TEMA 2: Estimadores y distribuciones en el muestreo. Alfredo García Hiernaux. Grupos 69 y 73 Estadística I. Curso 2006/07

Transcripción

1 TEMA 2: Estimadores y distribuciones en el muestreo

2 1) Introducción 2) Tipos de muestreos 3) Estadísticos INDICE 4) Estimadores y propiedades 5) Distribución muestral 6) Teorema Central del Límite 7) Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales

3 1) Introducción Definiciones Ejemplo 1: Estudio de la altura de los españoles Población (universo): Conjunto de elementos de referencia (todos los españoles) Parámetro: valor representativo de una población (esperanza, varianza, d.t.) Muestra: Subconjunto representativo de la población. La muestra permite inferir características de la población. Estadístico: Es una medida cuantitativa derivada de la muestra Estimador: Es una función de la muestra que aproxima el valor de un parámetro

4 2) Muestreos: Muestreo Aleatorio Simple (MAS): Si cada elemento tiene la misma probabilidad de ser elegido y los elementos se seleccionan de forma independiente Muestreo Estratificado: Si la población se divide en clases o estratos homogéneos Muestreo por conglomerados: Si la población se divide en clases tan heterogéneas como la población De ahora en adelante supondremos una m.a.s de una o varias variables aleatorias

5 M.A.S. Si es una m.a.s de n variables aleatorias entonces: son independientes y, Cada v.a. tiene la misma función de distribución y por tanto, n se denomina tamaño muestral Denotamos por una realización de una m.a.s. de n v.a. (Ejemplo 1 - continuación)

6 3) Estadísticos Un estadístico es una función de una muestra y por tanto un v.a. Algunos estadísticos de uso común son: Y no deben confundirse con sus correspondientes momentos poblacionales:

7 4) Estimadores Un estimador es un estadístico que se aproxima al valor de un parámetro. Estimación: Supongamos una realización de una m.a.s con. El problema de estimación se reduce a aproximar el valor del vector de parámetros θ, que es más acorde con la muestra f X ( x, θ ) (Ejemplo 2)

8 4) Estimadores: Propiedades Propiedades recomendables para un estimador: Insesgadez Eficiencia Consistencia Robustez Error cuadrático medio

9 5) Distribución muestral La distribución de probabilidad correspondiente a un estadístico se denomina distribución muestral. ( x, θ ) Independientemente de la distribución de la m.a.s, X es posible calcular los momentos poblacionales de los estadísticos muestrales: f De donde es sencillo obtener la desviación típica.

10 6) Teorema Central del Límite f ( x, θ ) indep con cualquiera, y X Y, por lo tanto,

11 7) Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales Estimador de la esperanza cuando la varianza es conocida: Por ejemplo, si entonces se distribuye como o tipificando

12 7) Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales

13 7) Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales Estimador de la varianza: De la misma manera, es posible obtener la esperanza y la varianza poblacional de la varianza muestral: A partir de este resultado, se define la cuasi-varianza muestral como: y, por tanto,

14 7) Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales El cálculo de la varianza de la varianza muestral es más complicado y para eso usamos el lema de Fisher:

15 7) Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales Puesto que

16 7) Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales Estimador de la esperanza cuando la varianza es desconocida: Entonces,

17 7) Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales