Guía de exámenes parciales

Transcripción

1 Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática Proyecto MATEM tel. (506) Guía de exámenes parciales Precálculo undécimo 017

2 Contenido I Parcial:... Álgebra... Geometría Analítica... 4 II Parcial... 8 Inecuaciones... 8 Funciones: lineal y cuadrática... 9 Función exponencial y logarítmica...11 III parcial:...13 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas...13 Geometría...14 Trigonometría

3 I Parcial: Álgebra Objetivos Contenidos Observaciones Ecuaciones Puede revisar la página 60 del texto: Identidades Álgebra y Trigonometría con Geometría Solución de una ecuación Analítica, Décimo Segunda edición Conjunto solución de una ecuación. Earl W. Swokowski; Jeffery A. Cole. 009 Reconocer las diferencias entre ecuación e identidad, y entre solución y conjunto solución. Resolver ecuaciones cuadráticas. Resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor que con una incógnita. Resolver ecuaciones fraccionarias. Ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Ecuaciones polinomiales de grado mayor que con una incógnita. Ecuaciones con expresiones fraccionarias. Páginas del libro MATEM: de la 15 a la 6. Páginas del libro MATEM: de la 39 a la 45. De la lista de la página 44 no entran los ejercicios del 17 al 0. 5 Resolver ecuaciones radicales. Ecuaciones con radicales. Páginas del libro MATEM: de la 51 a la 57. a. Se le dará énfasis al concepto, más que al procedimiento algebraico. Por ejemplo: determinar si existen soluciones a partir de relaciones entre el índice del radical y el signo de las expresiones.

4 Objetivos Contenidos Observaciones b. Importante las propiedades del cuadro de arriba de la página 5. c. No es necesario determinar el dominio de la ecuación. d. Se deben probar las posibles soluciones para determinar si pertenecen al conjunto solución en el caso de que el índice sea par. No se evaluarán ejercicios como el 3 de la página 54. De la lista de la página 56 no entran los ejercicios del 1 al Resolver ecuaciones con valor absoluto. Ecuaciones con valor absoluto. Enfatizar la definición de valor absoluto de la página 57 del libro MATEM. Del libro MATEM: ejercicio 1 de la página Resolver problemas que para su solución requieran ecuaciones. Problemas con ecuaciones. FOLLETO ADICIONAL DE PROBLEMAS Puede descargarlo de: 3

5 Geometría Analítica 1 Objetivos Contenidos Observaciones Aplicar el concepto de Pendiente de un pendiente en la solución segmento. Folleto: Geometría analítica MATEM 017 de ejercicios. Pendiente de una recta. Rectas crecientes, decrecientes, horizontales y verticales. Puede descargarlo de: 3 Determinar la ecuación de una recta ubicada en el plano cartesiano. Determinar la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra recta dada. Ecuación de una recta en el plano cartesiano. Rectas paralelas y perpendiculares en el plano cartesiano. Ejercicios de las páginas 05 y 06 del libro MATEM. De los ejercicios de selección única de la página 07 (en adelante) del libro MATEM, NO ENTRAN: 9,14,19,3,7,34,36,39,40,41,43,49,5,55,56,61,65,68,69,70,74. 4 Determinar la intersección de dos rectas en el plano cartesiano. Punto de intersección de dos rectas en el plano cartesiano. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Ejercicios como el de la página 198 del libro MATEM. 5 Aplicar los conceptos de punto medio de un segmento y distancia entre dos puntos. Fórmulas para determinar, en el plano cartesiano: Punto medio de un segmento. Distancia entre dos puntos. Del libro MATEM: Algunos conceptos de geometría analítica a. Páginas: de la 190 a la 193. b. Se incluyen problemas como determinar el perímetro de triángulos y paralelogramos. Ver ejercicios de la página

6 Folleto: Problemas de Geometría Analítica. Moise Puede descargarlo de: 6 Determinar la ecuación de una parábola dada. Graficar una parábola a partir de su ecuación. Determinar la cantidad de intersecciones de una parábola dada con cada eje. Ecuación de una parábola con eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas. Intersecciones con los ejes de una parábola. Folleto: Geometría analítica MATEM 017 Puede descargarlo de: 7 Determinar la concavidad de una parábola a partir de la ecuación. Concavidad de una parábola. 8 Aplicar los conceptos de eje de simetría y vértice de una parábola en la solución de problemas. El eje de simetría y el vértice de una parábola. 9 Analizar los conceptos básicos que involucran la circunferencia y el círculo. Circunferencia: centro, radio, cuerda, diámetro, recta tangente, recta secante, interior y exterior de la circunferencia. Folleto: Geometría analítica MATEM 017 Folleto: Circunferencias MATEM 017 Puede descargarlos de: 5

