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Transcripción

1 Para ver una explicación detallada de cada caso, haga Click sobre el nombre del caso: 1. Factor común monomio 2. Factor común por agrupación de términos 3. Trinomio de la forma 4. Trinomio de la forma 5. Trinomio cuadrado perfecto 6. Diferencia de cuadrados 7. Diferencia de cubos 8. Suma de cubos 9. División sintética

2 1. Factor común monomio En este caso, se trata de encontrar en una expresión algebraica uno o más elementos que sea común en todos los términos de la expresión. Cuando se trata de números, debemos encontrar un número del cual los demás que aparecen sean múltiplos. Es decir, debemos hallar el Máximo Común Divisor (MCD) Veamos dos ejemplos explicado paso a paso: Ejemplo 1 Factorizar Revisemos: Los números: 3, 12 y 9 tienen un MCD que es 3. Es decir, todos los números son múltiplos de 3 Las letras: y se encuentran en todos los términos. Se saca como factor común la letras que tengan el menor exponente, sea y Como ya detectamos todo lo que es común, entonces procedemos a factorizar. Primero colocamos los comunes y abrimos paréntesis: analizamos cada término por separado para completar la factorización: En el primer término multiplicado por el factor común debemos encontrar el factor que. Ese factor es Lo vamos colocando En el segundo término multiplicado por el factor común debemos encontrar el factor que nos de ese valor. El factor es Lo colocamos a continuación del anterior En el tercer término por el factor común debemos encontrar el factor que multiplicado nos de ese valor. El factor es Lo colocamos a continuación de los anteriores y hemos terminado. Cerramos el paréntesis:

3 Ejemplo 2 Factorizar Revisemos: Los números: 6, 9 y 24 tienen un MCD que es 3. Es decir, todos los números son múltiplos de 3 Las letras: y se encuentran en todos los términos. Se saca como factor común las letras que tengan el menor exponente, o sea y Como ya detectamos todo lo que es común, entonces procedemos a factorizar. Primero colocamos los comunes y abrimos paréntesis: analizamos cada término por separado para completar la factorización: En el primer término multiplicado por el factor común debemos encontrar el factor que nos de ese valor. Ese factor es Lo vamos colocando En el segundo término multiplicado por el factor común debemos encontrar el factor que nos de ese valor. El factor es Lo colocamos a continuación del anterior En el tercer término multiplicado por el factor común debemos encontrar el factor que nos de ese valor. El factor es Lo colocamos a continuación de los anteriores y hemos terminado. Cerramos el paréntesis: A continuación, más ejercicios resueltos: Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

4 Volver al inicio 2. Factor común por agrupación de términos Este caso se desarrolla en dos pasos: Primero, agrupar algunos términos que tengan factor común monomio, factorizarlos y Segundo volver a factorizar como factor común monomio. Para mayor claridad, veamos dos ejemplos explicados paso a paso: Ejemplo 1 Factorizar la siguiente expresión algebraica: Como podemos ver, la expresión tiene 4 términos y no hay en todos un factor común como en el Caso anterior, debemos ver la posibilidad de agruparlos en parejas que tengan algo en común. Veamos: Vamos a resaltar en color diferente las dos parejas que vamos a agrupar: En la primera pareja: tienen en común el 5 y la letra a, entonces al factorizar esta expresión nos queda: En la segunda pareja: tienen en común el 2 y la letra b, entonces al factorizar esta expresión nos queda: Fíjense que la expresión dentro de los dos paréntesis son muy parecidas, pero las diferencia los signos. Para hacerlas iguales,

5 sacaremos el signo del segundo paréntesis. Cuando un signo se saca del paréntesis, todo lo que está por dentro cambia de signo, entonces la segunda pareja queda así: Ahora sí son iguales. Vamos a escribirlas una al lado de la otra: Los dos términos anteriores tienen en común lo que está dentro del paréntesis. Lo factorizamos nuevamente utilizando el método de factor común: Y ya queda totalmente factorizado. Intenten factorizar el ejemplo anterior, agrupando los términos que tienen la letra y los que tienen la letra. Deben obtener el mismo resultado. Ejemplo 2 Factorizar la siguiente expresión algebraica: Como podemos ver, la expresión tiene 4 términos y no hay en todos un factor común como en el caso de factor común monomio, por lo tanto debemos ver la posibilidad de agruparlos en parejas que tengan algo en común. Veamos: Vamos a resaltar en color diferente las dos parejas que vamos a agrupar: En la primera pareja: Los términos tienen en común el 2 y la letra x, entonces al factorizar esta expresión nos queda: En la segunda pareja: Los términos tienen en común el 3 y la letra y, entonces al factorizar esta expresión nos queda: Fíjense que la expresión dentro de los dos paréntesis son iguales. Ahora, vamos a escribir las dos expresiones factorizadas una al lado de la otra:

