SOLUCIONARIO Composición de funciones y función inversa

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1 SOLUCIONARIO Composición de funciones y función inversa SGUICES04MT-A6V

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Composición de funciones y función inversa Ítem Alternativa E Comprensión A 3 D 4 B 5 C 6 D 7 A Comprensión 8 D 9 C 0 B B Comprensión E 3 D 4 D 5 E 6 B Comprensión 7 C 8 C Comprensión 9 D 0 E Comprensión A C 3 C 4 B 5 B

3 . La alternativa correcta es E. Comprensión La función g() = 3, es una función constante. Esto significa que para cualquier real, su imagen será 3. Por lo tanto, g f La alternativa correcta es A. ( g f )( ) ( f g)( ) (Transformando) g ( f ( )) f ( g( )) (Evaluando en f y en g) g (( ) ) f (3 ) (Calculando) g ( 4 ) f ( 6 ) g ( 7) f ( 8) (Evaluando 7 en g y 8 en f) (8 ) (Calculando) La alternativa correcta es D. I) Falsa, ya que ( g f )( ) g( f ( )) g( ) II) Verdadera, ya que ( g f )( ) g( f ( )) g(8 ( 3( 3)) III) Verdadera, ya que 8 ( 3 3( 3) ( g f )( ) g( f ( )) g( ( 6)) ( 6) Por lo tanto, solo II y III son verdaderas. 3

4 4. La alternativa correcta es B. Si suponemos una función g tal que g ( ) 3, entonces f ( 3) f ( g( )). Como queremos conocer el valor de f (7), entonces la imagen de algún es la función g debe ser igual a 7, es decir: 3 = 7 (Sumando 3) = 0 (Dividiendo por ) = 5 Por lo tanto, f ( 7) f ( g(5)), pero f ( g( )) 4, es decir: f ( g(5)) 45 5 (Evaluando) f ( g(5)) (Calculando) f ( g(5)) f ( g(5)) 5 Luego f ( g(5)) f (7) La alternativa correcta es C. Por composición de funciones se tiene que Luego, reemplazando se obtiene: g f g( f ( )). 3 g ( f ( )) ( ) 6 9 4

5 6. La alternativa correcta es D. I) Falsa, ya que positivos. f ( ) m( h( )), solo está definida para los reales II) Verdadera, ya que h( m( )) y m( h( )). III) Verdadera, ya que m ( h(9)) y por otra parte h m Por lo tanto son verdaderas solo II y III. 7. La alternativa correcta es A. Comprensión Por composición de funciones se tiene que dominio es IR {0}. h( g( )). Por tanto se tendrá que el 8. La alternativa correcta es D. f(g()) = f(² + 4) = f(8) = 3 8 = 4 5

6 9. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, ya que en el intervalo [ 0, 0], g está representada por una función afín, por lo que en ese tramo cada valor del conjunto de llegada tiene solo una preimagen. II) III) Verdadera, pues en el intervalo [0, 4], g está representada por una rama de la parábola asociada a la función cuadrática 9 0, por lo que cada elemento del conjunto de llegada [0, 0] tiene una preimagen. Falsa, ya que en el intervalo [-0, 4] hay valores del conjunto de llegada que tienen dos preimágenes, como por ejemplo g (-7) = g () = 6, por ende g no es inyectiva en todo su dominio, por lo que tampoco es biyectiva en todo su dominio. Por lo tanto, son verdaderas solo las afirmaciones I y II. 0. La alternativa correcta es B. I) Falsa, porque el dominio de la función f es [a, b]. Sin embargo, no tenemos información respecto al recorrido ni del conjunto de llegada. II) III) Verdadera, pues dado que f es biyectiva en [a, b], entonces es inyectiva en dicho tramo, por lo que también es inyectiva en cualquier subconjunto de [a, b], en particular es inyectiva ]a, b[. Falsa, pues no tenemos información si la función es creciente o decreciente, por lo que no podemos afirmar que f(b) > f(a). Por lo tanto, es verdadera solo la afirmación II. 6

