SOLUCIONARIO Medidas de tendencia central y posición

Transcripción

1 SOLUCIONARIO Medidas de tendencia central y posición SGUICEG046EM32-A16V1 1

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Medidas de tendencia central y posición Ítem Alternativa 1 C 2 E Aplicación 3 E 4 E Comprensión 5 E 6 B 7 B 8 E 9 D Aplicación 10 C 11 A 12 E 13 A 14 C 15 D 16 E 17 A 18 D Aplicación 19 D 20 E Aplicación 21 C Comprensión 22 B Aplicación 23 A Aplicación 24 A 25 C 2

3 1. La alternativa correcta es C. La frecuencia acumulada de un dato i corresponde a la cantidad de datos de la muestra que son menores o iguales que él. Se calcula sumando todas las frecuencias desde la primera hasta la que le corresponde a i. La primera frecuencia acumulada es igual a la primera frecuencia absoluta, y la última frecuencia acumulada es igual al número total de datos de la muestra. Entonces, es posible plantear: x = y (1) x + 6 = z (2) x y = w (3) w = 24 (4) Reemplazando (1) y (4) en (3): x x = 24 2x + 6 = 24 2x = x = 18 x = 9 Reemplazando ese resultado en (2), resulta z = La alternativa correcta es E. Aplicación En un gráfico circular, la fracción de la superficie total que le corresponde a la sección circular de cada opción es igual a la fracción de la frecuencia de esa opción con respecto al total de datos. Como el total de datos es 80 y la frecuencia de la opción Artístico es 20, entonces dicha opción corresponde a la cuarta parte de los datos. Luego, la superficie que le correspondería a la opción en un gráfico circular también sería una sección circular equivalente a la cuarta parte del círculo, que queda determinada por un ángulo de centro de 90º. 3

4 3. La alternativa correcta es E. Para analizar las afirmaciones es necesario completar la tabla: Entonces I) Verdadera. II) Verdadera. Edad Marca de clase Frecuencia Frecuencia acumulada a(25) b(25) III) Verdadera, ya que al sumar todas las frecuencias absolutas el resultado es 74. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 4. La alternativa correcta es E. Comprensión Al sumar todas las frecuencias, se tiene: = 39 Por lo tanto, se hicieron 39 lanzamientos. 4

5 5. La alternativa correcta es E. I) Verdadera, ya que el grupo que prefirió Ingeniería representa 20 alumnos de un total de 80 estudiantes, es decir, un 25%. II) Verdadera, ya que el grupo que prefirió Leyes representa 32 alumnos de un total de 80 estudiantes, o sea un 40%. III) Verdadera, ya que el grupo que NO prefirió Leyes ni Ingeniería son 28 alumnos de un total de 80, vale decir, un 35%. Por lo tanto, ninguna de ellas. 6. La alternativa correcta es B. I) Falsa, ya que al ordenar los datos de menor a mayor resulta: 1, 1, 2, 2, 3. El dato que ocupa la posición central es 2, luego la mediana es 2. II) Falsa, ya que el promedio es = 1,8. III) Verdadera, ya que el dato 1 tiene frecuencia 2, el dato 2 tiene frecuencia 2 y el dato 3 tiene frecuencia 1. Entonces, son dos los datos que tienen la mayor frecuencia, es decir la muestra es bimodal (tiene dos modas). Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera. 5

