Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 9: Medidas de Posición para Datos Agrupados por Clases

Transcripción

1 1 Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas Lección 9: Medidas de Posición para Datos Agrupados por Clases Creado por: Dra. Noemí L. Ruiz Limardo, EdD 2010 Derechos de Autor

2 2 Objetivos 1. Calcular percentiles y cuartiles para datos agrupados por clases. 2. Realizar análisis estadístico relacionado con medidas de posición para datos agrupados por clases.

3 3 Introducción Para calcular las medidas de posición cuando los datos están agrupados por clases se aplica una fórmula similar a la que se estudió en una lección anterior. Esta fórmula se utilizó para calcular la mediana cuando los datos están agrupados por clases. La fórmula se fundamenta en el concepto de frecuencia acumulada. La mediana, además de ser una medida de tendencia central, es una medida de posición. Por lo tanto, lo que aplica a la mediana como medida de posición, también aplica a las medidas de posición que se estudian en esta lección, los percentiles y los cuartiles. A continuación se presentan los percentiles y cuartiles, en ejemplos con conjuntos de datos que están agrupados por clases. A. PERCENTILES Los percentiles son 99 valores que dividen la muestra ordenada en 100 partes iguales. Estos valores son: P 1 (Percentil 1), P 2 (Percentil 2),..., P 99 (Percentil 99). El primer percentil (P 1 ) es el punto tal que 1% de los datos se hallan por debajo de él. El percentil 25 (P 25 ) es el punto tal que 25% de los datos se hallan por debajo de él. El percentil 50 (P 50 ) es el punto tal que 50% de los datos se hallan por debajo de él. En las lecciones anteriores se estudió cómo se calculan los percentiles cuando hay datos crudos y cuando los datos están agrupados por valor simple. Cuando los datos están agrupados por clases se utiliza la siguiente fórmula: ( x% n) P x Finf f fa w P x representa el percentil x. F inf es la frontera inferior de la clase donde está localizado P x.. (x%. n) significa x% del total de n. (Recuerda que para calcular el x% de n hay que convertir x% a decimal.) fa es la frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase donde está localizado P x. f es la frecuencia absoluta de la clase donde está localizado P x. n es el total de datos en la muestra. w es el ancho de clase o intervalo. A continuación se ilustra en el Ejemplo 1 cómo se aplica la fórmula anterior.

4 4 Ejemplo 1 Una escuela elemental solicita que como requisito de admisión los estudiantes tomen una prueba de aptitud sicológica que se administra en la escuela. La puntuación máxima de la prueba es 100. En el año 2009 se administró la prueba a un grupo de 200 estudiantes que solicitaban admisión a la escuela. Los resultados se muestran en la Tabla 1. La escuela admitió en el 2009 los estudiantes que estaban sobre el percentil 80 ( ). Determine el percentil 80 ( ) y diga cuántos estudiantes de esta muestra fueron admitidos en el Tabla 1: Puntuaciones en Prueba de Aptitud Sicológica de 200 estudiantes PUNTUACIONES Total 200 Paso 1: Para hallar se necesita añadir a la tabla anterior la columna de frecuencias acumuladas. La Tabla 2 a continuación presenta estas frecuencias.

5 5 Tabla 2: Puntuaciones en Prueba de Aptitud Sicológica de 200 estudiantes PUNTUACIONES ACUMULADAS (fa) Total 200 Paso 2: Para sustituir en la fórmula de percentil se necesita determinar primero la clase donde está localizado. Esto se determina hallando (x%. n). En este ejemplo n es 200, por tanto hay que hallar cuál es el 80% de 200 multiplicando 80% por 200. Para realizar el cálculo matemático hay que convertir el por ciento a decimal. Si se convierte 80% a decimal se obtiene Ahora se puede multiplicar 0.80 por 200 y se obtiene: (0.80). 200 = 160 Esto significa que la clase donde está localizado es la clase donde se acumulan los primeros 160 datos. Paso 3: Se localiza la posición de la clase mirando en la columna de frecuencias acumuladas donde se acumulan los primeros 160 datos, como se ilustra a continuación.

