( x) Distribución normal

Transcripción

1 Distribución normal por Oliverio Ramírez La distribución de probabilidad más importante es sin duda la distribución normal (o gaussiana), la cual es de tipo continuo. La distribución de probabilidad para la variable aleatoria normal, tiene la siguiente expresión matemática: En donde, ( x) 1/ x µ 1 2 σ = e σ 2π π = constante pi (valor aproximado ). e = constante matemática (aproximadamente igual a ). μ = representa la media de la población. σ = desviación estándar de la población, X = es cualquier valor de la variable aleatoria continua. f 2 En esta ecuación se observa que la función incluye dos constantes (π y e), por lo que el valor de la probabilidad de una variable x, sólo dependerá de la media (μ) y de la desviación estándar (σ). Su gráfica, que se muestra a continuación, tiene forma de campana, por lo que algunos le llaman campana de Gauss, en honor al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss. Figura 1. 1

2 Figura. 2. La mitad del área de la curva localizada por encima de la media (μ), representa la mitad de las observaciones, mientras que la otra mitad la representa el área situada debajo de la media Es importante señalar que el área total limitada por la campana y el eje x es 1 y por eso, cuando se desea conocer la probabilidad de que un valor x se encuentre entre dos puntos a y b, es necesario calcular el área bajo la curva. Si se pretende hacer un estudio acerca de una población a partir de la distribución de probabilidad asociada a la variable aleatoria normal, es necesario conocer la media (μ) y la varianza (σ2) de la distribución, pero debido a que éstos dependen del problema específico bajo estudio, será necesario determinar las probabilidades para cada distribución. Para la Universidad con una media de 165 centímetros, toma como ejemplo la campana de Gauss y si cambias la forma en como se dispersan los datos, es decir, si supones que la menor estatura medida es 140 y la mayor es 190 centímetros, la campana se aplanará y se extenderá. El comportamiento original se muestra en la gráfica en rojo, la gráfica con los cambios está en azul. Figura. 3. Gráfica de Gauss, comportamiento Original. Figura. 4. Gráfica de Gauss, comportamiento Modificado. 2

3 Para evitar calcular la probabilidad para distintas campanas, la variable aleatoria x se acostumbra expresar en unidades de la desviación estándar; la fórmula para llevar a cabo este cambio de variable es, z = x µ σ Usando este cambio de variable, la ecuación para la distribución de probabilidad se convierte en: f ( x) = 1 z e 2π En esta ecuación, z se distribuye normalmente con media igual a cero ( ) y varianza igual a 1. La gráfica de esta curva normal estandarizada o tipificada se muestra a continuación: Figura. 5. Curva Normal Estandarizada En la gráfica se han señalado las áreas comprendidas entre z= -1 hasta z= +1, de z= -2 a z=+2 y de z= -3 a z= +3, que son 68.27%, 95.45% y 99.73% respectivamente del área total que es 1. 3

4 La interpretación de esas áreas es que si un conjunto de datos se distribuye en forma normal, la probabilidad de que z se encuentre entre -1 y +1 es de 68.27%. De la misma manera, la probabilidad de que z se encuentre en el intervalo -2 a +2 es de 95.45%. Por último, la probabilidad de que una observación se encuentre entre z=-3 y z=+3 es del 99.73%; esta es otra aplicación directa de la desviación estándar. La complejidad para realizar los cálculos del área bajo la curva normal que representan la probabilidad de ocurrencia de una observación, se evita mediante la utilización de tablas en las que, a partir de valores conocidos de z, se puede determinar el valor del área comprendida y por ende, la probabilidad. Existen varias formas en las que se pueden presentar este tipo de tablas, pero en esta actividad de aprendizaje sólo se usará la tabla que a continuación se muestra. La siguiente tabla exhibe el área para valores de z hasta de La gráfica pequeña localizada en la parte superior derecha de la tabla, expresa que los valores mostrados por la tabla son valores positivos de z, sin embargo, debido a que la curva normal es simétrica, esto es, es idéntica en ambos lados del cero (o eje de simetría), los valores negativos de z, se pueden determinar usando los valores positivos. Figura. 6. Valores Positivos de Z 4

5 Distribución normal z Tabla 1. Tabla de Distribución Normal, para valores de z hasta 3.99 Los siguientes ejemplos tienen la finalidad de familiarizarte con la tabla z, cálculos de áreas, probabilidades y unidades tipificadas (z), antes de iniciar con ejemplos de aplicación. 5