6 7. La alternativa correcta es B. I) NO coinciden, ya que la moda corresponde al dato que tiene la mayor frecuencia. Como todos los datos tienen igual frecuencia, entonces la muestra no tiene moda. Luego, no es posible determinar un valor para poder comparar con la media aritmética y la mediana, que sí se pueden determinar. Entonces, no se cumplirá que coincidan la moda, la media aritmética y la mediana. II) Coinciden, ya que la moda corresponde al dato que tiene la mayor frecuencia, en este caso es 2. La media aritmética corresponde a la suma de los datos dividido por el número de datos, en este caso es 2. La mediana corresponde al dato que 4 ocupa la posición central, al ordenar todos los datos de menor a mayor. En este caso, como el número de datos es par, corresponde al promedio entre los dos datos que 2 2 ocupan la posición central, es decir: 2. Luego, moda = media = mediana = 2. 2 Entonces, coinciden la moda, la media y la mediana. III) NO coinciden, ya que la moda corresponde al dato que tiene la mayor frecuencia, en este caso es 3. La media aritmética corresponde a la suma de los datos dividido por el número de datos, en este caso es 2, 3. Luego, como la moda y la 6 media son distintas, entonces no se cumplirá que coincidan la moda, la media aritmética y la mediana. Por lo tanto, solo en la muestra II coinciden la moda, la media aritmética y la mediana. 6

7 8. La alternativa correcta es E. I) Verdadera, sumando todas las frecuencias, se tiene: = 21 lanzamientos. II) Verdadera, ya que la moda es 2 y la frecuencia de la moda es 6. III) Verdadera, ya que, si se observa la columna de la frecuencia acumulada, el número 3 corresponde al dato en la posición 11. Número Frecuencia F. Acumulada Ubicación del dato nº 11 Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 9. La alternativa correcta es D. Aplicación Para calcular el promedio (o media aritmética) en una distribución de frecuencias se utiliza x1 f1 x2 f 2 x3 f3... xn f n la expresión: x N En este caso, el número de datos de la muestra es N = ( ) = 40. Luego, reemplazando los valores conocidos: x = 13,

8 10. La alternativa correcta es C. La cantidad de datos es ( ) = 25. En consecuencia, el término central es el dato número trece. Entonces, la mediana está en el intervalo Luego: I) Verdadera, ya que se calculó anteriormente. II) Verdadera, ya que se calculó anteriormente. III) Falsa, ya que 5 no es el 25% de 25. Por lo tanto, solo la afirmación III es falsa. 11. La alternativa correcta es A. Obteniendo la frecuencia acumulada en cada caso: I) Verdadera, ya que los datos ubicados en la posición 15 y 16 están en el intervalo 5-6 II) Falsa, ya que la frecuencia más alta (moda) corresponde al intervalo 5-6 III) Falsa, no se puede determinar la nota exacta de cada alumno. Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 8

9 12. La alternativa correcta es E. Intervalos de puntajes Frecuencia Frecuencia acumulada I) Verdadera, ya que sumando todas las frecuencias: = 115, luego el total de alumnos es 115. II) Verdadera, ya que el valor central se encuentra en la posición 58, que corresponde al intervalo III) Verdadera, ya que es el intervalo que tiene mayor frecuencia. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 13. La alternativa correcta es A. I) Falsa, ya que la moda es azul. II) Verdadera, ya que 8 personas prefieren el color azul y en total hay 32, luego son 8 personas de 32, es decir, un cuarto ó 25%. III) Verdadera, ya que 6 personas prefieren el amarillo de un total de 32, es decir, 16 3 Por lo tanto, la única afirmación falsa es I. 9

10 14. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, ya que el intervalo modal es [6, 8], y su frecuencia es 7. II) Verdadera, ya que la frecuencia acumulada del primer intervalo es 3, del segundo intervalo es 8, del tercer intervalo es 11 y del cuarto intervalo es 18. Entonces, la mediana se encuentra en el intervalo que tenga los datos en la posición 9 y 10, que corresponde al tercero. Es decir, la mediana de la muestra se encuentra en el intervalo [4, 6[. III) Falsa, ya que la suma de las frecuencias es ( ) = 18. Entonces, la medición se realizó durante 18 días. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 15. La alternativa correcta es D. I) Verdadera, ya que se debe encontrar el dato ubicado en la posición 33, y éste está contenido en el intervalo 4 5. II) Falsa, ya que el intervalo modal es 4 5. III) Verdadera, ya que sumando las frecuencias podemos determinar que el total de alumnos que rindió la prueba es 65. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 10