7 El tipo de ítems a evaluar será desde el enfoque de la geometría analítica, Ejemplos: a. Se dan las coordenadas de un punto y la ecuación de una circunferencia, debe determinar si el punto está en el exterior, interior o en la. b. Dados dos puntos de una circunferencia, se debe determinar la medida de la cuerda con esos extremos o la distancia de esa cuerda al centro del círculo. Determinar la ecuación de una circunferencia. Ecuación de una circunferencia. Folleto: Geometría analítica MATEM 017 Folleto: Circunferencias MATEM 017 Puede descargarlos de: Ejercicios del tipo: 10 a. Determinar la ecuación de una circunferencia dado su centro y su radio. b. Determinar el centro y radio de una circunferencia dada su ecuación. c. La ecuación de la circunferencia se puede presentar de forma ordinaria (pares ordenados) como de manera general (desarrollada). d. Se evaluarán ejercicios que requieran completar cuadrados. 6

8 11 Aplicar las relaciones que se establecen entre dos circunferencias coplanares o entre una circunferencia y una recta de acuerdo a sus posiciones relativas, en la solución de ejercicios Posiciones relativas entre dos circunferencias: concéntricas, tangentes, secantes, exteriores, interiores. Rectas tangentes y rectas secantes a una circunferencia. Folleto: Geometría analítica MATEM 017 Folleto: Circunferencias MATEM 017 Puede descargarlos de: El tipo de ítems a evaluar será desde el enfoque de la geometría analítica, Ejemplos: a. Se dan las ecuaciones de dos circunferencias y se deben clasificar de acuerdo a su posición relativa. b. Se da la ecuación de una recta y una circunferencia y se debe clasificar de acuerdo a su posición relativa. c. Se da el centro y un punto de la circunferencia y se debe determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia por ese punto. 7

9 II Parcial Inecuaciones Objetivos Contenidos Observaciones 1 3 Determinar el conjunto solución de una inecuación lineal con una incógnita. Resolver inecuaciones polinomiales. Resolver inecuaciones fraccionarias. Resolver inecuaciones con valor absoluto. Inecuaciones lineales. Inecuaciones cuadráticas. Inecuaciones polinomiales de grado mayor que. Inecuaciones con expresiones fraccionarias racionales. Inecuaciones con valor absoluto. Del libro MATEM: Ejemplos y ejercicios de las páginas 6-38, 45-51, 63,64. Importante trabajar los ejercicios de selección única de las páginas del libro MATEM. En inecuaciones con valor absoluto solo se consideran las que se pueden reducir a la forma: P( x) k, P( x) k, P( x) k o 4 P( x) k donde Px ( ) es un polinomio de grado uno y k. Importante resolver del tipo n P ( x ) n k (y las demás desigualdades) para n par o impar. 8

10 Funciones: lineal y cuadrática Objetivos Contenidos Observaciones Comprender, en forma intuitiva y gráfica, los conceptos: función, dominio, codominio, ámbito o rango, imagen, preimágen, gráfica. Aplicar el concepto de función en la solución de problemas. Calcular imágenes y preimágenes de una función dada. Determinar las intersecciones con los ejes de la gráfica de una función. Graficar funciones en un sistema de coordenadas cartesianas. Determinar si una función es creciente, decreciente, constante. Obtener información sobre una función a partir de su gráfica. Determinar el dominio máximo de una función. Clasificar funciones en inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Efectuar las cinco operaciones fundamentales con funciones. Determinar la función inversa. Conceptos de relación, función, variable dependiente, variable independiente, criterio, dominio, codominio, rango y gráfica de una función. Relaciones que se establecen entre conjuntos numéricos, cuyo criterio está formulado mediante expresiones algebraicas. Conceptos de imagen y preimágen. Notaciones. Intersección de la gráfica de una función con los ejes coordenados. Gráfica de una función. Funciones crecientes, decrecientes y constantes. Análisis de gráficas. Dominio máximo de funciones cuyo criterio se enuncia con expresiones algebraicas Funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. Concepto de función inversa, función inversa y composición. Gráfica de una función y su inversa. Del libro MATEM: Páginas: Enfatizar análisis de gráficas, dominio máximo y cálculo de ámbitos en diferentes dominios. Importante las traslaciones de las funciones básicas. Definiciones, ejemplos y ejercicios de las páginas