6 Los ejemplos que se detallan, responden las siguientes interrogantes: 1. Cuál es el área comprendida entre z=0 y z=1.25? 2. Cuál es área comprendida entre z=0 y z=1.86? 3. Cuál es el área comprendida entre z=0 y z= -1.3? 4. Cuál es el área comprendida entre z=-0.52 y z= 0.84? 5. Cuál es el área comprendida para valores mayores que z= 1.67? 6. Cuál es el área para valores menores que z= 0.93? Soluciones 1) Cuál es el área comprendida entre z=0 y z=1.25? La tabla muestra los valores de área (o probabilidad) entre z=0 y z=3.99, como se te pide hallar el área entre z=0 y z=1.25, debes encontrar el valor z=1.2 en el eje vertical y luego el valor z=0.05 (que sumados forman z=1.25) en el eje horizontal; en el cruce se encuentra el resultado. En la tabla se marca en color rojo el dato buscado. Por lo que, P(z se encuentra entre z=0 y z=1.25)= =39.44% Figura. 7 P(z=0 y z=1.25). 2) Cuál es área comprendida entre z=0 y z=1.86? Es el mismo procedimiento, se marca en café el resultado P(0< z < 1.86)=0.4686=46.86% 6

7 Figura. 8. P(0< z < 1.86) 3) Cuál es el área comprendida entre z=0 y z= -1.3? La tabla sólo muestra valores de z=0 y mayores, pero como la curva es simétrica, el área a la derecha es exactamente la misma que a la izquierda, por tal motivo, en lugar de buscar el valor de z= -1.3, localizamos z= En la tabla se marca en azul. P(0< z < -1.3)=0.4032=40.32% Figura. 9. P(0< z < -1.3) 4) Cuál es el área comprendida entre z=-0.52y z= 0.84? La gráfica del área comprendida es: 7

8 Figura. 10. P(z=-0.52y z= 0.84) Como la tabla de valores sólo te proporciona valores a partir de z=0, es necesario calcular dos áreas: 1) entre z=0 y z=- 0.52, 2) entre z=0 y z= Cuando tengas el resultado de las dos áreas, necesitas sumarlas para hallar el área pedida. En la tabla se marcan en verde los valores correspondientes. (Área entre z=-0.5 y z=0)= (Área entre z=0 y z=0.84)= Por lo tanto, el área buscada es: Área total= =0.498 (Recuerda que el área encontrada representa en realidad un valor de probabilidad). 5) Cuál es el área comprendida para valores mayores que z= 1.67? El área que se te pide está representada en la siguiente figura: Como la tabla sólo da valores desde z=0 hasta un cierto valor de z, el procedimiento para hallar este tipo de áreas es: 1) encontrar el área entre z=0 y z=1.67, 2) como el área de la mitad de la campana es 0.5, resta el resultado del punto (1) para encontrar el resultado. Los datos se muestran en la tabla en color morado. (Área entre z=0 y z=1.67) = Área buscada= =

9 Figura. 11. P(z=1.67) 6) Cuál es el área para valores menores que z= 0.93? Figura. 12. P(z=0.93) En la gráfica se aprecia que el área pedida incluye la primera mitad de la campana mas la porción de área que va de z=0 a z=0.93. Por ello debes encontrar el área entre z=0 y z=0.93 y sumarle 0.5 (área de la mitad de la campana). Los datos de la tabla se encuentran señalados en naranja. El área para valores menores que z=0.93 es: El área total pedida es: = Para continuar con la práctica y manejo de la tabla Z, pero también de la fórmula de transformación de valores x a valores tipificados z, a continuación se te muestran algunos ejemplos de aplicación. 9

10 Recuerda que z = x µ σ En donde, Z= valor tipificado X= valor real de la observación μ= media σ= desviación estándar Ejemplo 1 En una granja de cerdos, la media de los pesos de los cerdos fue 83 kilogramos y la desviación típica fue 18. Determina los valores tipificados (unidades en desviaciones estándar) de los cerdos que pesaron: a) 65 b) 70 c) 86 d) 95 Figura 13. La fórmula para transformar de valores x a valores z, es z = x µ. σ Debido a que se te pide el valor tipificado (z), correspondiente a cada peso medido y se cuenta con los valores de x, μ y σ, sólo necesitas sustituir los valores conocidos del ejercicio en la fórmula de transformación. En la siguiente tabla se te muestra la sustitución de los valores y los resultados obtenidos. a) b) x µ z = = = 1 σ 18 x µ z = = = 0.72 σ 18 c) d) z = x! µ 86!83 = = +0.16! 18 x µ z = = = σ 18 Tabla 2. Sustitución de los valores y los resultados obtenidos. Es conveniente que realices los cálculos para verificar que sean correctos, además de que te sirve de práctica. 10

11 Ejemplo 2 En un examen final de Estadística, la media fue 75 y la desviación típica fue 10. Se le informó a tres estudiantes que sus calificaciones tipificadas son: a) z=-2, b) z= 1, c) z=2.2, qué calificaciones obtuvieron estos tres estudiantes? El procedimiento es similar, sólo que ahora conoces z y debes encontrar x, por lo que primero es necesario despejar x, tienes, Entonces, x µ z = ; σ zσ = x µ zσ + µ = x x = zσ + µ Y con esta fórmula puedes encontrar los valores pedidos. a) x = ( 2)(10) + 75 = 55 b) x = ( 1) = 81 c) x = ( 2.2) = 93 Ejemplo 3 La media de los pesos de 350 trabajadores de una empresa productora de leche es de 73 kilogramos y la desviación típica es 16 kilogramos. Si supones que los pesos se distribuyen de forma normal, determina el número de trabajadores que pesan: a) Entre 68 y 70 kilogramos b) Más de 80 kilogramos a) Lo primero que necesitas hacer, es convertir los pesos en unidades de desviaciones estándar, es decir, debes encontrar qué valor de z les corresponde. z = x! µ 68! 73 =! 16 x µ =! z = = = σ 16 11

