MATEMÁTICA. Ejercicios PSU

Transcripción

1 PROGRAMA BASE Cuadernillo Ecuación de segundo grado y función cuadrática Mapa conceptual FUNCIÓN CUADRÁTICA MATEMÁTICA Es de la forma Su representación gráfica corresponde a una f(x) = ax 2 + bx + c (con a, b, c reales y a 0) Otros elementos Parábola Intersección(es) con ejes Vértice Si a < 0 Eje X Eje Y (h, k) = ( b 4ac b2, 2a 4a ) Es decir f(x) = 0 f(0) = c (0, c) h: Eje de simetría. k: Mayor o menor valor que toma la función. Si a > 0 ax 2 + bx + c = 0 Discriminante ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO = b 2 4ac x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a Tiene dos soluciones (reales o complejas), que se pueden determinar factorizando o mediante la fórmula: Siempre se cumple que x = b ± 2a Si > 0: Intersecta en dos puntos distintos al eje X (dos soluciones reales distintas). Si = 0: Intersecta en un punto al eje X (dos soluciones reales iguales). Si < 0: No intersecta al eje X (dos soluciones complejas). CUACAC045MT22-A17V1 1

2 MATEMÁTICA Ejercicios PSU A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos. 1. En la ecuación x + 2 x = 3, el valor de x es A) 2 y 1 B) 3 y 1 C) 1 y 3 D) 2 y 1 E) no tiene solución real. 2. En la ecuación 12x 2 4x = 2(k 8), qué valor debe tener k para que una de las soluciones de x sea cero? A) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 3. Una ecuación que tiene como soluciones a 12 y 4 es A) x 2 + 8x 48 = 0 B) x 2 8x 48 = 0 C) x 2 8x + 48 = 0 D) x 2 + 8x + 48 = 0 E) ninguna de las ecuaciones anteriores. 4. Una solución de la ecuación x (3x 3) = 126 es A) 7 B) 6 C) 7 D) 9 E) 42 2

3 CUADERNILLO 5. Para que la ecuación 5x(x + 2) = k no tenga soluciones reales para x, se debe cumplir que A) k > 5 B) k < 5 C) k > 5 D) k < 5 E) k < Sea 2x 2 + 4x c = 0 una ecuación en x, con c un número real. Respecto a las soluciones de la ecuación, es siempre correcto afirmar que I) son reales e iguales si c es igual a 2. II) son reales y distintas si c es mayor a 2. III) son complejas y conjugadas si c es menor a 2. Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo II. C) solo III. D) solo I y II. E) I, II y III. 7. Sea x 2 + (k + 1)x + 4 = 0 una ecuación en x, con k un número real. Para cuál de los siguientes valores de k se cumple que las raíces de la ecuación son reales e iguales? A) 3 B) 4 C) 5 D) 4 E) 5 8. Se puede determinar que la ecuación x 2 + (k + 1)x + k + 1 = 0 tiene soluciones reales y distintas para x, si: (1) k + 1 > 0 (2) k 3 > 0 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 3

4 MATEMÁTICA 9. Si una de las soluciones para x en la ecuación x(mx 6) = 5m es (1 + 2i), con m un número real e i la unidad imaginaria, entonces el valor de m es A) 6 B) 3 C) 3 D) 5 E) Si x 1 y x 2 son las raíces soluciones de la ecuación x 2 + 7x + 5 = 0, entonces el valor de (x 1 + 1)(x 2 + 1) es A) 1 B) 1 C) 3 D) 13 E) ninguno de los valores anteriores. 11. Respecto a la ecuación 7x 12 x 2 = 0, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La suma de las soluciones es 7. II) El producto de sus soluciones es 12. III) Ambas soluciones son positivas. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 12. Sean p y q números reales, tales que p < 0 < q. Cuál de las siguientes ecuaciones tiene siempre dos soluciones de distinto signo para x? A) x 2 + pq = 0 B) x 2 + p 2 = q 2 C) (x + p) 2 = q D) qx 2 p = 0 E) (px) 2 + q = 2p 13. El recorrido de la función f(x) = (1 + x) 2, con dominio los números reales, es A) IR B) IR {1} C) IR { 1} D) [ 1, + [ E) [0, + [ 4

