Introducción al Tema 7. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones.

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1 Introducción al Tema 7 1 Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones. V.A. de uso frecuente Tema 7. Modelos probabiĺısticos discretos Uniforme discreta. Bernoulli, binomial, geométrica y binomial negativa. Hipergeométrica Poisson. Tema 8. Modelos probabiĺısticos continuos

2 2 Tema 7. Modelos probabiĺısticos discretos Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: La distribución uniforme discreta. Ensayos de Bernoulli. Distribuciones binomial, geométrica y binomial negativa. La distribución hipergeométrica. Sucesos raros y la distribución de Poisson. Aproximación a la binomial con p pequeño. Lecturas recomendadas: Capítulo 16 del libro de Peña y Romo (1997) y las secciones 4.5 a 4.7 de Newbold (2001).

3 Distribución uniforme discreta 3 Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución uniforme discreta sobre n puntos {x 1, x 2,..., x n } si su función de probabilidad es: Pr(X = x i ) = 1, para todo i {1, 2,..., n}. n Media: E[X] = n i=1 x i Pr(X = x i ) = 1 n n i=1 x i = x. Momento de orden p: E[ X p ] = 1 n n i=1 x i p. Varianza: V [X] = E[X 2 ] E 2 [X] = 1 n n i=1 x2 i x2 = 1 n n i=1 (x i x) 2. Si {x 1, x 2,..., x n } es a su vez una muestra aleatoria, el proceso de tomar muestras de la variable X es lo que se conoce en la literatura como bootstrap. Como vemos, en ese caso, la variable X reproduce las características (media, varianza, momentos) de la muestra original.

4 Distribución uniforme discreta - Ejemplo 4 Ejemplo 1. Suponga que tiramos una vez un dado no trucado. Defina una variable aleatoria que modele el resultado de la tirada y diga su función de masa, media y varianza. X = i si en la tirada del dado sale el número i, con i {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pr(X = i) = 1/6, es decir, todos los resultados son igualmente probables. E[X] = = 3,5. V [X] = ,5 2 2,9167.

5 El modelo de Bernoulli 5 Supongamos que hacemos un experimento simple de lanzar una vez una moneda sesgada con p = Pr(cruz). Definimos una variable X como X = { 1 si sale cruz 0 si sale cara es decir que X = el número de cruces. En este caso, se dice que X tiene una distribución de Bernoulli con parámetro p. Una variable con sólo dos posibles resultados (cruz / cara, éxito / fracaso,...) donde se da un valor de 1 en caso de cruz (éxito) y 0 en caso de cara (fracaso) tiene una distribución de Bernoulli. El experimento se llama un ensayo de Bernoulli.

6 Media y varianza de una variable Bernoulli 6 Sea X una variable Bernoulli con parámetro p: E[X] = p 1 + (1 p) 0 = p E [ X 2] = p (1 p) 0 2 = p V [X] = E [ X 2] E[X] 2 = p p 2 = p(1 p) DT [X] = p(1 p)

7 7 Ejemplo 2. Se sabe que una máquina produce un 3 % de piezas defectuosas. Elegimos una pieza al azar para comprobar si no presenta defectos. Cómo se distribuye la variable X que vale 1 si la pieza no es defectuosa y 0 si es defectuosa? Cuáles son su media y su varianza? X sigue una distribución Bernoulli con parámetro 0,97. Su media y varianza son E[X] =,97 V [X] =,97,03 =,0291 Ejemplo tomado de Pe~na y Romo (1997).

8 Distribución binomial 8 Supongamos ahora que se repite un ensayo de Bernoulli n veces de forma independiente. Por ejemplo, se tira n veces una moneda con p = Pr(cruz), y que se quiere la distribución de X = el número de cruces. Esta distribución se llama la distribución binomial con parámetros n y p. Definición 1. Una variable X tiene distribución binomial con parámetros n y p si ( ) n Pr(X = x) = p x (1 p) n x x ( ) n n! para x = 0, 1,..., n donde = x x!(n x)!. En este caso, se escribe X B(n, p). Por tanto, la distribución Bernoulli es el caso especial X B(1, p).