12 ..continuación Ejemplo 3 Ahora que ya tienes los valores correspondientes z, debes calcular el área comprendida entre estos dos valores. (Área entre z=-0.31 y z=-0.18) = = Como los 350 trabajadores están representados por toda el área de la curva normal, para encontrar el número de trabajadores que pesan entre 68 y 70 kilogramos, multiplica 350 por el valor encontrado, entonces tienes: (350)(0.1931= estudiantes Como no puede haber medios trabajadores, el resultado se debe redondear, en este caso a 67 trabajadores. En este tipo de cálculos, aunque las tablas están construidas con una buena aproximación, el resultado sigue siendo una aproximación, pero para muchos casos prácticos con esto es suficiente. Recuerda que el área bajo la curva normal también te dice la probabilidad de ocurrencia del evento en cuestión, por ejemplo, el valor significa que existe una probabilidad de 19.31% de que un trabajador pese entre 68 y 70 kilogramos. b) Usa el mismo procedimiento. Primero encuentra la z que corresponde con los 80 kilogramos. x µ z = = = σ 16 Este valor de z se puede aproximar al valor más cercano, en este caso, 0.44 que corresponde con un área de Nuevamente, se multiplican los 350 trabajadores por 0.17 y obtienes (350)(0.17)=59.5 Otra vez tienes que redondear y aunque en esta ocasión 59 y 60 son dos opciones prácticamente iguales, se elige 60 porque lo que se te pide es hallar el número de trabajadores, cuyo peso sea mayor que 80 kilogramos (recuerda que 59.5 representa los 80 kilogramos). Retomando el valor 0.17, existe una probabilidad de 17% de que los trabajadores pesen más de 80 kilogramos. 12

13 Ejemplo 4 Una máquina industrial utiliza cojinetes cuyo diámetro debe ser de pulgadas. Para el buen funcionamiento de los cojinetes, los límites establecidos son y 0.71 pulgadas. Se tienen registros que el diámetro real de los cojinetes sigue una distribución normal con una media de pulgadas y una desviación estándar de pulgadas. a) Cuál es la probabilidad de que un cojinete cumpla con los límites establecidos? b) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de los cojinetes no cumpla con el límite inferior establecido? c) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de los cojinetes supere el límite máximo establecido? Para estar en condiciones de dar respuesta a las preguntas formuladas, puedes trazar una gráfica normal y plasmar en ella los datos del problema, con el propósito de entender con qué cuentas y qué te están pidiendo. Figura 13. Ejemplo de Gráfica Distribución Normal Entonces necesitas encontrar a qué valor de z corresponden los valores x conocidos. Usando la fórmula de transformación, tienes: x µ x µ z = = = 1.8 z = = = 1. 2 σ σ

14 continuación Ejercicio 4 Localizando estos valores en la gráfica, Figura 14. Localización de z en la gráfica a) Cuál es la probabilidad de que un cojinete cumpla con los límites establecidos? Ahora puedes contestar esta pregunta. La probabilidad de que un cojinete cumpla con las especificaciones es igual al área contenida entre z=-1.8 y z=+1.2. El área entre z=-1.8 y z=+1.2 es: =0.849, por lo que la probabilidad de que un cojinete se encuentre en este rango de valores es del 84.9%. Figura 15. P(z=1.8 y z=+1.2) 14

15 continuación Ejercicio 4 b) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de los cojinetes no cumpla con el límite inferior establecido? La siguiente figura muestra el área que representa la probabilidad solicitada. Figura 16. p(z=1.8) Buscando nuevamente en la tabla Z, el área de la región señalada en azul es: =0.0359, por lo que la probabilidad de que un cojinetes se encuentre en esta región es de 3.59%. c) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de los cojinetes supere el límite máximo establecido? La siguiente figura muestra el área que representa la probabilidad solicitada. Figura 18. P(z=+1.2) Buscando nuevamente en la tabla Z, el área de la región señalada en verde es: =0.1151, por lo que la probabilidad de que un cojinetes se encuentre en esta región es de 11.51%. 15

16 Referencias Kazmier, L. (2006). Estadística Aplicada a Administración y Economía. México: McGrawHill. Levin, R. (1996). Estadística para Administradores. México: Prentice Hall. Pagano, R. (2003). Estadística para las ciencias del comportamiento. México: Thomson Editores. 16