Como se vio anteriormente un binomio es una expresión algebraica de dos términos.

Transcripción

1 Como se vio anteriormente un binomio es una epresión algebraica de dos términos. Ejemplos: 1) a+b ) ²-4yz ) -ab³-b³ 4) 1+4⁴ 5) -1-a²b La factorización de binomios es un proceso muy importante en álgebra. Eisten ciertas fórmulas que permiten multiplicar binomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa), tales como: Diferencia de cubos Suma de cubos Es un binomio que consta de dos términos, epresado de la forma: a³-b³ En donde a y b son números reales. Ejemplos: 1) 7-³ ) a⁹-b⁶ ) a¹²-1 binomio al cubo restando otro binomio al cubo 1

2 Factorización de una diferencia de cubos. La factorización de una diferencia de cubos a³-b³ es el producto de un binomio y un trinomio. Diferencia de cubos Dos términos (binomio). Deben tener raíz cubica eacta en cada término a ³ - b ³ = ( a - b ) ( a ² + a b + b ² ) Producto de un binomio genera Trinomio Fórmula para FACTORIZAR una DIFERENCIA DE CUBOS De lo anterior podemos decir que : El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término, que multiplica al trinomio, formado por el cuadrado de la raíz del primer término, más la multiplicación de la raíces cúbicas de los dos, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. Ejemplo: cuadrado de las raíces a ³ - b ³ = ( a - b ) ( a ² + a b + b ² ) a raíz b Binomio (diferencia de las raíces cúbicas) Más la multiplicación de las raíces (a)(b) NOTA: Para obtener la raíz cúbica de las letras, se dividirá para el caso de la SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS el eponente de la variable entre tres por ser éste el índice de la raíz cúbica. Ejemplo: Índice de la raíz eponente fraccionario El numerador de un eponente fraccionario indica una elevación a potencia. El denominador de un eponente fraccionario equivale al índice de la raíz.

3 Ejercicio de afirmación. Factoriza la siguiente diferencia de cubos, (descompones en dos factores, un binomio y un trinomio). 1 a Procedimiento: Paso 1. Obtén las raíces cúbicas de cada término: a 1 Paso. Obtén el primer factor, un binomio formado mediante la diferencia de las raíces cúbicas de cada término: ( a) Paso. Forma el segundo factor, un trinomio formado por: el cuadrado del primer término más la multiplicación de las raíces cúbicas de los dos, más el cuadrado del segundo término. ( 1a ) Paso 4. Multiplica el binomio por el trinomio en forma de paréntesis y ésta es la factorización. (1 a)(1 1a a )

4 Ejercicio de afirmación 7. a b Ejercicio de afirmación a b Ejercicio de afirmación y z Ejercicio de afirmación 1O. y 1y 9 4

5 Una suma de cubos es un binomio que consta de dos términos de la forma: a³+b³ En donde a y b son números reales. Ejemplos: 1) 7+³ ) a⁹+b⁶ ) y¹²+1 binomio al cubo Sumando otro binomio al cubo Factorización de una suma de cubos. La factorización de una suma de cubos a³+b³ al igual que en la suma de cubos, es el producto de un binomio y un trinomio. a³ + b³ = (a + b) (a² - a b + b²) Para factorizar una suma de cubos se aplica la regla que la define: La suma de las raíces cúbicas de los dos sumandos, multiplicado por la suma de los tres sumandos; el cuadrado de la raíz cúbica del primer sumando, menos la multiplicación de las raíces cúbicas de los dos, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo sumando. Ejemplo: cuadrado de las raíces a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² - a b + b ² ) a raíz b Binomio (diferencia de las raíces cúbicas) Más la multiplicación de las raíces (a)(b) NOTA: Para obtener la raíz cúbica de las letras, se dividirá para el caso de la SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS el eponente de la variable entre tres por ser éste el índice de la raíz cúbica. Revisar nota anterior 5

6 Ejercicio de afirmación 11. Factoriza la siguiente suma de cubos, (descompones en dos factores, un binomio y un trinomio). 8 y Procedimiento: Paso 1. Obtén las raíces cúbicas de cada término: Para 8 Para y y Paso. Obtén el primer factor, un binomio formado mediante la suma de las raíces cúbicas de cada término: ( y) Paso. Forma el segundo factor, un trinomio formado por: el cuadrado del primer término menos la multiplicación de las raíces cúbicas de los dos, más el cuadrado del segundo término. (() y y ) Realiza la multiplicación de ()²: (4 y y ) Paso 4. Multiplica el binomio por el trinomio en forma de paréntesis y ésta es la factorización. ( y)(4 y y )

