Definición de probabilidad

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1 Tema 5: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD: Definición de probabilidad Repaso de propiedades de conjuntos (Leyes de Morgan) Probabilidad condicionada Teorema de la probabilidad total Teorema de Bayes. VARIABLE ALEATORIA: Concepto Tipos Función de densidad(masa) vs. Función de distribución Media y varianza de una variable aleatoria 3. MODELOS DISCRETOS: Bernoulli Binomial 4. MODELOS CONTINUOS: Normal Tabla de la normal tipificada Aproximación de binomial a normal Definición de probabilidad Supongamos que vamos a realizar un experimento ALEATORIO y estamos interesados en la PROBABILIDAD de que ocurra un determinado SUCESO. EXPERIMENTO: Lanzamiento de una moneda ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de todos los resultados básicos de un experimento SUCESO: Cada uno de los resultados básicos del espacio muestral. EJERCICIO 13: Completa la siguiente tabla: EXPERIMENTO Lanzamiento de una moneda Espacio muestral Ω Sucesos Lanzamiento de dos monedas PROBABILIDAD p = nº de casos favorables nº de casos posibles

2 REPASO DE TEORÍA DE CONJUNTOS INTERSECCIÓN UNIÓN COMPLEMENTARIO PRACTICA! Se lanzan tres monedas de 1 ct., ct. y 5 ct., respectivamente. Para cada uno de los siguientes sucesos compuestos: a) Enumerar los sucesos elementales b) Calcular la probabilidad de: a) Cara en 1 ct. b) Exactamente dos caras c) Exactamente una cara d) Todas cruces e) ct. y 5 ct. con diferente resultado f) ct. y 5 ct. con igual resultado Dada la siguiente tabla (Ocupación vs. Ingreso familiar): Ama casa Obreros Ejecutivos Profesionales Bajo Medio Se elige una persona de forma aleatoria. Calcular la probabilidad de: a) Ama de casa b) Obrero c) Ejecutivo d) Profesional e) Ingreso bajo f) Ingreso medio g) Ingreso alto h) Ejecutivo con ingreso alto i) Ama casa con ingreso bajo Alto

3 PROBABILIDAD CONDICIONADA A B) A/ B) = B) Teorema de la probabilidad total Ω = H 1 + H HK Hi Hj = φ A Ω. A es un suceso : A) = A H1) A Hk) = = A/H1)H1) A/Hk)Hk) Teorema de Bayes A ha sucedido, la probabilidad de que proceda de la causa Hi : Hi/A) = A Hi ) A / Hi ) Hi ) = A) A/H1)H1) A/Hk)Hk) EJERCICIO 14: Tenemos tres urnas con la composición: Se elige una urna al azar y se toma una bola. Se pide: a) Probabilidad de que sea roja. b) Ha resultado ser blanca. Probabilidad de que proceda de la tercera urna.

4 Concepto de variable aleatoria Se llama variable aleatoria a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral de un experimento, un número real. Se utilizan letras mayúsculas para designar las v.a. y sus respectivas letras minúsculas para los valores concretos de las mismas. Variable aleatoria discreta. Es la que solo puede tomar una cantidad numerable de valores. Variable aleatoria continua. Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real. Función de probabilidad de una v.a. discreta. Es la aplicación que asocia a cada valor x--- de la v.a. X su probabilidad p. Los valores que toma una v.a. discreta X y sus correspondientes probabilidades suelen disponerse en una tabla con dos filas o dos columnas llamada tabla de distribución de probabilidad: X x 1 x... x n P(X=x i ) p 1 p... p n En toda función de probabilidad se verifica que p p + p + + p n = Función de distribución de una v.a. discreta. Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Se llama función de distribución de la variable X a la función que asocia a cada valor de la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, F( x) = X x)

5 Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta. Se llama de una v.a. discreta X, que toma los valores x 1,, x,...con probabilidades p 1, p,... al valor de la siguiente expresión: = x i. pi La varianza viene dada por la siguiente fórmula:, bien σ = x i. p µ i µ σ = ( x i µ ). pi EJEMPLO: La distribución de probabilidad de una v.a. X viene dada por la siguiente tabla: X i P i a Cuánto vale X=3) Calcula la media y la varianza. EXPERIMENTO DE BERNOULLI Es un experimento que tiene las siguientes características: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso ha llamado A llamado éxito y el suceso llamado fracaso A c. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. La probabilidad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras La distribución de probabilidad de este experimento recibe el nombre de distribución binomial de parámetros n y p n es el número de pruebas del experimento y p es la probabilidad del éxito. Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos obtenidos en las n del experimento, podemos escribir: obtener r éxitos )=X=r)= n r p.(1 p) r Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de una distribución binomial. Media: µ = n.p n r Varianza: σ = n. p. q; q = 1 p

6 EJERCICIO 15: Calcula la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, 3 de ellos sean varones. EJERCICIO 16: La probabilidad de que un alumno de repita curso es de 0,3. Elegimos 0 alumnos al azar. Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? EJERCICIO 17: La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla: El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE UNA V.A. CONTINUA: La función de densidad de una v.a. continua cumple las siguientes condiciones: Sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1 El área encerrada bajo la curva es igual a la unidad. Función de distribución. Como en el caso de la v.a. discreta, la función de distribución proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable, es decir,. Cumple las siguientes condiciones: Su valor es cero para todos los puntos situados a la izquierda del menor valor de la variable. Su valor es 1 para todos los puntos situados a la derecha del mayor valor de la variable. F( x) = X x)

7 Distribución normal. Hay muchas v.a. continuas cuya función de densidad tiene forma de campana. Ejemplos: - La variable peso en una población de personas de la misma edad y sexo. - La variable altura de la población citada. - etc. Se dice que estas variables tienen una distribución normal y la función de densidad recibe el nombre de curva normal o campana de Gauss. Para expresar que una v.a. continua X, tiene una distribución normal de media µ y desviación típica σ, escribimos. N( µ, σ ) Distribución normal estándar. De las infinitas distribuciones, tiene especial interés la de media 0 y desviación típica 1, es decir,. Esta distribución recibe el nombre de estándar. Existen unas tablas que permiten calcular probabilidades en distribuciones normales reducidas. Por ello es aconsejable transformar cualquier v.a. X que sigue que sigue una distribución normal en otra variable Z que siga una distribución N(0,1). El cambio de variable que es necesario hacer es el siguiente: Manejo de las tablas: Z 1,3) µ Z = X σ

8 Aproximación de la distribución binomial mediante la normal. (Corrección de Yates) Cuando n es grande y p está próximo a 0,5 el comportamiento de una distribución binomial B(n, p) es aproximadamente igual a una distribución normal, N( np, npq) Suele considerarse que la aproximación es buena cuando np>5 y nq>5 EJERCICIO 18: Se lanza una moneda correcta al aire 400 veces. Calcula la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 10, ambos inclusive.