11 16. La alternativa correcta es E. Completando la tabla con las frecuencias acumuladas se tiene Nº de Frecuencia F. Acumulada estudiantes I) Verdadera, ya que al sumar todas las frecuencias nos da un total de 30 cursos. II) III) Verdadera, ya que el quintil 3 es equivalente al percentil 60, es decir, el dato bajo el cual se encuentra el 60% de la muestra. Como son 30 datos, entonces el dato que corresponde al quintil 3 es aquel que ocupa la posición 18 (el 60% de 30 es 18). Según la tabla de frecuencia acumulada, este dato corresponde a 44. Verdadera, ya que el decil 3 es equivalente al percentil 30, es decir, el dato bajo el cual se encuentra el 30% de la muestra. Como son 30 datos, entonces el dato que corresponde al decil 3 es aquel que ocupa la posición 9 (el 30% de 30 es 9). Según la tabla de frecuencia acumulada, este dato corresponde a 42. Por lo tanto, I, II y III son verdaderas. 11

12 17. La alternativa correcta es A. En este caso, como los datos son 100, la frecuencia acumulada coincide con la frecuencia relativa porcentual acumulada. Dato Frecuencia Frecuencia relativa porcentual acumulada ( ) = ( ) = ( ) = 100 Luego: I) Falsa, ya que el percentil 30 corresponde al valor bajo el cual está el 30% de los datos de la muestra. Entonces, el percentil 30 es 2. II) III) Verdadera, ya que el decil 4 corresponde al valor bajo el cual está el 40% de los datos de la muestra. Entonces, el decil 4 es 2. Falsa, ya que el cuartil 1 corresponde al valor bajo el cual está el 25% de los datos de la muestra. Entonces, el cuartil 1 es 2. Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera. 12

13 18. La alternativa correcta es D. Aplicación Completando la tabla con las frecuencias acumuladas se tiene Distancia Frecuencia F. Acumulada (km) [0, 2[ 3 3 [2, 4[ 2 5 [4, 6[ 4 9 [6, 8[ 4 13 [8, 10[ 6 19 [10, 12] 5 24 A) Falsa, ya que el decil 8 corresponde al dato bajo el cual se encuentra el 80% de la muestra y hasta el intervalo [4, 6[ se agrupan menos del 50%. B) Falsa, ya que el percentil 15 corresponde al dato bajo el cual se encuentra el 15% de la muestra, y hasta el intervalo [8, 10[ se agrupan a más del 50% de estos. C) Falsa, ya que el quintil 1 corresponde al dato bajo el cual se encuentra el 20% de la muestra, y en este caso es el dato que ocupa entre la posición 4 y 5, y ambos pertenecen al intervalo [2, 4[. D) Verdadera, ya que el cuartil 3 corresponde al dato bajo el cual se encuentra el 75% de la muestra, y en este caso es el dato que ocupa la posición 18, elemento que pertenece al intervalo [8, 10[. E) Falsa, ya que el cuartil 2 es equivalente a la mediana, y esta es igual al promedio de los términos centrales. Al ser 24 datos, los que ocupan la posición 12 y 13 corresponde a los términos centrales y estos se encuentran en el intervalo [6, 8[. 13