11 Objetivos Contenidos observaciones 11 Aplicar el concepto de función lineal en la solución de problemas del entorno. Interpretar la información que proporciona la representación gráfica de funciones lineales, que modelan relaciones del entorno. Concepto de función lineal. Gráfica de una función lineal. Funciones lineales que permiten modelar situaciones del entorno. Del libro MATEM, páginas Algunos conceptos de geometría analítica NO se evaluará en este parcial, dado que es tema del I parcial. Importante la graficación y análisis de funciones lineales en diferentes dominios. 1 Determinar el dominio de una función lineal dado su ámbito y viceversa. Dominio y rango de una función lineal. De los ejercicios de selección de la página 07: 14,19,7,39,41,43,49,5,55,61,65,68,69, Identificar una función cuadrática y su gráfica. Determinar el rango de una función cuadrática dada. Indicar los intervalos en los cuales una función cuadrática dada es creciente o decreciente. Resolver problemas del entorno que involucren conceptos relacionados con función cuadrática. Definición de función cuadrática. Del libro MATEM, páginas Ámbito de una función cuadrática. Intervalos de monotonía de una función cuadrática. Problemas de aplicación de funciones cuadráticas. Enfatizar conceptos de: dominio, ámbito, inyectividad, sobreyectividad, biyectividad. Importante graficar y analizar funciones cuadráticas en diferentes dominios. Se refiere a los problemas de aplicación de máximos y mínimos (problemas de optimización) de la página

12 Función exponencial y logarítmica Objetivos Contenidos Observaciones 1 Caracterizar las funciones exponenciales de acuerdo con su criterio y su representación gráfica. Definición de función exponencial. Gráfica de una función exponencial. Propiedades de la función exponencial y su gráfica: dominio máximo, ámbito, asíntota, intersecciones con los ejes, monotonía, concavidad. Del libro MATEM, páginas: Solo se evaluará la Construcción de gráficas como las de las páginas 63. No se pedirá construir gráficas de funciones muy complejas como f x 4x3 ( ) Identificar la función logarítmica como la inversa de una función exponencial. Aplicar las propiedades de los logaritmos en la simplificación de expresiones. Definición de la función logarítmica como inversa de la exponencial. Gráfica de una función logarítmica. Propiedades de la función logarítmica y su gráfica: dominio máximo, ámbito, asíntota, intersecciones con los ejes, monotonía, concavidad. Casos particulares: Logaritmo en base 10 y logaritmo natural. Propiedades de los logaritmos: logaritmo de un producto, logaritmo de un cociente, logaritmo de una potencia, logaritmo de la base, logaritmo de la unidad, cambio de base. Propiedades derivadas de la composición de x funciones inversas: log a x x a Del libro MATEM, páginas: Del libro MATEM, páginas: Importante el cálculo de aproximaciones decimales de logaritmos usando las propiedades. 11

13 Objetivos Contenidos Observaciones loga a x x x 0. Ejemplo: aproximar log315. (Se darían las aproximaciones de logaritmos básicos como log 5 ). Ver ejercicios de la página

14 III parcial: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1 Objetivos Contenidos Observaciones Resolver ecuaciones exponenciales y Ecuaciones exponenciales. Del libro MATEM, logarítmicas. Ecuaciones logarítmicas. páginas: Aplicar las funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas en la solución de problemas. Problemas de aplicación de funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Se refiere a los problemas de las páginas del libro MATEM. No es necesario que los estudiantes se aprendan las fórmulas de los modelos (como el de interés compuesto o el de crecimiento exponencial). No se evalúa: inecuaciones exponenciales y logarítmicas. De los ejercicios de selección de la página 301 en adelante, NO se evaluarán: 1,14,3,36,48,6,77,78,84,93 y