9 9 Ejemplo 3. La probabilidad de que Ronaldo marque un gol de penalti es 0,8. Cuál es la distribución del número de goles que marca en los siguientes 6 penaltis? Supuestos X B(6, 0,8) Cuál es la probabilidad de que marque todos los 6 penaltis? ( ) 6 Pr(X = 6) = 0,8 6 (1 0,8) 6 6,262 6 Y la probabilidad de que falle por lo menos uno? Pr(X < 6) = 1 Pr(X = 6) =,738

10 10 Ejemplo 4. Volviendo al Ejemplo 2, supongamos que se eligen 10 piezas al azar. Si X es el número de piezas defectuosas, cuál es la distribución de X? X B(10, 0,03) Igualmente, si Y es el número de piezas buenas, Y B(10, 0,97) Cuál es la probabilidad de que se encuentre por lo menos una pieza defectuosa? Pr(X 1) = 1 Pr(X = 0) ( ) 10 = 1 0,03 0 (1 0,03) ,263

11 Media y varianza de una variable binomial Teorema 1. Sea X B(n, p). Entonces, E[X] = np V [X] = np(1 p) DT [X] = np(1 p) 11 Demostración Propiedades de E[ ] y V [ ] Escribimos X = X 1 + X X n donde cada X i es un ensayo de Bernoulli. E[X] = E[X 1 + X X n ] = E[X 1 ] E[X n ] = p p = np V [X] = V [X 1 + X X n ] = V [X 1 ] V [X n ] = np(1 p).

12 12 Ejemplo 5. Volvemos a con el ejemplo de Ronaldo. El número medio de goles en 6 penaltis es E[X] = 6 0,8 = 4,8 La desviación típica es DT [X] = 6 0,8 0,2 0,98. Ejemplo 6. El número medio de piezas defectuosas en una muestra de 10 es 10 0,03 = 0,3 La desviación típica es 10 0,03 0,97 0,54.

13 Uso de tablas de la distribución binomial 13 Calcular directamente probabilidades binomiales a través de la fórmula puede ser trabajoso. Más fácil es usar tablas de la distribución binomial. En Peña y Romo (1997), se proporcionan tablas de las probabilidades de k éxitos en una distribución binomial con n ensayos y probabilidad p de éxito: Ejemplo 7. Sea X B(15, 0,2). Hallar Pr(X = 3) y Pr(X 3). Pr(X = 3) = 0,2501 Pr(X 3) = 3 x=0 Pr(X = x) =,0352 +,1319 +,2309 +,2501 =,6481 Estas tablas sólo consideran el caso p 0,5. Qué hacemos si p > 0,5?

14 Distribución geométrica 14 Hemos visto que si se tira una moneda (con p = Pr(cruz)) n veces, entonces el número de cruces se distribuye como binomial. Consideramos otro experimento relacionado. Vamos a seguir tirando la moneda hasta que veamos la primera cruz Cuántas tiradas necesitamos? Sea X el número de tiradas. Pr(X = 1) = p Pr(X = 2) = (1 p)p Pr(X = 3) = (1 p) 2 p. =. Pr(X = x) = (1 p) x 1 p La distribución de X se llama la distribución geométrica.

15 15 Definición 2. Una variable X tiene una distribución geométrica con parámetro p si Pr(X = x) = (1 p) x 1 p para x = 1, 2,... En este caso, se escribe X G(p). Teorema 2. Si X G(p), entonces E[X] = 1 p, V [X] = 1 p DT [X] = p 2 1 p p 2. y

16 16 Ejemplo 8. Volvemos al Ejemplo 3. Supongamos que Ronaldo está ensayando tiros de penalti y que dejará de ensayar cuando marque por primera vez. Cuál es la probabilidad de que Ronaldo marque por primera vez en su quinto penalti? Sea X el número de penaltis que necesita para marcar su primer gol, suponemos que X G(0,8). Pr(X = 5) = 0,2 4 0,8 =,00128 Cuál es el número esperado de penaltis que necesita para marcar? La esperanza de X es 1/0,8 = 1,2 penaltis. Se irá pronto a casa...