6 6 Tabla 2: Puntuaciones en Prueba de Aptitud Sicológica de 200 estudiantes PUNTUACIONES ACUMULADAS (fa) Localización de Total 200 Paso 4: Ahora se puede sustituir en la fórmula de. ( x% n) P x Finf f fa w

7 Se obtuvo que el percentil 80 es Para contestar la pregunta sobre cuántos estudiantes fueron admitidos se observa en la tabla que 79.5 es la frontera superior de la quinta clase. Significa que solo fueron admitidos los estudiantes que están sobre este percentil. Sobre este percentil están las frecuencias absolutas de la sexta, séptima y octava clase. Las frecuencias de estas clases son: 20, 10 y 10. Esto totaliza 40 estudiantes. Por tanto, hubo 40 estudiantes que fueron admitidos en el Ejemplo 2 Una universidad privada realizó un estudio para conocer las edades de los estudiantes con el propósito de dirigir su campaña de mercadeo a los intereses de los mismos. Recopiló la información que aparece en la Tabla 3 sobre una muestra de 1,982 estudiantes representativos de todos sus programas académicos y niveles (bachillerato, maestría y doctorado). La Oficina de Mercadeo dirigirá la campaña hacia las edades donde se concentre el por ciento de la muestra que esté entre P 20 y el. Determine la edad que representa P 20 y. Tabla 3: Edades de una muestra de 1,982 estudiantes representativos de la Universidad X EDADES TOTALES 1,982

8 8 Paso 1: Para hallar P 20 y se necesita añadir a la tabla anterior la columna de frecuencias acumuladas. La Tabla 4 a continuación presenta estas frecuencias. Tabla 4: Edades de una muestra de 1,982 estudiantes representativos de la Universidad X EDADES ACUMULADAS (fa) TOTALES 1,982 Paso 2: Para sustituir en la fórmula de percentil se necesita determinar primero la clase donde está localizado P 20 y. Esto se determina hallando (x%. n). En este ejemplo n es 1,982, por tanto hay que hallar cuál es el 20% de 1,982 y el 80% de 1,982. A continuación se ilustra este proceso: (0.20). 1,982 = (0.80). 1,982 = 1,585.6 Esto significa que la clase donde está localizado P 20 es donde se acumulan los primeros 396 datos (el resultado está redondeando) y la clase donde está localizado es la clase donde se acumulan los primeros 1,586 datos (el resultado está redondeando). Paso 3: Se localiza la posición de la clase P 20 y mirando en la columna de frecuencias acumuladas donde se acumulan los primeros 396 datos y los primeros 1,586 correspondientes, como se ilustra a continuación.

9 9 Tabla 4: Edades de una muestra de 1,982 estudiantes representativos de la Universidad X EDADES ACUMULADAS (fa) , , , , , , , , ,982 TOTALES 1,982 Localización de P 20. Localización de. Paso 4: Ahora se puede sustituir en la fórmula de P 20 y. P 20 ( x% n) P x Finf f fa w ( x% n) P x Finf f fa w , ,453 P P P P P

10 10 P P Se obtuvo, redondeando al entero más cercano, que P 20 es aproximadamente 27 años y es aproximadamente 47 años. Significa que la Oficina de Mercadeo considerará solamente las edades entre 27 y 47 años (27 < x < 47) para dirigir su campaña, según los propósitos del estudio. B. CUARTILES En las lecciones anteriores se estudió el significado de cuartil. Según discutido en la lección anterior, los cuartiles son 3 valores que dividen la muestra ordenada en 4 partes iguales. Estos valores son: Q 1 (primer cuartil), Q 2 (segundo cuartil), y Q 3 (tercer cuartil). El primer cuartil (Q 1 ) es el punto tal que 25% de los datos se hallan por debajo de él. El segundo cuartil (Q 2 ) es el punto tal que 50% de los datos se hallan por debajo de él. El tercer cuartil (Q 3 ) es el punto tal que 75% de los datos se hallan por debajo de él. En las lecciones anteriores se mostró que el primer cuartil equivale al percentil 25, el segundo cuartil equivale a la mediana y al percentil 50, y el tercer cuartil equivale al percentil 75. Como los tres cuartiles Q 1, Q 2, y Q 3, se pueden representar como los percentiles P 25, P 50, y P 75, respectivamente, para calcular los cuartiles cuando los datos están agrupados por clases se utiliza la misma fórmula de los percentiles presentada en la sección anterior. De esta manera se utiliza una sola fórmula, la de los percentiles. Para poder aplicar la fórmula de percentiles, primero hay que convertir los cuartiles a percentiles y entonces se puede utilizar dicha fórmula. El Ejemplo 3 a continuación muestra cómo se determinan los cuartiles cuando los datos están agrupados en clases. Ejemplo 3 Los datos de la Tabla 5 a continuación representan las lecturas de presión sanguínea sistólica (en milímetros de mercurio-mmhg) de una muestra aleatoria de 200 estudiantes universitarios. Determine los tres cuartiles.