5 CUADERNILLO 14. Sea f(x) = x 2 kx + 1 una función real. Para qué valor de k se cumple que f(k 2) = k? A) 5 7 B) 1 C) D) E) Sea f una función real tal que f(x) = px 2 + qx + r, con p, q y r números reales y p 0. Para cuál de las siguientes alternativas el recorrido de la función podría contener solo a números reales positivos? A) q < 0 < p < r B) q < r < 0 < p C) p < r < 0 D) 0 < p < r E) p < 0 < q < r 16. Sea la función real f(x) = ax 2 + bx + c, con a, b y c números reales distintos de 0. Se puede determinar el punto de corte de la gráfica de f con el eje de las ordenadas, si: (1) El punto ( 2,1) pertenece a la gráfica asociada a f. (2) El punto (3, 0) pertenece a la gráfica asociada a f. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 17. Sea la función real f(x) = 3x + 5. Si g es una función real tal que g(x) = f((x + 1) 2 5), entonces cuáles son las coordenadas del vértice del gráfico asociado a g? A) (17, 2) B) ( 2, 13) C) ( 1, 20) D) ( 1, 8) E) ( 2, 17) 5

6 MATEMÁTICA 18. Sea la función f(x) = 4x , con x en los números reales. El mayor valor que alcanza la función es A) 15 B) 5 2 C) 0 D) 10 E) ninguno de los valores anteriores. 19. Sea la función real g(x) = px 2 px, con p un número real distinto de cero. Si la parábola que representa gráficamente a g tiene su vértice en el punto (n, n), cuál es el valor de p? A) 1 2 B) 1 C) 2 D) E) Se define la función real f(x) = 5x(2 3x) + 3kx Para que la función tenga un valor máximo, k debe ser A) menor que 5. B) mayor que 5. C) menor que 5. D) mayor que 5. E) menor que 15. 6

7 CUADERNILLO Estrategia de síntesis La altura h, en metros, de las balas disparadas por el cañón de la figura 1 en función del tiempo t, en segundos, puede ser modelada mediante la expresión h(t) = 50t 5t 2. En tanto, en la figura 2, este mismo cañón se eleva una cierta cantidad de metros, manteniendo el mismo ángulo de inclinación que el de la figura 1. Figura 1 Figura 2 A continuación, responde las siguientes preguntas. 1. Cuánto tiempo después de ser disparada la bala del cañón de la figura 1 tocará el suelo? 2. Si la bala disparada por el cañón de la figura 2 tarda 2 segundos más en tocar el suelo que el cañón de la figura 1, a qué altura se ubica el cañón? Qué modificación se debe realizar a la función h para modelar este comportamiento? 3. Qué se puede concluir acerca de la altura máxima alcanzada en ambas situaciones? Justifica. 7

8 MATEMÁTICA 21. El gráfico de la figura adjunta está asociado a la función y A) f(x) = 2x 2 + 4x 6 B) g(x) = x 2 2x 3 C) h(x) = x 2 + 2x 3 D) m(x) = x 2 + 2x 3 E) n(x) = x 2 2x x 22. Sea f una función real tal que f(x) = 6x 2 + 8x 30. Si el gráfico asociado a f intersecta al eje X en dos puntos, cuál de las siguientes coordenadas corresponde a uno de dichos puntos? A) (3, 0) B) ( 5 3 ), 0 C) ( 5 3 ), 0 D) ( 5, 0) E) ( 6, 0) 23. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = (5 + x)(1 x)? A) B) y C) y 5 1 x 5 1 x 1 5 x D) y E) y 5 1 x 5 x 8

9 CUADERNILLO 24. Cuál de las siguientes funciones reales está mejor representada en el gráfico de la figura adjunta? A) f(x) = x 2 4x y B) g(x) = x2 + 4x 2 C) h(x) = x 2 + 4x x D) j(x) = x2 4x 2 E) k(x) = x2 + 4x El gráfico de la figura adjunta representa a la función real f(x) = ax 2 + bx + c, con a, b y c números reales y a distinto de cero. Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? y A) El eje de simetría de f corresponde a la recta x = 0. B) El recorrido de f es [c, + ]. C) El valor de a es positivo. D) f tiene un valor máximo. n n x E) Las coordenadas del vértice son (0, c). 9

