LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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1 LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (008) Fundamentos de Matemáticas, Unidad : Epresiones Algebraicas, CIU 008, UNEFA, Caracas. En el presente trabajo, se brinda una presentación a un nivel elemental y completo de los métodos de factorización. En esta lectura trataremos algunos métodos de factorización: Factor común, Diferencia de cuadrados, Factorizando trinomios. En álgebra, la factorización consiste en epresar un objeto o un número, como producto o resultado de otros más pequeños (factores). Este es un proceso básico en el desarrollo de las habilidades matemáticas, con el cual se logran simplificar ecuaciones y/o epresiones de alta dificultad. Para entender este proceso, se deben tener presente los conceptos vistos en el bloque de esta aula: monomio, binomio, polinomio, término, grado, potencia, entre otros. Así como los números naturales se pueden epresar como el producto de dos o más números primos, los polinomios se pueden epresar como producto de factores algebraicos. Entonces el proceso de factorizar puede considerarse como el inverso al de multiplicar: consiste en identificar los factores comunes a todos los elementos y agruparlos. Es de suma importancia la adquisición de esta habilidad matemática para abordar problemas de forma rápida y sencilla. Ejemplos como: En un cubo de madera se hace un orificio de base cuadrada, de una cara a su opuesta, como muestra la figura. Encontrar la epresión algebraica para el volumen del cuerpo restante, implica trabajar con epresiones algebraicas factorizadas. La factorización es una herramienta poderosa, no sólo para el cálculo de ejercicios matemáticos, si no también modelando una forma de pensar alimentada por la curiosidad de entender los elementos complejos, pues cada elemento complejo se puede comprender como producto de sus partes y las relaciones entre sus factores. Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas

2 FACTORIZAR Epresar un número o una epresión algebraica como producto de factores primos que, al multiplicarlos, dan como resultado dicho número o epresión. o Es convertir un número o una epresión algebraica en el producto indicado de sus factores. FACTORIZAR UN NÚMERO: He aquí un ejemplo de cómo se desglosan los factores primos del número 6: 6 Número a factorizar 6 9 Factores de 6 Factores primos de 9 Factores primos de Ahora podemos ver fácilmente los factores primos de 6 son,,, y. Todo esto significa que si usted toma los números y los multiplica entre sí: () () () () 6. Nota: Usted no tiene que elegir 9 y como los primeros dos "ramas" del árbol. Usted puede escoger cualquiera de los dos números que se multiplican para hacer 6. Otras posibilidades son 6 y 6, y, y y 8. FACTORIZAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Cuando una epresión algebraica es el producto de dos o más epresiones, llamadas factores de ella, decimos que podemos factorizarla. Ejemplos: Los términos de la epresión a² - 6ab tienen un factor común a., luego: a² - 6ab a(a - b). Los términos de 5a²b³ - 5ab² - 0b³² tienen como factor común 5b, entonces 5a²b³ - 5ab² - 0b³² 5b²(a² - a - b²). Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas

3 El producto notable es un procedimiento (contrario) que nos permite factorizar epresiones algebraicas, consiste en transformar una epresión algebraica en un producto o multiplicación. Ejemplos: 5 0y y ( 5 y) 6 ( 6) ( 6) 6 y y y 8 ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) Cuando un número o cualquier otra epresión no pueden descomponerse en factores, se dice que es primo. En las operaciones aritméticas y algebraicas se utiliza mucho el procedimiento de la factorización, como la herramienta para simplificar y resolver los ejercicios con menor dificultad y mayor rapidez. Por ejemplo: Aritméticamente: En el álgebra: 5 5 ( 5) ( )( ) ( 5)( 5) ( ) ( 5) ( )( ) ( 5)( 5) 5 5 ( ) ( 5) Veamos a continuación algunos métodos para factorizar epresiones algebraicas: Nota: Es recomendable observar la epresión algebraica y determinar, de acuerdo al orden que se está presentando en esta lectura, cuál es el método más adecuado para factorizarla. Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas

4 FACTOR COMÚN: Consiste en transformar la epresión dada en un producto, donde uno de los factores es común entre los términos y el otro se obtiene al dividir cada término de la epresión original entre el factor común. Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máimo común divisor de dichos coeficientes. Ejemplo : Factorizar la epresión. (.. )... ( ) Descomponemos el número en dos factores y observamos que el es común en los dos términos. Multiplicamos y dividimos toda la epresión por el factor común. Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común. Esta es la epresión ya factorizada. Ejemplo : Factorizar el polinomio 6 8 Ordenamos y calculamos el máimo común divisor entre los coeficientes de cada término, mcd(6,,8) 6 Como la variable es común en los tres términos, multiplicamos el mcd por la elevada a la menor potencia, en este caso es elevada a la (8) Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas

5 Se dividen los coeficientes, y Se aplica la ley de cociente de potencias de igual base (se copia la base y se restan los eponentes) y así se obtiene la epresión factorizada por factor común.. 6 ( 6 8) 6 Multiplicamos y dividimos toda la epresión por este factor común 6 8 Efectuamos el cociente de cada término entre el 6. ( 6 ) factor común Resolviendo cada cociente, quedaría la epresión ya factorizada. Ahora etraeremos factores comunes diferentes por agrupación de términos. Ejemplo : Factorizar 6y 8y Formamos dos grupos ( 6y) ( 8y) ( 6y) ( 8y) 6y 8y ( y) ( y). ( y) [. ( y) ( y) ] ( y) considerando que los dos primeros términos son divisibles entre y los dos últimos entre Multiplicamos y dividimos las dos epresiones por estos factores comunes Simplificando Observa que surgió un nuevo factor común entre los dos términos. Se procede a multiplicar y dividir por el nuevo factor común. Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas 5

6 ( y). ( y) ( y) ( y)( ) ( y) ( ) y Simplificando Obtenemos la epresión ya factorizada Otro método para factorizar es utilizando los productos notables ya conocidos: DIFERENCIA DE CUADRADOS Consiste en transformar la epresión dada en un producto, donde se tiene epresiones de la forma: a b : Ejemplo : Factorizar 9 Aquí utilizamos el producto notable: la suma por la diferencia: ( a b)(. a b) a b 9 9 ( )(. ) Epresamos todos los términos en cuadrados Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable. Ejemplo : Factorizar 6 ( ) 6 6 ( )(. ) Epresamos todos los términos en cuadrados Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable. Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas 6

7 Como el segundo factor 6 ( )(. )(. ) también es una diferencia de cuadrados, se procede a factorizarlo: FACTORIZANDO TRINOMIOS Para factorizar un trinomio consideraremos los siguientes casos: Caso : Trinomio de la forma : b c Dos números tales que: sumados sea igual al coeficiente de y multiplicados sea igual al término independiente, es decir, La fórmula general viene dada por: b c y al factorizarlo queda epresada como ( n).( m) donde n.m c y n m b Buscamos dos cantidades, tales que su producto sea, éstas deben tener el mismo signo para que el producto sea positivo, y para que la suma sea -7, deben ser los dos negativos. Ejemplo 5: Factorizar 7 7 ( ) ( ).( ) ( )(. ) (-).(-) Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación. 0 Aplicando la fórmula general. Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas 7

8 Ejemplo 6: Factorizar 0 Buscamos dos cantidades, tales que la suma sea 0 y su producto sea Se sustituyen los ( 6 ) ( 6.) coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación. 0 ( 6 )(. ) Aplicando la fórmula general. Buscamos dos cantidades tales que la suma sea 5 y su producto sea -00. Para que el producto sea negativo deben tener signos diferentes. Ejemplo 7: Factorizar (-5) 5 0. (-5) Se sustituyen los ( 0 ( 5) ) ( 0. ( 5) ) coeficientes, uno por una adición y el otro por una multiplicación. ( 0 )(. 5) 0 Aplicando la fórmula general Caso : Trinomio Cuadrado Perfecto: Se basa en las siguientes fórmulas de productos notables : ( a b) a ab b ( a b) a ab b El Cuadrado de la suma y El cuadrado de la diferencia Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas 8

9 Verificamos si dos de los términos se pueden epresar en forma de cuadrado. Ejemplo 8: Factorizar 0 5 ya está en forma de cuadrado y 5 5 (.5) 0 También verificamos si el término restante se puede epresar como el doble producto de las bases de los cuadrados. ( ) Al cumplir las condiciones, se pasa a factorizarlo según la fórmula. Verificamos si dos de los términos se pueden epresar en forma de cuadrado. También verificamos si el término restante se puede epresar como el doble producto de las bases de los cuadrados. Ejemplo 9: Factorizar 9 9 ( ). (. ( ) ) ( ) 9 ( ) ( )(. ). ( ) Caso : Trinomio de segundo grado: Epresamos el trinomio en cuadrados y productos. 9 Factorizamos aplicando la fórmula. a b c Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores, se procede de la siguiente manera: a b c b ± 0 b ac a Se iguala toda la epresión a cero (0). Se calculan los dos valores de, utilizando la ecuación cuadrática(raíces del polinomio). a ( )(. ) b c a Se aplica la fórmula general. Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas 9

10 Ejemplo 7: Factorizar el polinomio a b 5 c - 5 ± ± 5. ( ) Igualamos a cero y determinamos los valores de a, b y c. Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática Resolvemos lo que está dentro de la raíz: (-) -8. (-) 5 ± 9. 5 ± ( ) Etraemos la cantidad subradical por ser un cuadrado perfecto. Obtenemos dos valores de la uno sumando 7 y el otro restándolo. Así obtenemos: y Reemplazamos los valores en la fórmula general. Recuerda que -(-) Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas 0

11 EJERCICIOS PROPUESTOS: Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios: ) 0y 5y ) 6-9y ) m m - 8m 5 ) 6 b 7 ) 8 y - 9 y 7 y 9 ) (a b)(c - d) a (c - d) ) 6y - z 8yz 6 ) a - ay a b - by b 8 ) 6m - 8m n mn - n 0 ) a n - a n- ) ) a a ) ) 9 5 ) 0 6 ) m m 7 ) ) 9 ) y y 0 ) 9 a b 00 9 Bloque : La factorización como herramienta para la simplificación de epresiones algebraicas