17 17 Ejemplo 9. En el Ejemplo 2, supongamos que se inspeccionarán piezas hasta encontrar la primera pieza defectuosa. Cuál es la probabilidad de que se necesiten inspeccionar 4 o menos piezas para encontrar la primera pieza defectuosa? Sea Y el número de inspecciones necesarias, suponemos que Y G(0,03). Pr(Y 4) = = 4 Pr(Y = y) y=1 4 0,97 y 0,03 y=1 0,115 Cuál es el número esperado de inspecciones necesarias? El número esperado de inspecciones necesarias es 1/0,03 =

18 18 Ejemplo 10. (Junio de 2003) Andrés y Pedro se plantean el siguiente juego: se lanza al aire un dado equilibrado con seis caras numeradas de uno a seis. Se considera que el jugador gana cuando el resultado del dado es cuatro o seis, y recibe diez euros. En otro caso, no recibe nada. Cada apuesta (un lanzamiento) es de cinco euros. 1) Si Andrés juega en cinco ocasiones, cuál es la probabilidad de que acierte a lo sumo una vez? 2) Cuál es el número medio de aciertos en esas cinco ocasiones? 3) Pedro jugará tantas veces como sea necesario hasta conseguir acertar una vez. Calcular la probabilidad de que tenga que jugar al menos tres veces. Obtener el número medio de veces que tiene que jugar para conseguir su objetivo. 4) Cuál será el beneficio medio obtenido por cada jugador?

19 19 1) Sea X el número de aciertos de Andrés. ( X B 5, 1 ) 3 ( ) ( ) 1 ( ) Pr(X = 1) = = ,329. 2) El número medio de aciertos es ,67. 3) Sea Y el número de jugadas necesarios. Y G(1/3) Pr(Y 3) = 1 Pr(Y < 3) = 1 {Pr(Y = 1) + Pr(Y = 2)} { 1 = } = = 0,4 4 El número medio de jugadas necesarias es 1 1/3 = 3.

20 20 4) El beneficio medio de Andrés sería E[10X] 5 5 = = 25 3 es decir que en promedio, Andrés pierde 8,33 euros. El beneficio medio de Pedro es 10 E[5Y ] = = 5 y entonces, en promedio, Pedro pierde 5 euros. La estrategia de Pedro es mejor, en promedio, que la de Andrés.

21 Distribución binomial negativa 21 Hemos visto que si se tira n veces una moneda con p = Pr(cruz), entonces el número de cruces se distribuye como una binomial. Consideramos otro experimento relacionado. Vamos a seguir tirando la moneda hasta que obtengamos exactamente n cruces. Cuántas caras (fallos) se observan? Sea X el número de fallos. Para que X = x se necesita que: En las primeras x + n 1 tiradas haya exactamente n 1 éxitos. La n-ésima tirada sea un éxito. La variable X sigue una distribución binomial negativa.

22 22 Definición 3. Una variable X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y n si Pr(X = x) = ( n + x 1 n 1 En este caso, se escribe X BN(p, n). ) p n (1 p) x para x = 0, 1, 2,... Teorema 3. Si X BN(p, n), entonces E[X] = V [X] = DT [X] = n(1 p), p n(1 p) p 2 n(1 p) p 2. y

23 Ejemplo 11. Volvemos al Ejemplo 3. Supongamos que Ronaldo está ensayando tiros de penalti y que dejará de ensayar cuando marque 20 veces. Cuál es el número esperado de tiros que fallará antes de irse a casa? Sea X es el número de fallos, suponemos que X BN(0,8, 20). La esperanza de X es 20(1 0,8) 1/0,8 = 5 penaltis. 0,8 Cuál es la probabilidad de que Ronaldo tire exactamente 25 veces? ( ) Pr(X = 5) = 0,8 20 (1 0,8) 5 = 0, Cuál es la probabilidad de que falle más de 5 veces? Pr(X > 5) = 1 Pr(X 5) = 1 5 x=0 Pr(X = x) 0,6167 Excel: NEGBINOMDIST(núm fracasos;núm éxitos;prob éxito)

