MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE PRECISIÓN

Transcripción

1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE PRECISIÓN Cuando se analiza un conjunto de datos, normalmente muestran una tendencia a agruparse o aglomerarse alrededor de un punto central. Para describir ese conjunto de datos, se utilizan las medidas de tendencia central, las más comunes son: la media aritmética, la mediana, la moda. MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética, es el promedio o medida de tendencia central que se utiliza con mayor frecuencia. Se representa por X, para su cálculo, se presentan tres situaciones Cuando se tiene todas las observaciones X: media aritmética de la muestra n: tamaño de la muestra x i : cada observación de los datos a analizar Ejemplo: se le pregunto a los integrantes de la asignatura de estadística la edad, las respuestas fueron: 21, 22, 20, 19, 22, 23, 24, 21 Se observa que se tiene los datos de cada observación, entonces se aplica la fórmula para la media aritmética, donde: n = 8, la muestra x i son cada una de las edades X: = 21,5 Claudia Victoria Quintero García Página 1

2 Lo que significa que en promedio la edad del grupo de estadística es de 21 años Nota: si las observaciones están tabuladas en Excel, simplemente aplica a todos los datos la función PROMEDIO Cuando se tiene la tabla de frecuencias sin agrupar X: media aritmética de la muestra n: tamaño de la muestra x i : modalidad o categoría de cada variable n i : frecuencia absoluta simple de cada x i Ejemplo: se tiene la renta anual en millones de 56 familias, a continuación se tiene la tabla de distribución de frecuencias Renta (xi) anual 18, , , , , , ,05 9 N de Viviendas (ni) n = 56 x i es la modalidad o categoría de la variable, en este caso es Renta anual n i es la frecuencia absoluta, es decir el número de vivienda que tiene cada una de las rentas anuales. Claudia Victoria Quintero García Página 2

3 Procedimiento: 1. Calcular cada xi*ni 2. Calcular la muestra n = ni 3. Calcular la xi*ni 4. Aplicar la formula Renta anual (xi) N Viviendas (ni) Xi*ni 18, ,55 21, ,1 24, ,75 26, ,3 29, ,15 32, ,5 35, , ,8 X: = 28,78 La renta anual promedio de las 56 viviendas es de $ Cuando se tiene la tabla de frecuencias agrupada en intervalos: Se debe primera calcular el valor medio de cada intervalo (marca de clase), que es la suma de ambos dividida por 2 y ese valor representa el X i X: media aritmética de la muestra n: tamaño de la muestra x i : es el valor media del intervalo i n i : frecuencia absoluta simple de cada x i Claudia Victoria Quintero García Página 3

4 Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de frecuencias agrupada, donde la variable es ingresos anuales en millones de pesos Li Ls ni n = 70 x i es el valor medio de cada intervalo, se debe calcular sumando ambos intervalos y dividendo en 2 n i es la frecuencia absoluta, es decir el número que se repite cada intervalo Procedimiento: 1. Se calcula el valor medio de cada intervalo 2. Calcular cada xi*ni 3. Calcular la muestra n = ni 4. Calcular la xi*ni 5. Aplicar la formula Li Ls Xi (valor medio) ni Xi*ni Claudia Victoria Quintero García Página 4

5 X = 159,71 Es decir una persona recibe por ingresos anuales en promedio $ MEDIANA La mediana, representada por X Me, de un conjunto de valores x1, x2, x3, xn, es el valor que divide la muestra en dos partes iguales, después de ordenados en forma ascendente o descendente, representa el 50% de los datos, es decir que la mediana es aquel valor que deja el 50% de las observaciones por debajo de el y el otro 50% por encima de el. Cuando se tiene todas las observaciones Se ordenan los datos, si n es impar es el valor de la mitad y si n es impar se seleccionan los dos datos de la mitad y se divide por 2. Nota: Si las observaciones están tabuladas en Excel, simplemente aplica a todos los datos la función MEDIANA Ejemplo: se le pregunto a los integrantes de la asignatura de estadística la edad, las respuestas fueron: 21, 22, 20, 19, 22, 23, 24, 21 n = 8, la muestra y es par x i son cada una de las edades Procedimiento: 1. Se ordenan los valores 19, 20, 21, 21, 22, 22, 23, Como n es par, se escogen los dos valores de la mitad, en este caso son 21, Se suman y se divide por 2 Claudia Victoria Quintero García Página 5