7 . La alternativa correcta es B. Comprensión La función g() = p p, con p > y es una función de comportamiento lineal decreciente, como indica la figura (la función corresponde solo a la línea continua) Luego, las opciones A) 0, y E) 0, p corresponden a intervalos distintos del recorrido de g, la opción C), 0 corresponde a un intervalo menor que el recorrido de g (con lo cual no todos los elementos del conjunto de partida tendrían imagen y g no sería función) y la opción D) p, p corresponde a un intervalo mayor que el recorrido de g (con lo cual no todos los elementos del conjunto de llegada tendrían preimagen y g no sería sobreyectiva). y p p Solo la opción B) p, 0 representa eactamente el recorrido de g, por lo tanto, debe corresponder al conjunto de llegada para que sea sobreyectiva.. La alternativa correcta es E. Evaluando los valores de las opciones, se obtiene: f( ) = ( )³ 3 ( )² + ( ) = = 8 4 = 4 f( ) = ( )³ 3 ( )² + ( ) = 3 = 3 = 6 f(0) = (0)³ 3 (0)² + (0) = = 0 f() = ()³ 3 ()² + () = 3 + = 0 f() = ()³ 3 ()² + () = = 0 Luego, si el conjunto de partida es: A) {, } f no es función, ya que f( ) no está en el conjunto de llegada. B) {, } f no es función, ya que f( ) no está en el conjunto de llegada. C) {0, } f es función, pero no es inyectiva, ya que 0, pero f(0) = f(). D) {, } f es función, pero no es inyectiva, ya que, pero f() = f(). E) {, 0} f es función inyectiva, ya que 0 y f( ) f(0). 7

8 3. La alternativa correcta es D. Al graficar la función en los reales, resulta la figura adjunta. Sin embargo, el conjunto de partida y el conjunto de llegada de g es solo 0, +. Luego, solo se toma en cuenta la porción que se encuentra a la derecha del eje Y. y De la gráfica se puede concluir que la función es inyectiva, ya que a cada elemento del recorrido le corresponde solo una preimagen. Por otro lado, el recorrido de g corresponde al intervalo, +, ya que los elementos menores que no tienen preimagen en el conjunto de partida. Es decir, la función no es sobreyectiva, porque el conjunto de llegada no es igual al recorrido. Por lo tanto, es correcto afirmar que g es una función inyectiva, pero no sobreyectiva. 4. La alternativa correcta es D. I) Es biyectiva, ya que al evaluar todos los elementos del conjunto de partida (IR + ) se obtienen todos los elementos del conjunto de llegada (IR + ), lo que implica que es sobreyectiva. Además, es creciente en los reales positivos, lo que implica que es inyectiva. Luego, como es sobreyectiva e inyectiva, la función es biyectiva. II) Es biyectiva, ya que al evaluar todos los elementos del conjunto de partida (IR + ) se obtienen todos los elementos del conjunto de llegada (IR + ), lo que implica que es sobreyectiva. Además, es creciente en los reales positivos, lo que implica que es inyectiva. Luego, como es sobreyectiva e inyectiva, la función es biyectiva. III) Es biyectiva, ya que al evaluar todos los elementos del conjunto de partida (IR + ) se obtienen todos los elementos del conjunto de llegada (IR + ), lo que implica que es sobreyectiva. Además, es decreciente en los reales positivos, lo que implica que es inyectiva. Luego, como es sobreyectiva e inyectiva, la función es biyectiva. Por lo tanto, las tres funciones son biyectivas en los reales positivos. 8

9 5. La alternativa correcta es E. I) Verdadera, ya que la parábola alcanza su mínimo en = 3, lo que implica que en el intervalo, 3 es estrictamente decreciente, que es una condición suficiente para concluir que es inyectiva. II) Verdadera, ya que f( 8) = f() = 0, y el mínimo valor que toma la función está dentro del intervalo 8, y es 5. Luego, el recorrido de f sería 5, 0 (igual al conjunto de llegada) lo que implica que es sobreyectiva. III) Verdadera, ya que ya que la parábola alcanza su mínimo en = 3, lo que implica que en el intervalo 3, + (y, en consecuencia, en el intervalo, + ) es estrictamente creciente, que es una condición suficiente para concluir que es inyectiva. Por otro lado, f() = 0 y cuando crece hasta el infinito el valor de la función también se acerca al infinito, lo que significa que el recorrido de f sería 0, + (igual al conjunto de llegada) lo que implica que es sobreyectiva. Como f es inyectiva y sobreyectiva a la vez, entonces f es biyectiva. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 6. La alternativa correcta es B. Comprensión Podemos reescribir decir que y = f(), entonces y = log ( + p) q (Sumando q) y + q = log ( + p) (Aplicando la definición de logaritmo) yq 0 p (Restando p) yq 0 p (Reemplazando variables) 0 q p y Por ende, f ( ) 0 q p 9