24 Distribución hipergeométrica 24 Supongamos que tenemos una población de N individuos, D poseen una característica dada (por ejemplo, están empleados) y N D no la poseen (desempleados). Consideremos el experimento de obtener una muestra simultanea de n individuos. Equivalentemente, podemos ir extrayendo la muestra uno a uno hasta tener los n individuos pero no devolvemos los individuos a la población: Muestreo sin reemplazamiento. Denotamos por X el número de individuos que poseen la característica de interés en la muestra de n. La variable X sigue una distribución hipergeométrica.

25 Definición 4. Una variable X tiene una distribución hipergeométrica con parámetros N, D y n si ( ) ( ) D N D x 25 Pr(X = x) = ( N n n x ), con máx(0, n N + D) x mín(d, n). Teorema 4. Si X HG(N, D, n), entonces E[X] = Dn N D(N D)n(N n), y V [X] = N 2. (N 1) Si llamamos p = D N, entonces E[X] = np y V [X] = np(1 p)n n N 1 Qué nos recuerda el ĺımite N de E[X] y V [X]? Qué distribución aproxima a la HG(N, D, n) cuando N y D/N p?

26 26 Ejemplo 12. En estudio sobre la relación entre el nivel de estudio y paro, se realiza una encuesta de 100 personas (sin reemplazamiento) en una comunidad con personas en edad laboral y una tasa de paro del 5 %. Sea X el número de personas encuestadas que están en paro. a) Proponga una distribución para X y diga su función de masa, media y varianza. b) Calcule la probabilidad de obtener exactamente 5 personas en paro. a) X HG(10000, 500, 100) cuya media es 5 y la varianza es 4,7030 b) ( ) ( ) Pr(X = 5) = 5 95 ( ) = 0, Si, incorrectamente hubiésemos utilizado una B(n = 100, p = 0,05) los resultados habrían sido: Media = 5, Varianza = , Pr(X = 5) = 0,1800.

27 Sucesos raros y la distribución de Poisson 27 La distribución del número de sucesos raros (llamadas de teléfono, emisiones de partículas radioactivos, accidentes de tráfico, número de erratas) que ocurren en un periodo fijo del tiempo (una hora, un segundo, un año, una página) es la llamada distribución Poisson. Definición 5. Una variable X tiene distribución Poisson con parámetro λ si Pr(X = x) = λx e λ para x = 0, 1, 2,... x! En este caso, se escribe X P oisson(λ). Teorema 5. Si X P oisson(λ), entonces E[X] = λ, V [X] = λ y DT [X] = λ.

28 28 Ejemplo 13. El número medio de erratas por transparencia es 0,2. Cuál es la probabilidad de que en una transparencia no haya erratas? Sea X el número de erratas. Supondremos que X P oisson(0,2) Pr(X = 0) = 0,20 e 0,2 0! = e 0,2 0,8187 Y la probabilidad de que haya 2 o más erratas? Pr(X 2) = 1 Pr(X < 2) = 1 Pr(X = 0) Pr(X = 1) ( 0,2 0 e 0,2 = 1 + 0,21 e 0,2 ) 0! 1! 1 (0, ,1637) = 0,0176.

29 Teorema 6. Si X Pr(λ) es el número de sucesos raros en una unidad de tiempo e Y representa el número de sucesos raros en un tiempo t, entonces Y Pr(tλ). 29 Ejemplo 14. En promedio, hay 50 incendios serios cada año en una localidad a) Cuál es la probabilidad de que no haya ningún incendio mañana? El número medio de incendios serios al t = año es 50. El número medio de incendios serios en un día es ,137, y si suponemos que el número de incendios es P oisson(0,137) tenemos que la probabilidad de cero incendios mañana es 0,137 0 e 0,137 0,872. 0! b) Dada la suposición anterior, cuál es la distribución del número de incendios en un año? P oisson(365 0,137) = P oisson(50).

