TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

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1 Material de clase n 2 Domingo 13 Junio TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL A medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal con una media x = µ y un error estándar de σx = σ n. Toda distribución de probabilidad, puede describirse, mediante su media y su distribución estándar. Formulas del error estándar de la media 1 σx = σ n Población infinita. Se conoce la varianza de la población σ 2 2 σx = S n 1 Población infinita. Se desconoce la varianza 3 σx = σ n. N n n 1 Población finita. Factor de corrección por finitud El termino N n n 1 se llama multiplicador o factor de corrección de población finita y su efecto es el de disminuir el error estándar de la media. Si el factor de corrección es cercano a 1 este producirá poco efecto en los cálculos del error estándar de la distribución muestral de la media. Para

2 detectar rápidamente la conveniencia del uso del factor de corrección se usa la expresión n = fracción de muestro. N Cuando esta fracción es menor que 0.05, no es necesario usar el factor de corrección. APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS Es calcular la probabilidad de obtener una muestra con valor determinado Z = x μ σx = x μ σ n Donde: Z = ecuación normalizada o estandarizada µ = media de la población x = media de la muestra σx = error estándar de la media. Ejemplo N 1 Considérese una población normal con media poblacional igual a 100 y una desviación estándar de 20. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de tamaño 16. Cuál es la probabilidad de que esta muestra tenga una media entre 90 y 110?

3 Solución: µ = 100 σ= 20 n = 16 P (90 < x < 110) El error estándar es igual a: σx = σ n = = 5 Los valores Z para 90 y 110 son: Si x = 90 Z= x μ σ n Z = = 2.00 Si la media es igual a 110 entonces Z = = 2.00 La probabilidad es igual: P ( -2.00, 2-00) = P(-2.00, 0) + P(0,2.00) = = Entonces P (90 < x < 110) = = 95.44% Ósea la probabilidad de que tenga un valor medio entre 90 y 110 es o 95.44%.

4 EJERCICIOS EN CLASE 1- La distribución de las ganancias actuales de todas las cajeras de un banco tiene un sesgo negativo. Esta distribución tiene una media de Lps. 15,000 y una desviación estándar de Lps. 2,000. Si se extrae una muestra aleatoria de 30 cajeras Cuál es la probabilidad de que sus ganancias promedio sean más de Lps.15,750? 2- Cuál es el error estándar de la media? Si el tamaño de la población es 20 compañías textiles, la desviación estándar es de 75 empleados. Si se muestrean 5 de esas compañías textiles. 3- Las latas de gaseosas vendidas en Miramarket tienen un promedio de 16.1 oz. Con una desviación estándar de 1.2 oz. Si se toma una muestra de 200 latas. Cuál es la probabilidad de que la media sea: a) Menor que 16.27? b) Por lo menos 15.93? c) Entre 15.9 y 16.3?

5 TAREA 1- La población de millas recorridas por camioneros de la empresa Standar Fruit presenta una media de 8,500 con una desviación estándar de 1,950. Si se toma una muestra de 100 conductores. Cuál es la probabilidad de que la media sea : a) Mayor que 8,900? b) Menor que 8,000? c) Entre 8,200 y 8,700? d) Entre 8,100 y 8,400? 2- Una encuesta realizada por la asociación Nacional de Educación revelo que los estudiantes de último año de secundaria ven televisión un promedio de 37.2 horas por semana. Se asume que la desviación estándar es de 5.4 horas. En una muestra de 500 estudiantes. Qué tan probable es que la media muestral sea : a) Más de 38 horas? b) Menos de 36.6? c) Entre 36.4 y 37.9? 3- Si una población normal tiene una desviación estándar de 25 unidades. Cuál es el error estándar de la media, si se utiliza muestra de tamaño: a) n = 16 b) n= 25 c) n= 50 d) n= 100 e) n=150

6 4- Se tiene una población de tamaño 80 con una media de 22 y una desviación estándar de 3.2 Cuál es la probabilidad de que una muestra de tamaño 25 tenga una media entre 21 y 23.5? 5- Las estaturas de unos niños de un jardín están distribuidas normalmente con una media de 39 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas. a) Si se selecciona un niño aleatoriamente Cuál es la probabilidad de que tenga una estatura entre 38 y 40 pulgadas? b) Se utiliza como muestra un grupo de 30 niños Cuál es la probabilidad de que la media del grupo exceda a 40 pulgadas?

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