6 Los dos términos anteriores tienen en común lo que está dentro del paréntesis. Lo factorizamos nuevamente utilizando el método de factor común: Y ya queda totalmente factorizado. Intenten factorizar el ejemplo anterior, agrupando los términos que tienen la letra y los que tienen la letra. Deben obtener el mismo resultado. A continuación veamos algunos ejercicios resueltos: Factorizar los siguientes polinomios: Volver al inicio 3. Trinomio de la forma Como su nombre lo indica, para que se un trinomio, la expresión algebraica dada debe tener TRES términos. De lo contrario, hay que buscar otra opción para factorizar. La factorización de este tipo de trinomio es muy sencilla, ya que prácticamente se hace de memoria, si se ejecutan las siguientes reglas:

7 Debe estar ordenado con el exponente de mayor a menor. Tenga en cuenta que y son números y ellos pueden ser positivos o negativos. Escribimos lo siguiente Enseguida escribimos los signos: el signo en el primer paréntesis es el signo que tiene el número y el signo en el segundo paréntesis será el producto de los signos de, y los escribimos Ahora buscamos dos números que al sumarlos nos de como resultado y al multiplicarlos nos de cómo resultado. Para que sea más fácil busque primero los número que multiplicados den como resultado el valor de Parece enredado pero NO es así. Veamos algunos ejemplos explicados paso a paso: Ejemplo 1 Factorizar Escribimos lo siguiente Enseguida escribimos los signos: el signo en el primer paréntesis es el signo que tiene el número y el signo en el segundo paréntesis será el producto de los signos de que en este caso y son positivos, por lo cual el producto de signos dará positivo porque más por más es positivo y los escribimos Ahora buscamos dos números que al sumarlos nos de como resultado y al multiplicarlos nos de cómo resultado. Buscamos primero que al multiplicarlos de Esos números son 2 y 1 y los colocamos dentro de los paréntesis. Como los dos son positivos no importa el orden en que se coloquen y ha quedado factorizado.

8 Ejemplo 2 Factorizar Escribimos lo siguiente Enseguida escribimos los signos: el signo en el primer paréntesis es el signo que tiene el número y el signo en el segundo paréntesis será el producto de los signos de que en este caso y son negativos, por lo cual el producto de signos dará positivo porque menos por menos es positivo y los escribimos Ahora buscamos dos números que al sumarlos nos de como resultado y al multiplicarlos nos de cómo resultado. Buscamos primero que al multiplicarlos de Esos números son 8 y 3 y los colocamos dentro de los paréntesis. Como la suma debe dar negativa, colocamos el más grande donde está el signo menos y ha quedado factorizado. Ejemplo 3 Factorizar Escribimos lo siguiente Enseguida escribimos los signos: el signo en el primer paréntesis es el signo que tiene el número y el signo en el segundo paréntesis será el producto de los signos de que en este caso uno es positivo y el otro negativo, por lo cual el producto de signos dará negativo porque menos por más es negativo y los escribimos Ahora buscamos dos números que al sumarlos nos de como resultado y al multiplicarlos nos de cómo resultado. Buscamos primero que al multiplicarlos de Esos números son 5 y 1 y los colocamos dentro de los paréntesis. Como los signos son iguales, no importa el orden y ha quedado factorizado.

9 Ejemplo 4 Factorizar Escribimos lo siguiente Enseguida escribimos los signos: el signo en el primer paréntesis es el signo que tiene el número y el signo en el segundo paréntesis será el producto de los signos de que en este caso uno es positivo y el otro negativo, por lo cual el producto de signos dará negativo porque más por menos es negativo y los escribimos Ahora buscamos dos números que al sumarlos nos de como resultado y al multiplicarlos nos de cómo resultado. Buscamos primero que al multiplicarlos de Esos números son 6 y 3 y los colocamos dentro de los paréntesis. Como la suma debe ser positiva, colocamos el número mayor donde está el signo positivo y ha quedado factorizado. Ahora veamos algunos ejercicios resueltos: Factorizar los siguientes polinomios: Volver al inicio

10 4. Trinomio de la forma Este trinomio, aunque se parece bastante al anterior, difiere en que el valor de es diferente de 1. Para resolver este tipo de trinomio, debemos hacer unos arreglos para que quede mucho más parecido al anterior. Para explicarlo, vamos a hacerlo con un ejemplo: Factorizar - multiplicamos y dividimos la expresión por el número que acompaña la letra elevada al cuadrado o sea el 2 entonces escribimos - Este paso es muy importante vamos a destruir el paréntesis, pero solo el número independiente se multiplicará por 2, en los demás términos se debe dejar el 2 al lado de la entre paréntesis, así: - Ahora sí vamos a proceder a resolver el trinomio como en el caso anterior, pero ya no es sino. - Escribimos y buscamos dos números que sumados de 3 y multiplicados den - Los números son y y los escribimos: - Ahora sacamos factor común: - Simplificamos el número y obtenemos: y ha quedado factorizado.