11 11 Tabla 5: Lecturas de presión sanguínea sistólica (en milímetros de mercurio-mmhg) de una muestra aleatoria de 200 estudiantes universitarios PRESIÓN SISTÓLICA en mmhg TOTALES 200 Paso 1: Para hallar los tres cuartiles Q 1, Q 2, y Q 3, primero se convierten a su equivalente en forma de percentil. Q 1 = P 25 Q 2 = P 50 Q 3 = P 75 Ahora hay que realizar el mismo proceso que el de hallar el P 25, P 50, y P 75. Paso 2: Para hallar P 25, P 50, y P 75 se necesita añadir a la tabla anterior la columna de frecuencias acumuladas. La Tabla 6 a continuación presenta estas frecuencias. Tabla 6: Lecturas de presión sanguínea sistólica (en milímetros de mercurio-mmhg) de una muestra aleatoria de 200 estudiantes universitarios PRESIÓN SISTÓLICA en mmhg ACUMULADAS (fa) TOTALES 200

12 12 Paso 3: Para sustituir en la fórmula de percentil se necesita determinar primero la clase donde está localizado P 25, P 50, y P 75. Esto se determina hallando (x%. n). En este ejemplo n es 200, por tanto hay que hallar cuál es el 25% de 200, 50% de 200, y el 75% de 200. A continuación se ilustra este proceso: (0.25). 200 = 50 (0.50). 200 = 100 (0.75). 200 = 150 Esto significa que la clase donde está localizado P 25 es donde se acumulan los primeros 50 datos, la clase donde está localizado P 50, es donde se acumulan los primeros 100 datos, y la clase donde está localizado P 75 es la clase donde se acumulan los primeros 150 datos. Paso 4: Se localiza la posición de la clase P 25, P 50, y P 75 mirando en la columna de frecuencias acumuladas donde se acumulan los primeros 50 datos, los primeros 100 datos y los primeros 150 datos correspondientes, como se ilustra a continuación. Tabla 6: Lecturas de presión sanguínea sistólica (en milímetros de mercurio-mmhg) de una muestra aleatoria de 200 estudiantes universitarios PRESIÓN SISTÓLICA en mmhg ACUMULADAS (fa) TOTALES 200 Localización de P 25. Localización de P 50 y P 75. Paso 5: Ahora se puede sustituir en la fórmula de P 25, P 50, y P 75.

13 13 P 25 P 50 P 75 ( x% n) P x Finf f fa w ( x% n) P x Finf f fa w ( x% n) P x Finf f fa w P P P P P P P P P 75 P P P 75 P P P 75 Se obtuvo que P 25 es aproximadamente 111 mmhg, P 50 es aproximadamente 122 mmhg, y P 75 es aproximadamente 133 mmhg, redondeando al entero más cercano. Por tanto, Q 1, Q 2, y Q 3 es aproximadamente 111, 122 y 133 mmhg, respectivamente.

14 14 EJERCICIOS EJERCICIO 1 Considere los siguientes datos de la tabla a continuación: Tabla 7: Salario Mensual por Familia en una comunidad CLASE FRECUENCIA FRECUENCIA ACUMULADA 1,001 1, ,501 2, ,001 2, ,501 3, TOTAL 100 A. Halle los tres cuartiles (Q 1, Q 2 y Q 3 ) B. Halle P 5, P 50, P 75 C. Verifique que Q 2 = P 50 D. Verifique que Q 3 = P 75 EJERCICIO 2 La tabla a continuación representa el peso en libras de una muestra de 75 niños de quinto grado. Tabla 8: Peso en libras de una muestra de 75 niños de quinto grado PESO EN LIBRAS TOTALES 75 A. Determine Q 1 y P 60.

15 15 RESPUESTAS A EJERCICIOS EJERCICIO 1 A. Los tres cuartiles son: Q 1 = 1,563.5 Q 2 = 1,876 Q 3 = 2,251 B. Los percentiles solicitados son: P 5 = 1,125 P 50 = 1,876 P 75 = 2,251 C. Se observa que Q 2 = P 50 = 1,876, por tanto, son equivalentes. D. Se observa que Q 3 = P 75 = 2,251, por tanto, son equivalentes. EJERCICIO 2 A. Q 1 = P 60 = 59.73