6 X me = 21,5 Lo que significa que el 50% de los estudiantes tienen 21 años o menos y el otro 50% de los estudiantes 21 años a más. Cuando se tiene la tabla de frecuencias sin agrupar: se calcula mediante el siguiente procedimiento 1. Se halla n/2 2. Se ubica el X i cuya frecuencia absoluta acumulada Ni contiene a n/2. 3. Ese es el valor de la mediana Ejemplo: se tiene la renta anual en millones de 56 familias, a continuación se tiene la tabla de distribución de frecuencias i Renta anual (xi) N de Viviendas (ni) 1 18, , , , , , ,05 9 Procedimiento: 1. Calcular n/2 = 56/2 = Se calcula la frecuencia absoluta acumulada 3. Se ubica la frecuencia absoluta acumulada que contenga 28, es decir la frecuencia acumulada es La mediana es Claudia Victoria Quintero García Página 6

7 i Renta anual (xi) N de Viviendas (ni) xini Ni 1 18, , , , , , , , , , , , , ,45 56 = 29,65 El 50% de las viviendas tiene una renta anual de $ o menos y el otro 50% de $ o más. Cuando se tiene la tabla de frecuencias agrupada en intervalos: se calcula mediante el siguiente procedimiento 4. Se halla n/2 5. Se ubica el X i cuya frecuencia absoluta acumulada Ni contiene a n/2. X me : mediana de la muestra n: tamaño de la muestra L i : es el límite inferior del intervalo que contiene a n/2 N i-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo que contiene a n/2 n i : frecuencia absoluta del intervalo que contiene a n/2 a : amplitud del intervalo que contiene a n/2 Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de frecuencias agrupada, donde la variable es ingresos anuales en millones de pesos Claudia Victoria Quintero García Página 7

8 Procedimiento: i Li Ls ni Calcular n/2 = 70/2 = Se calcula la frecuencia absoluta acumulada 7. Se ubica la frecuencia absoluta acumulada que contenga 35, es decir la frecuencia acumulada es Se aplica la fórmula, por medio de la educación Donde i = 4, que es la ubicación donde está la frecuencia absoluta acumulada L i = L 4 = 160 N i-1 = N 4-1 = N 3 = 31 n i = n 4 = 17 a = 20 i Li Ls Xi (valor medio) ni Ni Claudia Victoria Quintero García Página 8

9 = 164,71 Es decir el 50% de las perdonas reciben por ingresos anuales $ o menos y el otros 50% reciben $ o más. MODA La moda es útil en estudios de mercadeo. Algunos la consideran como el promedio industrial ya que la fabricación o venta de artículos está determinada por la moda. La moda, representada por X Mo, de un conjunto de valores x1, x2, x3, xn, es el valor que se presenta con mayor frecuencia. Puede ser aplicada a cualquier tipo de variable. La moda no necesariamente debe ser única, y en algunos casos no existe. Cuando existen varios valores con la misma frecuencia máxima se denomina distribución multimodal, si existen dos valores con la misma frecuencia máxima se llama distribución bimodal y si solo existe una frecuencia máxima se denomina distribución unimodal. Cuando se tiene todas las observaciones: La moda se obtiene observando el valor que más se repite Ejemplo: se le pregunto a los integrantes de la asignatura de estadística la edad, las respuestas fueron: 21, 22, 20, 19, 22, 21, 24, 21 Se observa que el valor que más se repite es 21: Lo que significa que la edad del grupo de estadística es de 21 años Nota: si las observaciones están tabuladas en Excel, simplemente aplica a todos los datos la función MODA Claudia Victoria Quintero García Página 9

10 Cuando se tiene la tabla de frecuencias sin agrupar: es el valor Xi que tiene la mayor frecuencia absoluta simple Ejemplo: se tiene la renta anual en millones de 56 familias, a continuación se tiene la tabla de distribución de frecuencias Renta (xi) anual 18, , , , , , ,05 9 N de Viviendas (ni) Se observa que la mayor frecuencia absoluta simple es 14, entonces la moda es X mo = 26,95 La renta anual más repetitiva o constante es de $ Cuando se tiene la tabla de frecuencias agrupada en intervalos: se calcula mediante el siguiente procedimiento: 1. Se ubica el intervalo (o los intervalos) de mayor frecuencia absoluta n i 2. Se calcula la moda (o las modas) mediante la siguiente formula: X mo : Moda de la muestra L i : Es el límite inferior del intervalo de mayor frecuencia absoluta simple : Diferencia entre la frecuencia absoluta mayor y la frecuencia absoluta anterior. : Diferencia entre la frecuencia absoluta mayor y la frecuencia absoluta siguiente a : amplitud del intervalo de la mayor frecuencia absoluta Claudia Victoria Quintero García Página 10

11 Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de frecuencias agrupada, donde la variable es ingresos anuales en millones de pesos Li Ls ni L i : 180 : = 1 : 18 4 =14 a = Es decir el ingreso más constante es de $ anuales Claudia Victoria Quintero García Página 11