11 Veamos otros ejemplos: Factorizar - multiplicamos y dividimos la expresión por el número que acompaña la letra elevada al cuadrado o sea el 6 entonces escribimos - Este paso es muy importante vamos a destruir el paréntesis, pero solo el número independiente se multiplicará por 6, en los demás términos se debe dejar el 6 al lado de la entre paréntesis, así: - Ahora sí vamos a proceder a resolver el trinomio como en el caso anterior, pero ya no es sino. - Escribimos y buscamos dos números que sumados de 13 y multiplicados den - Los números son y y los escribimos: - Ahora sacamos factor común: - Simplificamos el número y obtenemos: y ha quedado factorizado.

12 Factorizar - multiplicamos y dividimos la expresión por el número que acompaña la letra elevada al cuadrado o sea el 4 entonces escribimos - Este paso es muy importante vamos a destruir el paréntesis, pero solo el número independiente se multiplicará por 4, en los demás términos se debe dejar el 4 al lado de la entre paréntesis, así: - Ahora sí vamos a proceder a resolver el trinomio como en el caso anterior, pero ya no es sino. - Escribimos y buscamos dos números que sumados de -16 y multiplicados den - Los números son y y los escribimos: - Ahora sacamos factor común: - Simplificamos el número y obtenemos: y ha quedado factorizado. Ahora veamos algunos ejercicios resueltos: Factorizar los siguientes polinomios: Volver al inicio

13 5. Trinomio cuadrado perfecto Recuerde nuevamente para que sea un trinomio DEBE TENER TRES TÉRMINOS. Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza casi de memoria, si se sabe identificar sus partes. El siguiente es un ejemplo: Para identificar sus partes, debe estar escrito como se escribió arriba, ordenado el exponente de mayor a menor. Los términos de los extremos deben tener raíz cuadrada exacta (tienen que ser positivos) y el término de la mitad es el doble producto de las dos raíces cuadradas de los extremos. Veamos un ejemplo: Cuando la letra no tiene número se sabe que es 1. Los extremos son: y y los dos tienen raíz cuadrada: El término de la mitad anteriores: debe ser el doble producto de las dos raíces Se cumple la regla, entonces se factoriza así: Es decir, entre paréntesis se escribe las raíces de los extremos y se eleva al cuadrado. El signo es el mismo signo que tiene el segundo término. Un número negativo no tiene raíz cuadrada

14 Otro ejemplo: Los extremos son: y y los dos tienen raíz cuadrada exacta: El término de la mitad anteriores: debe ser el doble producto de las dos raíces Se cumple la regla, entonces se factoriza así: Es decir, entre paréntesis se escribe las raíces de los extremos y se eleva al cuadrado. El signo es el mismo signo que tiene el segundo término. Los extremos son: y y los dos tienen raíz cuadrada exacta: El término de la mitad raíces anteriores: debe ser el doble producto de las dos Se cumple la regla, entonces se factoriza así: Es decir, entre paréntesis se escribe las raíces de los extremos y se eleva al cuadrado. El signo es el mismo signo que tiene el segundo término. A continuación, algunos ejercicios resueltos Factorizar los siguientes polinomios: Volver al inicio

15 6. Diferencia de cuadrados Este es el más sencillo de todos los casos porque basta con saber identificarlo y aplicar la fórmula. Siempre escriba primero el positivo y luego el negativo. Una diferencia de cuadrados se identifica porque: Están restando Los dos tienen raíz cuadrada exacta Veamos un ejemplo: Verifiquemos las condiciones: Están restando Los dos tienen raíz cuadrada exacta Factoricémoslo: Qué hicimos? Sacamos raíz cuadrada a los dos y los colocamos entre paréntesis uno con signo menos y el otro con signo más Verifiquemos las condiciones: Están restando Los dos tienen raíz cuadrada exacta Factoricémoslo: Qué hicimos? Sacamos raíz cuadrada a los dos y los colocamos entre paréntesis uno con signo menos y el otro con signo más Verifiquemos las condiciones: Están restando Los dos tienen raíz cuadrada exacta Factoricémoslo: Qué hicimos? Sacamos raíz cuadrada a los dos y los colocamos entre paréntesis uno con signo menos y el otro con signo más

16 Ahora varios ejercicios resueltos: Factorizar los siguientes polinomios: Volver al inicio 7. Diferencia de cubos Este caso es muy parecido al anterior, porque solo basta con saber identificarlo y aplicar la fórmula. La fórmula es la siguiente: (Raíz cúbica del primero menos raíz cúbica del segundo) por (raíz cúbica del primero al cuadrado más la raíz cúbica del primero por la raíz cúbica del segundo más la raíz cúbica del segundo al cuadrado) Siempre escriba primero el positivo y luego el negativo. Una diferencia de cubos se identifica porque: Están restando Los dos tienen raíz cúbica exacta Veamos un ejemplo: Verifiquemos las condiciones: Están restando Los dos tienen raíz cúbica exacta Factoricémoslo:

17 Verifiquemos las condiciones: Están restando Los dos tienen raíz cúbica exacta Factoricémoslo: Verifiquemos las condiciones: Están restando Los dos tienen raíz cúbica exacta Factoricémoslo: Ahora, algunos ejercicios resueltos: Factorizar los siguientes polinomios: Volver al inicio 8. Suma de cubos La suma de cubos es muy parecida a la diferencia de cubos. Lo único que cambia en la fórmula son los signos, por lo tanto resolveremos los mismos ejercicios del caso anterior pero cambiando los signos.

18 La fórmula es la siguiente: (Raíz cúbica del primero menos raíz cúbica del segundo) por (raíz cúbica del primero al cuadrado más la raíz cúbica del primero por la raíz cúbica del segundo más la raíz cúbica del segundo al cuadrado) Una diferencia de cubos se identifica porque: Están sumando Los dos tienen raíz cúbica exacta Veamos un ejemplo: Verifiquemos las condiciones: Están sumando Los dos tienen raíz cúbica exacta Factoricémoslo: Verifiquemos las condiciones: Están sumando Los dos tienen raíz cúbica exacta Factoricémoslo: Verifiquemos las condiciones: Están sumando Los dos tienen raíz cúbica exacta Factoricémoslo: Ahora, algunos ejercicios resueltos:

19 Factorizar los siguientes polinomios: Volver al inicio 9. División sintética Este es un método utilizado para factorizar expresiones algebraicas que tengan un grado mayor de 3. Para explicar paso a paso su procedimiento, vamos a realizar un ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio: Primero debemos organizar el polinomio por el exponente de mayor a menor. En este caso ya está ordenado. Si hace falta algún exponente, entonces significa que su coeficiente es cero. Segundo colocamos los coeficientes con su respectivo signo, de la siguiente manera: Bajamos el primer coeficiente Tercero buscamos los divisores del número independiente. En este caso los divisores de 24, que son: 2, 3, 4, 6, 8,12, 24 pueden ser positivos o negativos y empezamos a probar colocando en el puesto del divisor el primer número, o sea el 2 2

20 Cuarto El número que está debajo de la línea se multiplica por el divisor y se coloca debajo del coeficiente que sigue y luego se realiza la suma o resta según sea el signo que quede. Por ejemplo: multiplicamos, este resultado lo colocamos debajo del siguiente coeficiente que es y sumamos y esto es lo que tenemos en la operación abajo: 2 Ahora el número que está debajo de la línea es se multiplica por el divisor y este resultado se coloca debajo del coeficiente que sigue, o sea, debajo de y luego se realiza la suma o resta y el resultado se coloca debajo de la línea y repetimos el procedimiento con el número hasta llegar al último coeficiente. Si la suma en el último coeficiente es cero, entonces el número que se colocó en el divisor es el número buscado 2 2 En este caso, la última suma es igual a cero, entonces pasamos al siguiente punto, de lo contrario, debemos probar con otro número en el divisor. Quinto como el último resultado dio cero, entonces significa que el número 2 colocado en el divisor es el número que estamos buscando. Ahora vamos a colocar los factores. El primer factor es el divisor, pero con signo cambiado El segundo factor sale de los números que quedaron debajo de la línea. Es decir de los números Estos son los nuevos coeficientes del nuevo polinomio, el cual se escribe, descontando un grado al original. En este caso, el original es de grado 3, entonces el nuevo polinomio será de grado 2 y se escribe en el mismo orden en que están los números, o sea, así: Este es el segundo factor Ahora sí, ya tenemos los dos factores, entonces los escribimos uno al lado del otro: )

21 Fíjense, que el segundo factor es un trinomio de la forma se factoriza con el método ya visto. el cual Finalmente, la factorización del polinomio original queda así: Entonces obtuvimos tres factores. La cantidad de factores que obtenga depende del grado del polinomio. El polinomio anterior era de grado 3 entonces obtuvimos tres factores. Veamos otro ejemplo con un polinomio de grado 4. Debemos obtener cuatro factores: Los divisores del número independiente son: Probemos con el primero o sea, con El NO sirve, por al final no dio cero. Entonces debemos probar con otro número. Ahora probaremos con Veamos: Ahora sí. Primer factor Queda el polinomio así: Nos quedó un polinomio de tercer grado, el cual factorizarmos de la misma manera: Segundo factor

22 Queda el polinomio así: El último polinomio, lo factorizamos por el método del trinomio y finalmente tenemos: Volver al inicio