Estadística para la toma de decisiones

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1 Estadística para la toma de decisiones

2 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 1 Sesión No. 7 Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables continúas. Objetivo Al término de la sesión el estudiante diferenciará las distribuciones de probabilidad continuas, a través de la resolución de ejercicios para practicar el cálculo de probabilidad con la distribución normal estándar y resolver problemas del área económica administrativa. Contextualización En esta sesión se estudian las variables aleatorias continuas tipo uniforme, exponencial y normal; así como la distribución de probabilidad normal estándar mayormente utilizada en los procesos estadísticos. Trabajaremos directamente con el cálculo de probabilidades a través de la variable normal estándar y aprenderemos a usar la tabla de probabilidades de esta misma distribución.

3 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 2 Introducción al Tema Cuál es la característica primordial de una variable aleatoria continua? Sabes definir una variable como aleatoria continúa? Cuál es la característica principal de una variable aleatoria normal? Fuente: Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar valores dentro de un rango ininterrumpido.

4 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 3 Explicación Las distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas son: Distribución uniforme, Distribución exponencial Distribución normal y normal estandarizada. Distribución uniforme Si definimos una variable aleatoria continua x como aquella que está entre a x b cuya función de probabilidad es: f(x) = 1 b a, entonces decimos que x tiene una distribución uniforme continua. Características: Una distribución uniforme en el rango de cero a uno, es la base para generar valores a otras distribuciones de probabilidad. Sirve para estimar el comportamiento de las variables aleatorias cuando se tiene poca información sobre estas, porque se asume que varían aleatoriamente entre dos valores (a, b). Distribución exponencial Esta distribución se usa en fenómenos de líneas de espera para representar los tiempos entre llegadas de clientes a un sistema. Otras aplicaciones son el tiempo para completar una tarea y el tiempo de falla en componentes electrónicos. Su función está dada por: f(x, λ) = λe λx, para 0 < x < Fuente:

5 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 4 Distribución normal La variable aleatoria normal x representa el comportamiento de muchos fenómenos naturales, sociales, económicos, industriales, etc. Por lo que es de bastante uso. La distribución se origina cuando el número de ensayos en una variable aleatoria discreta se vuelve muy grande. Fuente: Características de la curva normal: También es llamada Campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal. Es simétrica respecto a su valor central (μ) Su punto máximo coincide con la media(μ) Tiene puntos de inflexión situados a ambos lados de la media (μ) a una distancia (±nσ) de ella. (n = 1,2,3) Su área total bajo la curva es 1 (100%) Esta función no tiene una solución sencilla para calcular valores de probabilidad, por lo que se requiere de una variable especial llamada variable normal estándar (z).

6 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 5 Distribución normal estándar. La distribución de probabilidad normal es una curva simétrica en forma de campana. La curva en su totalidad vale 1, como es simétrica si se divide a la mitad, cada una de ellas vale 0.5, porque = 1.00 que es el área total de esta curva. Observe la Figura 1. Figura 1. Distribución de probabilidad normal Para trabajar con la distribución normal se utiliza la distribución normal estándar, esta distribución se divide a la mitad con la media que vale cero y con desviaciones estándar de valor 1. Observe la Figura 2. Figura 2. Distribución normal estándar 1.00 x = media aritmética s = desviación estándar -3s -2s -1s x 1s 2s 3s Variable transformada en valores de Variable x Recuerde que la desviación estándar es la distancia promedio que hay entre un punto y la media, por ejemplo, la distancia que hay entre x (0) y s (1) es una desviación estándar o la distancia que hay entre x y -3s es tres desviaciones estándar. Observe la Figura 3. No existen distancias negativas, entonces una desviación estándar negativa sólo indica que ésta ubicada a la izquierda de la media y una desviación estándar positiva ésta ubicada a la derecha de la media.

7 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 6 Figura 3. Distancia de la media y una desviación estándar -3s -2s -s x s 2s 3s 1 desviación estándar 3 desviaciones estándar Con la distribución normal se calculan áreas bajo la curva, por ejemplo, el área que hay entre la media y una desviación estándar positiva se presenta en la Figura 4. Esta área tiene un valor que a continuación se explicará como obtenerla. Figura 4. Área entre la media y una desviación estándar positiva x s Área Cuando se presenta un problema a resolver con la distribución normal la variable implicada x se transforma a un valor de z, que son las unidades en términos de desviaciones estándar que utiliza la distribución normal, la fórmula empleada para esta transformación es la siguiente. estándar Valor z: z = x x s donde: z = valor en términos de desviaciones x = media aritmética s = desviación estándar

8 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 7 Para calcular los valores de z se utiliza la Tabla 1 Áreas bajo la curva normal estándar, que se presenta a continuación. Ejemplo 1. Suponga que a varios solicitantes de trabajo se les hace una prueba de aptitud. Los resultados de la prueba forman una distribución normal con media aritmética de 80 y una desviación estándar de 4. a) Qué proporción de resultados obtuvieron entre 80 y 84? b) Qué proporción de resultados se encuentra entre 75 y 83? c) Qué proporción de resultados quedaron entre 75 y 78? d) Qué proporción de resultados es superior a 85? e) Qué proporción de resultados está abajo de 85?