10 7. La alternativa correcta es C. 3 Si h ( ), entonces podemos reescribir y = h() 3 y (Multiplicando por ( ) ) y( ) 3 (Desarrollando el producto) y y 3 (Sumando y, restando 3) y 3 y (Factorizando por ) ( y 3) y (Dividiendo por (y 3) ) y (Reemplazando variables) y 3 y Por lo tanto, h ( ), entonces h (4) Además, h ( 4) 6 4 Entonces, h (4) h(4) La alternativa correcta es C. Comprensión I) Falsa, ya que el hecho de que dos funciones sean inversas no implica que sean inversos multiplicativos. II) Falsa, ya que si g es la inversa de f, entonces f(g()) =. III) Verdadera, ya que todo el dominio de f tiene una y solo una imagen (por ser función), y todo su recorrido tiene una y solo una preimagen (por ser biyectiva). Como g es la inversa de f, entonces el dominio de f corresponde al recorrido de g y viceversa, lo que significa que todo el dominio de g también tiene una y solo una preimagen. Luego, g es biyectiva en los reales. Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera. 0

11 9. La alternativa correcta es D. Al despejar de la función resulta g() = a + b a = g() b = g( ) a b Luego, la función inversa de g es (a es distinto de cero, ya que si fuera cero la a a función g sería constante, lo que implicaría que no sería sobreyectiva en los reales, en consecuencia no sería biyectiva y no tendría inversa). Para que g sea igual a su inversa para cualquier valor de en los reales debe cumplirse b b que sus parámetros deben ser iguales, o sea a + b = a = y b = a a a a La primera condición se cumple solo cuando a es o, y la segunda condición se cumple solo cuando a = y/o b = 0. Por lo tanto, la restricción que asegura el cumplimiento de ambas condiciones es a =. b a 0. La alternativa correcta es E. Comprensión Las representaciones gráficas de una función y su inversa siempre son simétricas con respecto a la función identidad, es decir, a la recta y = (que es una recta que pasa por el origen y es creciente formando un ángulo de 45 con los ejes coordenados) Por lo tanto, la mejor representación gráfica de la inversa de f se encuentra en la opción E, como muestra la figura adjunta. y

12 . La alternativa correcta es A. La función inversa se determina despejando la variable en términos de la función: h() = h() = h() + = ( h() + ) = = h( ) Por lo tanto, la función inversa de h corresponde a la función f ( ).. La alternativa correcta es C. La función inversa se determina despejando la variable en términos de la función: f () f() = 3. Luego, la inversa de f es g() = y h() = m 0m 6 Entonces, si h(m) =, se puede plantear 3m + = = m = = 0, Por lo tanto, g(m) = g(0,6) = 0,6 3 = 0, 3. La alternativa correcta es C. Para determinar la inversa de una función biyectiva, se debe despejar en función de y. 3 Luego, si f() = = y, entonces 3 = y ( + ) 3 = y + y y = y + 3 ( y) = y + 3 Por lo tanto, al despejar en función de y resulta = y 3 y f 3 ( ).

13 4. La alternativa correcta es B. Dado que g es una función de comportamiento lineal, se puede escribir g() = m + n, con m y n números reales. f g 3 () 3 f g6. Con esta información no es posible determinar el valor numérico de ya que solo podríamos saber que f g3 f ( g(3)) (Aplicando la definición de composición) 3 = f ( m 3 n) (Evaluando 3 en la función g) 3 = f ( 3m n) (Multiplicando) 3 = 3(3m n) (Evaluando en la función f) 3 = 9m 3n (Sumando ) 33 = 9m 3n Luego, queda una ecuación con dos incógnitas, es decir, infinitas soluciones. g f 3 () 4 de f g6, pues g f g( f ( )). Con esta información es posible determinar el valor numérico (Aplicando la definición de composición) 3 4= g ( 3 ) (Evaluando en la función f ) 3 4= m( 3 ) n (Evaluando en la función g) 3 4= 3 m m n (Multiplicando) 3 3m 4 m n (Igualando pendiente y coef. de posición) m (De la primera igualdad) 4 n 4 n n (De la segunda igualdad, reemplazando m) Podemos concluir que g ( ), por lo que f g 6 f ( 6 ) f (6) Por lo tanto, la respuesta es () por sí sola. 3

14 5. La alternativa correcta es B. () a es positivo. Con esta información, no se puede afirmar que g es inyectiva en los reales, ya que la inyectividad de las funciones potencia depende de su eponente y no del factor por el cual se multiplica la función. () n es impar. Con esta información, se puede afirmar que g es inyectiva en los reales, ya que si el eponente es impar (como en el caso de las funciones cúbicas), la función siempre es inyectiva, independiente del factor que tenga la función. Por lo tanto, la respuesta es: () por sí sola. 4