10 MATEMÁTICA Torpedo Álgebra Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación. Definiciones Término algebraico: relación entre números (factor numérico o coeficiente) y letras (factor literal) mediante multiplicación, división, potencia y/o raíces. Términos semejantes: son aquellos que tienen exactamente el mismo factor literal. Ejemplo: 3ab y 7ab son términos semejantes, 9a 2 b y 2ab 2 no son términos semejantes. Expresiones algebraicas: relación entre términos algebraicos mediante la suma y/o resta. Se clasifican en: monomios, binomios, trinomios, polinomios, etc. Valorización: corresponde a la asignación de un valor numérico o literal a cada variable de una expresión algebraica y la resolución de las operaciones indicadas en ella. Ejemplo: Si a = 1 y b = 2, entonces a + b 2 = 1 + ( 2) 2 = 5 Suma y resta de términos Sólo se pueden sumar o restar los términos que son semejantes (se conoce también como reducción de términos semejantes). Se realiza la operación con los factores numéricos, manteniendo el factor literal intacto. Ejemplo: la suma entre 5xy 2 y 3xy 2 es igual a 8xy 2, mientras que la suma entre 4xy y 9x 2 y 2 no es posible de realizar. Multiplicación Monomio por monomio: se multiplican coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal. Ejemplo: 4a 2 b 3 3a 4 b = (4 3)(a 2 a 4 )(b 3 b) = 12 a 6 b 4 Monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo: a (b + c + d) = ab + ac + ad Polinomio por polinomio: se multiplica cada término de un polinomio con todos los términos del otro polinomio. Ejemplo: (a + b)(x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz Ecuaciones En la resolución de una ecuación se deben considerar las siguientes propiedades: Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad, esta se mantiene. Al multiplicar o dividir a ambos lados de una igualdad por una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene. En general, para resolver una ecuación se tiene que despejar la incógnita, para lo cual deben efectuarse operaciones que permitan reducir términos o coeficientes hasta lograr despejarla. Ejemplo: 5x 7 = 2x 25 5x 7 2x = 2x 25 2x 3x 7 = 25 3x = x = 18 3x 3 = 18 3 x = 6 10

11 CUADERNILLO Funciones Es una relación entre dos variables tal que para cada valor de x se obtiene un único valor de f(x). f(x) = y Imagen Preimagen Conceptos generales de funciones Sea f una función que relaciona elementos del conjunto A con elementos de B: A f B Variable independiente: valor que no depende de otra variable. Se denota con la letra x. Variable dependiente: valor que depende de otra variable. Se denota con la letra y. Se dice que y depende de x o que y está en función de x. Dominio de f: conjunto de todas las preimágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de partida (A) que tienen imagen. En el diagrama sagital adjunto, Dom f = A. a b c d e p q r s t Recorrido de f: conjunto de todas las imágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de llegada (B) que tienen preimagen. En el diagrama sagital adjunto, Rec f = {p, s, t}. f : A B x f(x) Evaluación de una función Ejemplos: 1. Si f(x) = 3x + 5, entonces f( 1) es: f( 1) = 3 ( 1) + 5 f( 1) = f( 1) = 2 2. Si f(x) = x 2 3, entonces f(a + 3) es: f(a + 3) = (a + 3) 2 3 f(a + 3) = (a a ) 3 f(a + 3) = a 2 + 6a f(a + 3) = a 2 + 6a + 6 Gráfico de una función Está formado por todos los pares ordenados (x, y) que se obtienen al evaluar la función para distintos valores de x. f(x) = y b f(a) = b (a, b) = (a, f(a)) f a x 11

12 MATEMÁTICA Tabla de corrección Ítem Clave Habilidad Dificultad estimada 1 Aplicación Media 2 Aplicación Media 3 Aplicación Fácil 4 Aplicación Fácil 5 Aplicación Media 6 ASE Media 7 ASE Media 8 ASE Difícil 9 Aplicación Media 10 ASE Difícil 11 ASE Media 12 ASE Difícil 13 Aplicación Media 14 Aplicación Difícil 15 Aplicación Difícil 16 ASE Media 17 Comprensión Media 18 Aplicación Media 19 Aplicación Difícil 20 ASE Media 21 Aplicación Media 22 Aplicación Media 23 ASE Media 24 ASE Media 25 ASE Fácil 12

13 CUADERNILLO Mis apuntes 13

14 MATEMÁTICA Mis apuntes 14

15 CUADERNILLO Mis apuntes 15

16 Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias. Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.