UNIDAD 2 ÁLGEBRA. Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD. Dr. Daniel Tapia Sánchez

Transcripción

1 UNIDAD 2 ÁLGEBRA Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD Dr. Daniel Tapia Sánchez

2 El Álgebra

3 En esta unidad aprenderás a: Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Reconocer productos notables como cuadrado de binomio, suma por su diferencia, suma de cubos, diferencia de cubos y cubo de binomio. Factorizar expresiones algebraicas identificando factor común o a través del reconocimiento de productos notables. Determinar el Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor entre expresiones algebraicas.

4 Contenido de la unidad 2.1 Definiciones Término algebraico Expresión algebraica Términos semejantes 2.2 Operaciones Algebraicas Suma y resta Multiplicación Productos Notables Factorización División 2.3 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) 2.4 Máximo común divisor (M.C.D.)

5 2.1.1 Término algebraico Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un factor numérico, denominado coeficiente y un factor literal formado por una o más letras. Las literales siempre tienen asociado un exponente, pero en caso de que este sea uno, se omite escribirlo. Ejemplos: 15a 3 b 5, ab 2 c, 5x 2 y, 2z 3w

6 Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta. Ejemplos: 1) 4x 2 3 5y 2) 8a 3 + 7xy 2 3x + 10y 3) 2a 3 b 2 + 5ab 3a 2

7 Monomio: Expresión algebraica que consta de un solo término algebraico. Ejemplos: 25a 3, 9xy 2, 45x 2 z 5 Polinomio: Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. Los polinomios se pueden clasificar según el número de términos que contienen. En la siguiente diapositiva se muestran algunos ejemplos:

8 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. Ejemplo: 4x 7 y 2 + 5xy 2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 2a 3 b 2 + 5ab 3a 2

9 2.1.3 Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos 6a 2 b y 5a 2 b son semejantes. - Los términos 2x 4 y 7x 2 no son semejantes.

10 2.2.1 Suma y Resta Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes. Ejemplo: ab 2 c + 3ab 2 c 5ab 2 c = ( ) ab 2 c = (4 5) ab 2 c = ( 1) ab 2 c = ab 2 c

11 En la suma de polinomios, se escribe cada polinomio uno detrás de otro y se reducen los términos semejantes. Sumar los siguientes polinomios:

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13 En esta operación, es importante identificar el minuendo y el substraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes. Realizar la siguiente operación:

14 Para hacerlo, debemos recordar que el signo menos fuera del paréntesis, afecta a todos los monomios que están dentro de los paréntesis. Por lo tanto, debemos invertir el signo de cada monomio en el segundo paréntesis, es decir, debemos cambiar los signos positivos por negativos y los negativos por positivos: Posteriormente se reducen los términos semejantes:

15 Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 3x 2xy = 6x 2 y Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Para hacerlo, se aplican las leyes de los exponentes estudiadas en la unidad anterior (se suman los exponentes que tengan la misma base) Ejemplo: 3ab 4 (5a 2 b + 2ab 2-4ab) = = 15a 3 b 5 + 6a 2 b 6 12a 2 b 5

16 Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Posteriormente se suman los términos semejantes. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) = 6x 2 + 4xy + 3xy + 2y 2 = 6x 2 + 7xy + 2y 2

17 Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2-2ab + b 2

18 Ejemplo: (5x 3y) 2 = (5x) 2-2(5x 3y) + (3y) 2 = 25x 2-30xy + 9y 2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a a 2 a b a a b b a b a b b 2 b

19 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2 - b 3

20 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (3x 2y) 3 = (3x) 3 3 (3x) 2 2y + 3 (3x) (2y) 2 (2y) 3 Desarrollando potencias... = 27x 3 3 (9x 2 ) 2y + 3 (3x ) (4y 2 ) 8y 3 Multiplicando... = 27x 3 54x 2 y + 36xy 2 8y 3

21 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y) (5x 6y) = (5x) 2 (6y) 2 = 25x 2 36y 2

22 (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (x + 4) (x + 2) = x 2 + (4 + 2)x Desarrollando... = x 2 + 6x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

23 Ejemplo 2: Aplicando la fórmula... (y - 4) (y + 2) = y 2 + (-4 + 2)y Desarrollando... = y 2 2y - 8

24 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: (2x + 3y + 4z) 2 =? Aplicando la fórmula... = (2x) 2 + (3y) 2 + (4z) 2 + 2(2x 3y) + 2(2x 4z) + 2(3y 4z) Desarrollando... = 4x 2 + 9y z xy + 16xz + 24yz

25 a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Ejemplo: 8x 3 64y 3 = (2x) 3 (4y) 3 Aplicando la fórmula... = (2x 4y)((2x) 2 + 2x 4y + (4y) 2 ) Desarrollando... = (2x 4y)(4x 2 + 8xy + 16y 2 )

26 a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) Ejemplo: 27x 3 + 8y 3 = (3x) 3 + (2y) 3 Aplicando la fórmula... = (3x + 2y)((3x) 2 3x 2y + (2y) 2 ) Desarrollando... = (3x + 2y)( 9x 2 6xy + 4y 2 )

27 Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Ahora haremos el proceso inverso al de los productos notables. Es decir, ahora debemos representar con una cantidad menor de términos cada expresión.

28 Son las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto a la primera expresión. Ejemplos: x 2 + 2x = x 2 x 2 = x (x + 2) factor factor (x 2) (x + 1) factor factor

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30 Todo polinomio puede ser descompuesto en dos o más factores distintos de 1. Los polinomios se pueden descomponer de distintas maneras las cuales se explicaran a continuación.

