidad que no se emita alguna partícula en un intervalo de 30 segundos?, cuál es la probabilidad que se emitan 5 partículas en un intervalo de 10 segundos?, cuál es la probabilidad que se emitan más de 5 partículas en un intervalo de 10 segundos? 10. Según los registros de la policía, en determinada ciudad ocurren 4.2 accidentes de tránsito al día. Cuál es la probabilidad de que haya a. menos de 3 accidentes en un día particular? b. no más de dos accidentes en un día? c. más de tres accidentes en un día? 11. Un grupo de nueve estudiantes, de los cuales tres son menores de edad, desean entrar a una discoteca; si el vigilante le pide la cédula a solo cuatro de los estudiantes, cuál es la probabilidad de que el vigilante identifique a a. dos menores de edad? b. ninguno de los menores de edad? c. por lo menos uno de los menores de edad? 12. Un agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida realiza visitas a posibles clientes con el fin de contratar un seguro de vida. Se sabe de su trayectoria como agente que en el 60 % de las visitas tiene éxito y contrata un seguro. Si un día particular el agente piensa visitar 10 clientes, cuál es la probabilidad de que venda al menos 3 seguros de vida?. 13. El gerente de control de calidad de la compañía de galletas MOEL está inspeccionando una producción de las galletas de chispas de chocolate que acaban de salir. Si el proceso de producción está bajo control, el número promedio de chispas es de 6. Cuál es la probabilidad de que en cualquier galleta inspeccionada a. se encuentren más de 6 chispas? b. se encuentre exactamente 4 chispas? c. menos de 3 chispas? 14. En un examen la media de las calificaciones fue de 74 con una desviación estándar de 7. Si al 12 % de la clase se le otorga una calificación de Muy Bien y las calificaciones siguen una distribución normal, cuál es la calificación de Muy Bien más baja posible? 15. El número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos del hospital de Kennedy en un día cualquiera, tiene media de siete personas por día. Cuál es la probabilidad de que el número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos en un día particular sea igual a tres?, menor o igual que tres? 16. En una central telefónica se reciben en promedio 300 llamadas cada hora. Además no se pueden establecer más de 12 conexiones por minuto. Calcular: a. Probabilidad de que quede rebasada en un minuto dado. b. Probabilidad de que se reciba una sola llamada en un minuto dado. 17. La probabilidad de que un coche se accidente en un cierto tramo en la vía Bogotá-Melgar es Si recorren ese tramo autos, Cuál es la probabilidad de que se produzcan a lo sumo 5 accidentes en ese tramo de la carretera?

4 4 18. Una Urna contiene 10 balotas Rojas, 8 Negras y 5 Blancas. Si se selecciona una muestra de tamaño 5 sin reemplazamiento, Cuál es la probabilidad de que salgan exactamente 2 balotas rojas en la muestra?, Qué salga por lo menos 1 balota blanca? 19. Una secretaria comete en promedio 2 errores mecanográficos por página. Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página tenga por lo menos 4 errores 20. Suponga que la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar, Halle: a. P (Z < 1,2) b. P (Z > 1,2) c. P ( 1,7 < Z < 1,2) d. P ( 1,7 < Z < 1,2) 21. Suponga que la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar, Halle k si: a. P (Z < k) = 0,7. b. P (Z < k) = 0,25 c. P (Z > k) = 0,6 d. P (Z > k) = 0,3 e. P ( 1,96 < X < k) = 0, El diámetro de los pernos de una fábrica tiene una distribución normal con media de 950 milímetros y una desviación estándar de 10 milímetros. a. Cuál es la probabilidad de que un perno escogido al azar tenga un diámetro entre 948 y 955 milímetros? b. Cuál es el valor apropiado de c para que el perno escogido al azar tenga un diámetro menor que c con una probabilidad de ?. 23. El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria que se distribuye normal N(100, 16). Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un coeficiente: a. inferior a 120. b. entre 118 y Suponga que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros en un año es una variable aleatoria con una distribución normal que tiene una media de $380,000 pesos y una desviación estándar de $50,000. a. Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de $ pesos en libros en un año? b. Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste más de $ pesos en libros en un año? c. Explique gráficamente por qué la respuestas de los dos literales anteriores son iguales. d. Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre $ y $ pesos en libros en un año? 25. Las calificaciones de un examen siguen una distribución normal. Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar obtenga una calificación mayor que la media más 1.5 desviaciones estándar?

5 5 26. El canal Caracol desea lanzar una novela. El gerente de mercadeo del canal cree que su incertidumbre sobre el índice de audiencia que tendrá esta novela durante el primer mes es una variable aleatoria con distribución normal con media 18,2 y una desviación estándar de 1.6. Según el gerente, la probabilidad de que la audiencia sea menos de es de Las calificaciones de un examen siguen una distribución normal con media 700 y desviación estándar de 120. a. Se concede sobresaliente por una calificación de más de 820. Qué proporción de todos los estudiantes obtiene sobresaliente? b. Se decide suspender al 5 % de los estudiantes que tienen las calificaciones más bajas Cuál debe ser la calificación mínima para evitar ser suspendido? 28. Un estudiante viaja diariamente desde su hogar hasta la universidad. En promedio, el viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la distribución del tiempo del viaje es normal a. cuál es la probabilidad de que un viaje requiera de por lo menos media hora? b. Si la primera clase la tiene todos los días a las 6:00 pm y el estudiante siempre sale a las 5:45 pm de su casa, que porcentaje de veces llega tarde? c. A que hora máximo debe salir el estudiante de su casa si no quiere llegar a más del 15 % de las clases tarde? 29. Suponga que un instructor asume que las calificaciones finales de un estudiante son los valores de una variable aleatoria X con distribución normal con media µ y varianza σ 2. El instructor decide asignar calificación A a aquellos estudiantes cuyo puntaje exceda a µ + σ, B a aquellos cuyo puntaje este entre µ y µ + σ, C a aquellos con puntajes entre µ σ y µ, D a aquellos cuyo puntaje este entre µ 2σ y µ σ, y F a los que tengan un puntaje inferior a µ 2σ. Encontrar el porcentaje de estudiantes que obtienen una A. 30. La esperanza de una variable aleatoria X normal es 5 veces la desviación estándar. Además se sabe que P (X 6) = 0, Calcular µ y σ.