14 19. La alternativa correcta es D. I) Verdadera, ya que el cuartil 1 es el dato bajo el cual se encuentra el 25% de la muestra, mientras que el quintil 1 es aquel dato bajo el cual se encuentra el 20% de la muestra. Como la muestra tiene 35 datos, y el dato 1 abarca los 10 primeros lugares, entonces este dato corresponde al quintil 1 y cuartil 1. II) Falsa, ya que el percentil 60 es el dato bajo el cual se encuentra el 60% de la muestra, mientras la mediana es el dato bajo el cual se encuentra el 50% de la muestra. Como son 35 datos, la mediana será el dato central, es decir, el dato que ocupa la posición 18 (que corresponde al dato 2), mientras que el percentil 60 es el dato que ocupa la posición 21 (correspondiente al dato 3). III) Verdadera, ya que el decil 8 corresponde al dato bajo el cual se encuentra el 80% de la muestra. Como la muestra tiene 35 datos, el dato que ocupa la posición 28 corresponde al decil 8, ya que el 80% de 35 es 28. Por lo tanto, el dato bajo el cual se encuentra el 80% de la muestra es 4. Por lo tanto, solo I y III son verdaderas. 20. La alternativa correcta es E. Aplicación El cuartil 3 corresponde al valor bajo el cual está el 75% de los datos de la muestra, para lo cual en primer lugar se debe calcular el valor de a. La suma de los porcentajes de los cinco datos debe ser igual a 100%. Luego: 18% + a% + 10% + 18% + a% = 100% 2a% + 46% = 100% 2a% = 54% a = 27 Obteniendo las frecuencias relativas porcentuales acumuladas resulta: 14

15 Dato Frecuencia relativa porcentual Frecuencia relativa porcentual acumulada Por lo tanto, el valor bajo el cual está el 75% de los datos de la muestra de los datos (cuartil 3) es La alternativa correcta es C. Comprensión A) Verdadera, ya que, según el diagrama, los datos de la muestra varían entre 5 y 17. B) Verdadera, ya que el cuartil 1 y 3 son 9 y 15, respectivamente. Por lo tanto, el rango intercuartil corresponde a la diferencia entre estos valores. C) Falsa, ya que k corresponde a la mediana, y este valor no es necesariamente el promedio entre el primer y tercer cuartil. D) Verdadera, ya que la base inferior de la caja representa al dato que corresponde al primer cuartil (9). E) Verdadera, ya que el percentil 75 es equivalente al tercer cuartil, y este está representado por la base superior de la caja (15). 15

16 22. La alternativa correcta es B. Aplicación Según el diagrama, el valor de x corresponde al tercer cuartil de la muestra. Ordenando los datos de la muestra: {14, 15, 15, 15, 15, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 19, 22, 22, 23} Como la muestra tiene 16 datos, el tercer cuartil (percentil 75) corresponde al dato que ocupa el lugar número 12. Por lo tanto, el valor de x es La alternativa correcta es A. Aplicación Traspasando los datos de la gráfica a una tabla de datos, obtenemos: Puntajes Frecuencia F. acumulada [400, 475[ 4 4 [475, 550[ 9 13 [550, 625[ [625, 700[ [700, 775[ [775, 850] Al ser 100 datos, el término que ocupa la posición 70 corresponderá al decil 7. Como el intervalo [625, 700[ agrupa los datos desde la posición 42 hasta la 78, entonces en este intervalo se encuentra el decil 7. 16

17 24. La alternativa correcta es A. (1) El total de lanzamientos fue 30. Con esta información, es posible determinar el valor de x, ya que se conocen las frecuencias de los demás resultados. (2) La mediana es 3. Con esta información, no es posible determinar el valor de x, ya que habría una gran cantidad de valores de x, para los cuales la mediana fuese 3, por ejemplo: 0, 1, 2, etc. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 25. La alternativa correcta es C. Según el diagrama, a corresponde al primer cuartil y b al segundo cuartil. Luego: (1) El rango intercuartil de la muestra es 11. Con esta información no es posible determinar el valor de a, ya que esta cantidad se obtiene a partir de la diferencia entre el primer y tercer cuartil, es decir, b a = 11. (2) El percentil 75 de la muestra es 19. Con esta información no es posible determinar el valor de a, ya que el percentil 75 corresponde al cuartil 3 de la muestra, es decir, b = 19. Con ambas juntas, es posible determinar el valor de a, ya que b a = 11 y b = 19, entonces, 19 a = 11, implicando que a = 8. Por lo tanto, la respuesta correcta es: Ambas juntas. 17