31 a) Cuando todos los términos tienen un factor común Ejemplos: 10a + 30ax 2 = 10 1 a a x x En ambos términos = 10 a ( x 2 )

32 18 m x y 2 54 m x 2 y m y 2 = 18 m x y y 18 3 m x x y y + 18 m y y 1 = 18 m y 2 ( x 3 x ) En cada uno de los términos En todos los términos

33 b) Cuando todos los términos tienen un polinomio como factor común Ejemplos: 2x (a 1) y (a 1) = (a 1) (2x y) factor m (x + 2) + (x + 2) = (x + 2) (m + 1) factor

34 c) Cuando se agrupan los términos factor común Ejemplos: a x + a y + b x + b y = ( a x + b x ) + ( a y + b y ) factor factor = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) ( x + y )

35 d) Cuando un trinomio es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable Una cantidad es cuadrado perfecto cuando se cumple que es el cuadrado de otra, es decir, se cumple que: a 2 2ab + b 2 = (a b)(a b)

36 Ejemplos: 4x y 2 20xy = 4x 2 20xy + 25y = (2x) 2 (2x) (5y) + (5y) = ( 2x 5y ) Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones algebraicas. 2

37 e) Cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable se puede transformar a cuadrado perfecto por adición o sustracción.

38 Ejemplos: 1 x 4 + x 2 y 2 + y 4 No es un cuadrado perfecto 2 x x 2 y 2 + y 4 Es un cuadrado perfecto Para llegar de 1 a 2 : x 4 + x 2 y 2 + y 4 x x 2 y 2 x 2 y 2 Se le suma cero 2 x 2 y 2 + y4 x 2 y 2 = ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 2 = ( x 2 + y 2 ) ( xy ) 2 Cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados = ( x 2 xy + y 2 ) ( x 2 + xy + y 2 ) 2 2

39 f) Trinomios de la forma x 2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones: Coeficiente del primer termino 1 Primer término es una letra elevada al cuadrado Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera Tercer término es independiente (sin letra) Ej: y 2 8y +15

40 Ejemplo: x x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 ) + + = + Al multiplicar los signos: Se tiene que buscar dos = = 6 números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6

41 g) Trinomios de la forma ax 2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones: Coeficiente del primer termino distinto de 1 Primer término es una letra elevada al cuadrado Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera Tercer término es independiente (sin letra) Ej: 3a 2 + 7a 6

42 Ejemplo: Se multiplica por el 6 x 2 7 x 3 coeficiente de x (6) 6 x 2 7 x 3 2 (6) (6) Trinomios de la forma x 2 bx c La suma y la multiplicación es entre un número positivo y otro negativo (6x) 2 7 (6x) 18 ( 6x 9 ) ( 6x + 2 ) = = = 18

43 Aunque ya se factorizó el polinomio hay que recordar que se multiplicó por seis por lo que para no alterar el polinomio hay que dividirlo por el mismo valor. 6x 2 7x 3 = (6x 9) (6x 2) 6 = 3 (2x 3) 2 (3x 1) = 2 3 (2x 3) (3x 1)

44 h) Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio. ( a + b ) 3 = a a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ó ( a + b ) 3 = a 3 3 a 2 b + 3 a b 2 b 3

45 Ejemplo: 8 x x 2 y 9 27 y 9 36 x 4 y (2 x 2 ) 3 (2 x 2 ) 2 (3 y 3 ) + 3 (2 x 2 ) (3 y 3 ) 2 (3 y 3 ) = ( 2x 2 3y 3 ) 3

46 i) Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos. Ej: cubo ( 1 3 ) cuadrado x = ( x + 1 ) ( x 2 x ) 2 cubo ( x 3 ) cuadrado Signo contrario el que se encuentra en término anterior cubo ( 2 3 ) cuadrado a 3 8 = ( a 2 ) ( a 2 + a 2 2 ) 2 Cubo ( a 3 ) cuadrado Signo contrario el que se encuentra en término anterior

47 Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: Factorizando... 1) x 2 + x - 20 x 2-25 = (x + 5)(x 4) (x + 5)(x 5) Simplificando... = (x 4) (x 5) Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente: (x 4) (x 5)

48 2) (a + b) 2 a 2 - b 2 : 1 a - b = Factorizando y simplificando (a + b)(a + b) : 1 (a + b)(a b) a - b Dividiendo: = (a + b) : (a b) 1 a - b (a + b) a - b = (a b) 1 = (a + b)

49 2.3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Entre monomios: Corresponde a todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo 1: El m.c.m. 3x 5 y 2, 18x 2 yz 6 y 9y 3 entre: es: 18x 5 y 3 z 6 Ejemplo 2: El m.c.m. entre: x 4 y 2 z 3, x 2 y, xy 6 z es: x 4 y 6 z 3

50 Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el m.c.m. entre: x 2 + x y x 2 + 2x +1 Factorizando... x(x +1) (x +1) 2 m.c.m. : x(x +1) 2

51 Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: 3x 5 y 2, 18x 2 yz 6 y 9y 3 es: 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: a 4 b 2, a 5 bc y a 6 b 3 c 2 es: a 4 b

52 Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: x 2 + x y x 2 + 2x +1 Factorizando... x(x +1) (x +1) 2 M.C.D. : (x +1)