7 Ejercicio de afirmación y Ejercicio de afirmación 1. a 8b 1 Ejercicio de afirmación m 4n Ejercicio de afirmación

8 ² + b + c Ejemplos: a m y 5 a 15 5m 14 8y 15 Y deben cumplir con las condiciones siguientes: ² + b ¹ + c 1 1. El coeficiente del primer término es 1.. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. ². El segundo término tiene la misma letra que el primero con eponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa. 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1er. y do. término y es una cantidad cualquiera positiva o negativa. c ² + b + c. b ¹ 1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es o sea, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.. En el 1er. factor después de se escribe el signo del do. término del trinomio y en el do. factor después de se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del do. término del trinomio por el signo del er. término del trinomio.. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del do. término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del er. término del trinomio. 4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del do. término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el do. término del 1er. binomio y el menor el do. término del do. binomio. 8

9 Ejemplo 1: Factorar + 5 Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de ² o sea. raíz 5 En el 1er. factor después de se escribe el signo + (positivo) del do. término del trinomio. + En el do.factor después de se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del do. término del trinomio por el signo del er. término del trinomio. + + do. término er. término (+) (+) = + En los dos factores binomios tenemos en medio signos iguales, por lo que ahora se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del do. término (5) del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del er. término () del trinomio. Esos números son y : +=5 ()()= ( )( ) 9

10 Ejemplo : Factorar 5 14 Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de ² o sea. raíz 5 14 En el 1er. factor después de se escribe el signo (negativo) del do. término del trinomio. En el do.factor después de se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del do. término del trinomio por el signo del er. término del trinomio. + ( ) ( ) = + En los dos factores binomios tenemos en medio signos distintos, por lo que ahora se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del do. término (5) del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del er. término (14) del trinomio. Esos números son 7 y : 7-=5 (7)()=14 do. término 5 14 er. término El mayor 7, se escribe en el 1er. binomio y se tendrá: ( 7)( ) 10

11 a ² + b + c Ejemplos: 11 a 7a 10n n 7m m 5 En este caso se diferencia del trinomio anterior coeficiente distinto de 1. en que el 1er. término tiene un Ejemplo 1: Factorar 7 Multipliquemos todo el trinomio por el coeficiente de ² que es () y dejando indicado el producto de () por (7) de tal manera: Observa es lo mismo si escribimos : ( ) 7 7 Por lo tanto podemos escribir el trinomio así: () 7 18 Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de ² o sea. () 7 18 raíz En el 1er. factor después de se escribe el signo (negativo) del do. término del trinomio. 11

12 En el do.factor después de se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del do. término del trinomio por el signo del er. término del trinomio. do. término () 7 18 er. término + ( ) ( ) = + En los dos factores binomios tenemos en medio signos distintos, por lo que ahora se buscan dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto 18. Esos números son 9 y : 9-=7 (9)()=18 El mayor 9, se escribe en el 1er. binomio y se tendrá: 9) ) Al principio multiplicamos el trinomio por, ahora tenemos que dividir entre para no alterar el trinomio, así tendremos: 9) ) Como ningún factor es divisible entre, descomponemos en y dividiendo entre y ) entre, de la siguiente manera: 9) 9) ) ) 1) Por lo tanto: 7 ) 1) 1

13 Ejemplo : Factorar Multipliquemos todo el trinomio por el coeficiente de ² que es (0) y dejando indicado el producto de (7) por (0) de tal manera: Observa es lo mismo si escribimos : Por lo tanto podemos escribir el trinomio así: Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de 0² o sea raíz 0 0 En el 1er. factor después de se escribe el signo + (negativo) del do. término del trinomio En el do.factor después de se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del do. término del trinomio por el signo del er. término del trinomio. do. término er. término (+) ( ) = 1

14 En los dos factores binomios tenemos en medio signos distintos, por lo que ahora se buscan dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 10. Esos números son 15 y 8: 15-8=7 (15)(8)=10 El mayor 15, se escribe en el 1er. binomio y se tendrá: 0 15)(0 8) Al principio multiplicamos el trinomio por 0, ahora tenemos que dividir entre para no alterar el trinomio, así tendremos: 0 15)(0 0 8) Como ningún factor es divisible entre 0, descomponemos 0 en 54. Dividiendo entre 4 y ( 0 8) entre 5, de la siguiente manera: 0 15) 0 15)(0 8) 4 ) 5 ) 5 4 Por lo tanto: ) 5 ) 14