30 30 Ejemplo 15. Volvemos al Ejemplo 13. Este tema tiene 40 transparencias Cuál es el número medio de erratas en el tema? Sea Y el número de erratas en el tema. Si X P oisson(0,2), entonces Y P oisson(40 0,2) y E[Y ] = 8. Cuál es la probabilidad de que el tema contengan por lo menos una errata? Pr(Y > 0) = 1 Pr(Y = 0) = 1 80 e 8 0! 1 0,00034 = 0,99966 Ejercicio importante: Detectarla(s) antes del examen.

31 Tablas de la distribución Poisson 31 Igual que con la distribución binomial, en el libro de Peña y Romo (1997) hay tablas de la distribución Poisson para varios valores de λ. Ejemplo 16. Si X P oisson(3). Hallar Pr(X = 2) y Pr(X 2). Pr(X = 2) = 0,2240 Pr(X 2) = 1 Pr(X < 2) = 1 Pr(X = 0) Pr(X = 1) = 1 0,0498 0,1494 = 0,8008 Excel: POISSON(x;media;acumulado)

32 Aproximación de la distribución binomial mediante la distribución Poisson 32 Sea X B(n, p) donde p es pequeña y n es grande. Llamemos λ = np, Pr(X = x) = = ( n x ) p x (1 p) n x = n(n 1)... (n x + 1) n x = n (n 1) n n... (n x + 1) n ( n! λ (n x)! x! n λ x ( 1 λ x! n λ x x! ) n x ( 1 λ ) n x n ) x ( 1 λ ) n x n λx x! e λ. El resultado implica que para n grande (n > 50) y p pequeño, (p < 0,1) entonces se pueden aproximar probabilidades binomiales a través de la distribución Poisson.

33 Aproximación de la distribución binomial mediante la distribución Poisson B(100, 1/100) B(200, 1/200) B(300, 1/200) B(400, 1/400) B(500, 1/500) B(600, 1/600) B(700, 1/700) B(800, 1/800) B(900, 1/900) B(1000, 1/1000) Poisson(1) B(50, 0.01) P(0.5) B(50, 0.02) P(1.0) B(50, 0.03) P(1.5) B(50, 0.04) P(2.0) B(50, 0.05) P(2.5) B(50, 0.06) P(3.0) B(50, 0.07) P(3.5) B(50, 0.08) P(4.0) B(50, 0.09) P(4.5) B(50, 0.10) P(5.0)

34 34 Ejemplo 17. Sea X B(100, 0,05). Estimar Pr(X 3). E[X] = 100 0,05 = 5 Aproximando y usando las tablas de la distribución Poisson, se tiene Pr(X 3) = 3 Pr(X = x) x=0 0, , , ,1404 = 0,2650 La solución exacta usando la distribución binomial es 0,2578, la diferencia es 0,0072. Excel: POISSON(x;media;acumulado) DISTR.BINOM(núm éxito;ensayos;prob éxito;acumulado)

35 Recapitulación 35 Tema 7. Modelos probabiĺısticos discretos Ensayos de Bernoulli. Distribuciones binomial, geométrica y binomial negativa. Distribución hipergeométrica. V.A. Bernoulli y asociadas. Muestreo en poblaciones finitas. Distribución de Poisson. Aproximación a la binomial con p pequeño. Modelo para contar sucesos poco frecuentes

36 36 Tema 7. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones. V.A. de uso frecuente Tema 7. Modelos probabiĺısticos Bernoulli, binomial, hipergeométrica, Poisson, etcétera. discretos Tema 8. Modelos probabiĺısticos continuos Uniforme, exponencial, Pareto, Normal, etcétera.