15 Geometría Objetivos Contenidos Observaciones Aplicar las características de los polígonos regulares, inscritos o circunscritos, en la solución de ejercicios y problemas. Propiedades de los polígonos regulares. Elementos de un polígono regular: apotema, radio, ángulo central. Circunferencias inscrita y circunscrita a un polígono regular. Área y perímetro de polígonos regulares. Páginas del libro MATEM: Propiedades y características de los cuadriláteros se consideran conocimiento previo, de modo que no se evaluará directamente. Sin embargo, podría ser que algún ejercicio de polígonos requiera alguna propiedad básica de los cuadriláteros. En la página 474 no se evaluará la sección: Razones entre líneas y áreas de polígonos regulares. 1 No se evaluarán ejercicios que involucren regiones sombreadas. Se incluyen ejercicios del tipo: Determine el área de un icoságono regular si la longitud de la circunferencia circunscrita a dicho polígono es 4 cm. Se puede evaluar con aproximaciones decimales de las razones trigonométricas (se da la tabla o valores necesarios de las razones trigonométricas) o con su valor exacto del tipo x 15 sen(0 ). 14

16 Objetivos Contenidos Observaciones Aplicar las relaciones entre los elementos de los sólidos fundamentales en la solución de problemas. Definición y propiedades de los sólidos fundamentales: cono circular recto, cilindro circular recto, esfera, prisma recto y pirámide recta. Se evalúa igual que en años anteriores. Considerar todo lo indicado en el libro de texto. 3 Calcular área lateral, área de la base, área total y volumen de los sólidos fundamentales. Volumen, área total y área parcial del prisma recto, del cilindro circular recto, de la pirámide recta, del cono circular recto y de la esfera. Trigonometría Objetivos Contenidos Observaciones 1 Identificar propiedades que cumplen las coordenadas de los puntos de la circunferencia trigonométrica. Circunferencia trigonométrica: definición, propiedades. Páginas del libro MATEM: y Calcular las imágenes de un número real bajo cualquiera de las seis funciones trigonométricas a partir del par ordenado de la circunferencia trigonométrica asociado a ese número real. Definición de las funciones trigonométricas para números reales: seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente. 15

17 Objetivos Contenidos Observaciones 3 4 Calcular las imágenes, de cualquier número real de k k la forma o donde 6 4 k es un número entero, en cualquiera de las seis funciones trigonométricas (en el respectivo dominio). Analizar las gráficas de las de las seis funciones trigonométricas básicas. Analizar las gráficas de funciones trigonométricas de la forma f ( x) a sen( kx c) b, f ( x) a cos( kx c) b, f ( x) a tan( kx c) b Pares ordenados de los puntos de la circunferencia trigonométrica asociados a los números de la forma k donde k es un número entero. 4 Dominio máximo, rango y periodo de las funciones trigonométricas. k o 6 Gráficas de las seis funciones trigonométricas. Gráficas, amplitud, periodo, corrimiento de fase, rango de funciones de la forma f ( x) a sen( kx c) b o f ( x) a cos( kx c) b. Periodo y corrimiento de fase de funciones de la forma f ( x) a tan( kx c) b Páginas del libro MATEM: Ejercicios de la página 351. NO se evalúa construcción de gráficas del tipo: f ( x) 3cos x 4. 5 Se le dará énfasis al análisis de las gráficas y al reconocimiento de las transformaciones. El corrimiento de fase se define como en la página 343, (valor absoluto del número). Sin embargo, se puede referir a este considerando su dirección (positiva o negativa). 16

18 Objetivos Contenidos Observaciones 6 Deducir y aplicar las identidades trigonométricas fundamentales en la simplificación de expresiones y para probar otras identidades. Identidades trigonométricas: Páginas del libro MATEM: No entra imagen de la mitad de un número, página Analizar las restricciones del dominio y codominio para que las funciones trigonométricas sean biyectivas. Calcular imágenes de las funciones trigonométricas inversas. Funciones trigonométricas inversas en los rangos estándar: sen -1 : [-1,1], cos -1 : [-1,1] [ 0, ] tan -1 :, csc -1 3 : ]-,1][1,+[ 0,, csc -1 3 : ]-,1][1,+[ 0,, cot -1 : ]0, [ Las funciones trigonométricas inversas se consideran en los dominios que vienen en el libro MATEM. Sólo se evaluarán las gráficas básicas (sin transformaciones) de las inversas de seno, coseno y tangente. NO se evalúan ejercicios del x tipo cos arcsen. Se limitará a ejercicios como 1 arccos. 8 Determinar el conjunto solución de ecuaciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas en el conjunto de los números reales o en subconjuntos de este. Páginas del libro MATEM: