POLINOMIOS. FACTORIZACIÓN

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Ángeles Moya Reyes
hace 9 años
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1 POLINOMIOS FACTORIZACIÓN JUSTIFICACIÓN Es muy fácil realizar multiplicaciones de números naturales Más dificultad entraña el problema inverso: la factorización Así, realizar la multiplicación 7 es trivial, pero sin embargo si nos piden que hallemos dos números que multiplicados den como resultado, es problema es más complejo (Inténtese, por ejemplo, hallar dos números que multiplicados den como resultado 7) Una vez aprendemos a multiplicar polinomios, es natural preguntarse por el problema inverso: la factorización Aquí la situación es mucho más complicada, ya que es más difícil y lento dividir polinomios que números naturales, y además no disponemos de criterios de divisibilidad con ellos DEFINICIONES: Un polinomio se dice que es irreducible si no se puede poner como producto de otros dos polinomios Nota: Obsérvese la analogía con el concepto de número primo P x x 6x no es irreducible porque puede ponerse como producto de Ejemplo: otros dos polinomios, ya que P x x Ejemplo: multiplicados den como resultado x x x 6x ( compruébese!) es irreducible porque no existen dos polinomios que al ser P x Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios irreducibles Nota: Obsérvese la analogía con los números enteros: factorizar un número entero es escribirlo como producto de números primos TÉCNICAS DE FACTORIZACIÓN Estudiaremos cuatro técnicas de factorización, a saber: - Factorización mediante Factor Común: Válido para los polinomios en los que se n pueda sacar factor común de x - Factorización por Identidades Notables: Válido cuando el polinomio se puede expresar como una identidad notable - Factorización por Resolución de Ecuación: Válido para polinomios de º grado 4- Factorización por Ruffini: Válido para cualquier polinomio Además, primeo intentaremos siempre factorizar por Factor Común y por Identidades Notables, y después por las otras dos técnicas En ocasiones habrá que aplicar varias de ellas para factorizar un polinomio Polinomios Factorización Página de 6

2 Por supuesto, siempre que todos los coeficientes sean divisibles por el mismo número, lo primero que se hará será extraer factor común ese número Esto simplificará en gran medida todos los cálculos que tengamos que hacer Ejemplo: Si tenemos que factorizar 4 será sacar factor común, quedando P x x 4 x 6 polinomio x x 6 4 Ejemplo: Si tenemos que factorizar sacar factor común polinomio x x P x x x, lo primero que haremos, y trabajaremos sobre el P x x x, lo primero que haremos será P x x x, y trabajaremos sobre el, quedando FACTORIZACIÓN MEDIANTE FACTOR COMÚN Esta técnica es válida para polinomios en los que se pueda sacar factor común de Siempre se extraerá x elevado al mayor exponente posible Ejemplo: 4x x x x 4x x Ejemplo: 4 x x x x x x n x FACTORIZACIÓN POR IDENTIDADES NOTABLES Esta técnica es válida cuando el polinomio se puede expresar como una identidad notable Recodemos que las identidades notables son las siguientes: a b a b ab o también a b a ab b a b a b ab o también a b a ab b a b a b a b Las dos primeras identidades notables se escriben de manera compacta así: a b a b ab o también a b a ab b Ejemplo: x x x Ejemplo: x 4 6 x 6 x 6 x 6 x 4 x 4 Polinomios Factorización Página de 6

3 FACTORIZACIÓN POR RESOLUCIÓN DE ECUACIÓN Esta técnica es válida para polinomios de segundo grado Sea P x ax bx c un polinomio de segundo grado Planteamos la ecuación P x, es decir, soluciones: ax bx c soluciones: P x no se puede factorizar solución doble x : soluciones y, y caben tres posibilidades atendiendo a sus P x ax bx c a x x x x : P x ax bx c a x x x x Nota: Obsérvese que el caso de solución doble es un caso particular del caso de soluciones, haciendo x x FACTORIZACIÓN POR RUFFINI Esta técnica es válida para cualquier polinomio Se prueba a hacer la división por Ruffini entre polinomios del tipo x a Para probar valores de a, hemos de tener en cuenta los siguientes resultados: Teorema: Si P x tiene como término independiente p, y es divisible entre x a con p y a enteros, entonces p ha de ser divisible por a Este resultado nos dice que los posibles valores de a hay que buscarlos entre los divisores de p Teorema del Resto: El resto de la división P x : x a es P a Nota: En el caso particular de que P a, significa que x a De aquí extraemos el siguiente Corolario: P x es divisible por x a si P a Veamos esta técnica de factorización con un ejemplo: Ejemplo: Para factorizar 6 4 P x es divisible por P x x x 8x x 6x procedemos de la siguiente forma: - Se puede extraer factor común? Sí, extraemos factor común P x x x x x x x x x x x Q x x x 8x x 6 : Nos fijamos ahora en 4 x y obtenemos: - Se puede aplicar alguna Identidad Notable? No parece 4 - No podemos factorizar resolviendo la ecuación x x 8x x 6, porque es de grado 4 y no sabemos resolverla Polinomios Factorización Página de 6

4 4- Probemos a dividir por Ruffini 4 El término independiente de x x 8x x 6 es 6 Los posibles valores de a se encuentran entre los divisores de a, que son: Div 6,,, 6 Entre estos valores, los que nos sirven son aquellos que anulen el polinomio Q x x x 8x x 6, así que probamos: 4 4 Q 8 6 Por tanto Q Por tanto Q Por tanto Q Por tanto Q Por tanto Q 7 Por tanto Q 6 Por tanto Q 6 Por tanto Q x es divisible por x Q x es divisible por x Q x no es divisible por x Q x es divisible por x Q x no es divisible por x Q x no es divisible por x Q x no es divisible por x 6 Q x no es divisible por x 6 Probaremos, entonces, a dividir entre x, a, a y a ): x y x por Ruffini (es decir, a : Realizamos la división x 4 x 8x x 6 : x : x x 8x x 6 : x x x x 6 Probamos a dividir otra vez (podría ser raíz doble): 6 6 anterior por Vemos que no da exacta Dividimos el resultado de la división a : Realizamos la división x x x 6 : x : x x x 6 : x x x 6 (*) Polinomios Factorización Página 4 de 6

5 Probamos a dividir otra vez (podría ser raíz doble): 6 anterior por Vemos que no da exacta Dividimos el resultado de la división a : Realizamos la división x x 6 : x : x x 6 x x P x es: Así, finalmente, tenemos que la factorización del polinomio P x x x x x x x x x x x Y sacando factor común en el último factor tenemos que P x x x 8x x 6x x x x x x 6 4 Nota: En (*) hemos obtenido el polinomio de º grado x x 6, por lo que también podríamos haber seguido factorizando mediante la resolución de la ecuación x x 6 así: x 4 Con lo que la factorización quedaría como: 6 4 P x x x 8x x 6x x x x x x Polinomios Factorización Página de 6

6 - Extrae factor común: 4 a) x x x EJERCICIOS b) x x x c) x 8x 4x d) x x x e) x x x f) x 9x 6x - Factoriza mediante identidades notables: a) x 8x 6 b) x x c) x 6 d) a 4a 4 e) a a f) a 6 g) 9x 6x h) 6 x 4 i) x 6x 9 - Factoriza mediante factor común e identidades notables: a) x 6x 9 b) x 9x c) x 6x d) x x 8x 4 e) x x f) 4x 4x 4- Factoriza los siguientes polinomios: 4 a) 4x 4x 9x x 4(-,,-/,/) 4 b) x x x (, -4) 4 c) x 6x 7x (/, /) d) 4x 8x (/, /) e) x x 6 (-, x^-x+) 4 f) x x 4x x 4 (, -, ½, -/) g) x x 8 h) x 48x i) x x x j) x 7x 8x 6 4 k) x x x 6x l) x 4x m) x 8x n) 7x x 8 o) x 9x p) x 9x q) x x r) 4x 7x s) x 7x 7 t) x x x u) x x x v) x 9x x 7 4 w) x x 6 x) x x x y) x 7x 9x 6 4 z) 4x 4x x 4x Polinomios Factorización Página 6 de 6

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