9 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 8 a) Qué proporción de solicitudes obtuvieron entre 80 y 84? x = 80 s = 4 Si x = 80 z = x x = = s 4 4 = 0 como x es la media el valor de z siempre es 0, la media es el centro entonces NO tiene área. x x Si x = 84 z = = = = 1 una desviación estándar, su área es s Variable transformada en valores de z Variable x, resultados de la prueba P(80 x 84) = P(0 z 1) = ó 34.13% Para obtener el área se utiliza la Tabla 1 Áreas bajo la curva normal estándar, al valor de 1, se le agregan dos ceros porque la distribución normal emplea un entero y dos decimales, es decir, 1.00, entonces se busca 1.0 en la columna z y como falta un cero busco en la columna.00, la intersección de estas columnas es la área, es decir, b) Qué proporción de resultados se encuentra entre 75 y 83? x x Si x = 75 z = = = = 1.25 desviaciones estándar, su área es s 4 4 x x Si x = 83 z = = = = su área es s 4 4

10 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES P(75 x 83) = P( 1.25 z 0.75) = P( 1.25 z 0) + P(0 z 0.75) = = ó 66.78% La Tabla 1 Áreas bajo la curva normal estándar presenta sólo valores positivos, pero, como es simétrica, la área de 1.25 y 1.25 es el misma. Entones para obtener el área de 1.25 se busca 1.2 en la columna z y como falta un cinco busco en la columna.05, la intersección de estas columnas es la área, es decir, Para la área de 0.75 se busca.7 en la columna z y como falta un cinco busco en la columna.05, la área es decir, c) Qué proporción de resultados quedaron entre 75 y 78? x x Si x = 78 z = = = = 0. 5 desviaciones estándar, su área es s

11 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 10 P(75 x 78) = P( 1.25 z 0.5) = P( 1.25 z 0) P( 0.5 z 0) = = ó 20.29% d) Qué proporción de resultados es superior a 85? x = 80 s = 4 Si x = 85 z = x x = = s 4 4 = su área es P(x > 85) = P(z > 1.25) 0.5 = P(z 0) P(0 z 1.25) = = ó 10.56% e) Qué proporción de resultados está abajo de 85?

12 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 11 P(x < 85) = P(z < 1.25) = P(z 0) + P(0 z 1.25) = = ó 89.44%

13 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 12 Conclusión Las distribuciones continuas vistas en esta sesión son las más importantes en el uso de variables continuas. De la distribución normal vimos su descripción, gráfica y características y por qué se utiliza la variable normal estandarizada. La distribución normal estándar es la de uso más extendido dentro de las aplicaciones de probabilidad. Ello debido a que modela prácticamente cualquier fenómeno presente en situaciones de todo tipo.

14 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 13 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando el siguiente sitio de Internet. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias. Distribución normal. Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

15 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 14 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de la distribución de probabilidad normal resuelve los siguientes ejercicios: 1. El proceso de empaque de una productora de cereales ha sido ajustado para que cada paquete contenga un promedio de 13 onzas de cereal. A causa de las fuentes aleatorias de variabilidad la desviación estándar del peso neto real es de 0.10 onzas, y se sabe que la distribución de pesos sigue una distribución normal de probabilidad. Determine la probabilidad de que: a) Un paquete aleatoriamente elegido contenga entre 13 y 13.2 onzas. b) El peso del cereal exceda de onzas. c) El peso del cereal se encuentre entre 12.9 y 13.1 onzas. 2. Una persona con una buena historia crediticia tiene una deuda promedio de $ Suponga que la desviación estándar es de $3540 y que los montos de las deudas están distribuidos normalmente. a) Cuál es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea mayor a $18,000? b) De qué la deuda de una persona con buena historia crediticia sea de menos de $10,000? c) De qué de la deuda de una persona con buena historia crediticia este entre $12,000 y $18,000? d) De qué la deuda de una persona con buena historia crediticia sea mayor a $14,000? 3. De acuerdo con la Sleep Foundation, en promedio se duermen 6.8 horas por noche. Suponga que la desviación estándar es 0.6 horas y que la distribución de probabilidad es normal.

16 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 15 a) Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar duerma más de ocho horas? b) De qué una persona tomada aleatoriamente duerma 6 horas o menos? c) Los médicos aconsejan dormir entre siete y nueve horas por noche. Qué porcentaje de la población duerme esta cantidad? Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.

17 ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. 16 Bibliografía Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning. ISBN: Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (2012): Estadística descriptiva. México: Pearson Educación Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (2008): Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-Hill. Cibergrafía Ángel, J. Sedano, M. Vila, A. (s.f.). La distribución normal. Recuperado de: Hernández, J. (s.f.). Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias. Recuperado de: 20discretas.pdf Lejarza, J. (s.f.). Distribución normal. Recuperado de: