Medidas de posición para variables cuantitativas

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1 Medidas de posición para variables cuantitativas Objetivos Que deberían saber al terminar esta clase: Qué es el valor mínimo y el máximo Qué es la moda o modo y como se interpreta Qué son los percentiles, quintiles, deciles y mediana y como se interpretan. Grafico usando las medidas anteriores Diagrama de caja Que queremos significar por media aritmética ó promedio Cuales son las propiedades de media. Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 1

2 Valor Mínimo y Máximo X mín = es el valor mas pequeño que toma la variable observada. X max = es el valor mas grande que toma la variable observada. Ejemplo: calificaciones en un examen de estadística X mín = 2 X max = 9 Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 2

3 Modo o Moda Es el valor que ocurre mas frecuentemente. Ejemplo: calificaciones en un examen de estadística Modo= 7 Datos agrupados Es el punto medio o marca de clase del intervalo que mas alta frecuencia presenta. Ejemplo: si observamos la tabla del ejemplo anterior vemos que el intervalo 5-6 es el que presenta la mas alta frecuencia, por lo tanto el MODO es 5.6 películas Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 3

4 Percentiles, Deciles, Quintiles, Cuartiles y Mediana Percentiles: valores de la variable que divide a la distribución en cien partes iguales. P 1 P 99 Deciles: valores de la variable que divide a la distribución en diez partes iguales. D 1 D 9 Quintiles: valores de la variable que divide a la distribución en cinco partes iguales. Q 1 Q 4 Cuartiles: valores de la variable que divide a la distribución en cuatro partes iguales. C 1 C 3 Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 4

5 Procedimiento para encontrar Percentiles, Deciles, Quintiles, Cuartiles y Mediana Para encontrar el valor de estas medids de posición se necesitan tres pasos: Ordenar las observaciones de menor a mayor. Encontrar la localización P k = k*(n+1)/100 donde k varia de 1 a 99.- Si la P k es un número entero se busca esa posición y se lee el valor de la variable correspondiente a esa observación. Si la P k no es un número entero se busca la posición correspondiente al entero anterior y al posterior y se leen ambos valores de la variable correspondientes a esas observaciones y se promedian. Equivalencias: P 10 =D 1 P 20 =D 2 =Q 1 P 25 = = =C 1 P 50 =D 5 = =C 2 =M ed Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 5

6 Diagrama de Caja Costos de producción de lotes de Cereal (trigo), en miles de pesos, de una empresa Agropecuaria El histograma, el polígono de frecuencias, podrían ser dados para analizar la distribución de estos datos. Un gráfico exploratorio en la actualidad, box plot o diagrama de caja, brinda más información acerca de la distribución y su simetría. Para su construcción se necesitan 5 medidas o números resúmenes: - Un valor mínimo -Un valor máximo - La mediana - Un punto característico inferior y otro superior (Hinges) Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 6

7 Ejemplos Definición de puntos característicos Hinges: es similar a los cuartiles. En conjuntos grandes de datos, la diferencia entre ellos es muy pequeña. Según la definición de Tukey s los hinges son: Hinges inferior: es la mediana de la mitad inferior de todos los valores a la izquierda de la mediana de los datos Hinges superior: es la mediana de la mitad superior de todos los valores a la derecha de la mediana de los datos Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 7

8 Diagrama de Caja Valor Extremo leve H I N G E M E D I A N A H I N G E Valores extremos leves Extremo o Outlier D 1.5 D 3 D Diagrama de Caja (BoxPlot) Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 8

9 Caso estudio dos Se desea comparar gráficamente el consumo de tomates per capita en kg./mes de grupos de familias con ingresos entre $300 y $400 por persona y las familias con ingresos entre $1.200 y $1.600 por persona mediante un diagrama de caja múltiple. Consumo de familias con ingreso $300-$400 Consumo de familias con ingreso $ $ ,70 2,00 0,70 2,00 0,70 2,00 0,66 1,60 0,00 1,00 0,30 1,00 0,70 2,00 0,56 1,50 0,00 2,00 0,61 1,00 0,80 1,70 Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 9

10 Poblacional Media µ media poblacional N número de observaciones en la población X i valor particular de la variable observada Muestral x x media muestral X i x / N / n n numero de observaciones i Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 10

11 Propiedades de la Media La media aritmética es una medida de tendencia central. Todas las observaciones están incluidas en el cálculo. La media aritmética es afectada por valores extremos. Cada conjunto de datos con variable observada de intervalo o razón tienen una única media La suma de las desviaciones de cada observación respecto de ella es cero. Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 11

12 Media para datos agrupados La media para datos organizados en tabla de frecuencia es calculada por x Peliculas por día x f Promedio= 61/10=6.1 películas i i / f frecuencia f i x f i Marca de clase x / n (f)(x) Total Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 12

13 Coeficiente de Asimetría Grado de asimetría de una distribución con respecto a su media. La asimetría positiva indica una distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos. La asimetría negativa indica una distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos. Coef.asimetría (n n 1)(n 2) (x i s x) 3 3 Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 13

14 Kurtosis La kurtosis representa la elevación o achatamiento de una distribución, comparada con la distribución normal. Una Kurtosis positiva indica una distribución relativamente elevada, mientras que una curtosis negativa indica una distribución relativamente plana.. Kurtosis (n n(n 1)(n 1) 2)(n 3) (x i s 4 x) 4 3(n 1) (n 2)(n 2 3) Material Preparado por Lic. Olga Susana Filippini y Lic. Hugo Delfino 14