Estadística Inferencial. Sesión 4. Estimación por intervalos

Transcripción

1 Estadística Inferencial. Sesión 4. Estimación por intervalos

2 Contextualización. Como se definió en la sesión anterior la estimación por intervalos es utilizada para medir la confiabilidad de un estadístico. Existen diferentes métodos tal es el caso de los intervalos de confianza para medias o para proporciones poblacionales. En esta sesión aprenderemos a medir esta confiabilidad a través de la diferencia entre dos medias poblacionales independientes, la diferencia entre dos proporciones poblacionales y la varianza poblacional. Fuente:

3 Introducción. Un problema industrial que surge con frecuencia es el de comparar dos métodos de producción y determinar cuál es mejor y por cuánto. Como se menciona en el enunciado anterior en muchas ocasiones lo que necesitamos es comparar la eficiencia de dos métodos, esto lo podemos hacer a través de conocer sus medias poblacionales. Podemos comparar que tan iguales son, si existen entre ellas alguna diferencia y que tan significativa es. Para situaciones de este tipo podemos estimar la diferencia entre las medias poblaciones considerando las muestras que se tienen de cada una de las poblaciones.

4 Intervalos de confianza para diferencias de medias y proporciones. Los límites de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales, en el caso de poblaciones infinitas y tienen desviación estándar conocidas σ 1, σ 2 están dados por: x1 x 2 ± z c σ σ 2 2 n 1 n 2 ; Donde x 1, n 1 y x 2, n 2 son las medias y el tamaño respectivos de las dos muestras tomadas de la población.

5 De manera similar, los límites de confianza de la diferencia entre dos proporciones de poblaciones, donde estas son infinitas, están dados por: P 1 P 2 ± z c P 1 (1 P 1 ) n 1 + P 2(1 P 2 ) n 2 ; Donde P 1 y P 2 son las proporciones muestrales y n 1 y n 2 son los tamaños de las dos muestras tomadas de las poblaciones.

6 Valores de z α/2 para los niveles de confianza más usados: Nivel de α α/2 z α/2 confianza 90% % %

7 Ejemplos: Problema 1. Una muestra de 150 focos de marca A mostró una vida media de 1400 horas y una desviación estándar de 120 horas. Una muestra de 200 focos de marca B mostró una vida media de 1200 horas y una desviación estándar de 80 horas. Determinar los límites de confianza para a) 95% y b) 99% de las vidas medias de las poblaciones de marcas A y B. Los límites de confianza de la diferencia de dos medias de las marcas A y B están dados por: σ 2 1 x 1 x 2 ± z c + σ 2 2 n 1 n 2

8 a) Sustituyendo los valores en la formula, tenemos que: ± 1.96 (120) (80)2 100 = 200 ± 24.8 Por lo tanto, se tiene un límite de confianza de 95% de que la diferencia de las medias poblacionales está entre 175 y 225 horas. b) Los límites de confianza para el 99% son: ± 2.58 (120) (80)2 100 = 200 ± 32.6 Por tanto, se tiene una confianza de 99% de que la diferencia de las medias poblacionales está entre 167 y 233 horas.

9 Problema 2. En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 adolescentes que vieron cierto programa de televisión, 100 adultos y 300 adolescentes indicaron que les gustó. Determinar los límites de confianza para a) 95% y b) 99% de la diferencia de proporciones de todos los adultos y todos los adolescentes que vieron el programa y les gustó. Los límites de confianza para la diferencia de proporciones de los dos grupos están dados por: P 1 P 2 ± z c P 1 (1 P 1 ) n 1 + P 2(1 P 2 ) n 2 Donde los subíndices 1 y 2 se refieren a los adolescentes y adultos, respectivamente, por lo tanto tenemos que P 1 = 300/600= 0.5 y P 2 = 100/400 = 0.25, éstas son las proporciones de adolescentes y adultos que si les gusto el programa.

10 a) Los límites de confianza de 95%: ± (1 0.5) (1 0.25) 400 = 0.25 ± 0.06 Por tanto, se tiene una confianza de 95% de que la diferencia verdadera en proporciones se encuentra entre 0.19 y 031 b) Los límites de confianza para 99%: ± (1 0.5) (1 0.25) 400 = 0.25 ± 0.08 Por tanto, se tiene una confianza de 99% de que la diferencia verdadera en proporciones se encuentra entre 0.17 y 0.33.

11 Intervalos de confianza para la varianza poblacional de una distribución normal. Fórmula para calcular los límites de confianza de 95% utilizando la distribución ji cuadrada: S n 1 x σ S n 1 x 0.025

12 Conclusión. En esta sesión aprendimos a estimar los límites de confianza para diferencias de dos medias y dos proporciones poblacionales independientes, así como también para la varianza poblacional. Se demostró que esta estimación permite inferir si hay o no diferencia significativa entre los valores de las poblaciones en cuestión. En la siguiente sesión iniciaremos nuestro aprendizaje con las Pruebas de hipótesis, su definición y sus componentes así como también conoceremos los dos tipos de errores que se pueden tener en este método de estimación. Fuente: ptynw2vvmwe/t20hhtswdpi/aaaaaaaabg0/a4eugkl11i8/s320/que-es-unahipotesis.jpg

13 Bibliografía. Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13:

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