Contenido. 1. Definiciones. 2. Operaciones Algebraicas 2.1 Suma y resta 2.2 Multiplicación 2.3 Productos Notables 2.4 Factorización 2.

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Vicenta Calderón de la Fuente
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1 Contenido 1. Definiciones 1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 1.3 términos semejantes 2. Operaciones Algebraicas 2.1 Suma y resta 2.2 Multiplicación 2.3 Productos Notables 2.4 Factorización 2.5 División

2 1. Definiciones 1.1 Término algebraico Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un factor numérico, denominado coeficiente y un factor literal. Ejemplos: 15a 3 b 5, ab 2 c, 5x 2 y, 2z 3w

3 1.2 Expresión algebraica Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta. Ejemplos: 1) 4x 2 3 5y 2) 8a 3 + 7xy 2 3x + 10y 3) 2a 3 b 2 + 5ab 3a 2

4 Clasificación: Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: 25a 3, 9xy 2, 45x 2 z 5 Polinomio Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

5 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. Ejemplo: 4x 7 y 2 + 5xy 2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 2a 3 b 2 + 5ab 3a 2

6 1.3 Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos 6a 2 b y 5a 2 b son semejantes. - Los términos 2x 4 y 7x 2 no son semejantes.

7 2. Operaciones algebraicas 2.1 Suma y Resta Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes. Ejemplo: ab 2 c + 3ab 2 c 5ab 2 c = ( ) ab 2 c = (4 5) ab 2 c = ( 1) ab 2 c = ab 2 c

8 2.2 Multiplicación Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 3x 2xy = 6x 2 y Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: 3ab 4 (5a 2 b + 2ab 2-4ab) = = 15a 3 b 5 + 6a 2 b 6 12a 2 b 5

9 Polinomio por Polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) = 6x 2 + 4xy + 3xy + 2y 2 = 6x 2 + 7xy + 2y 2

10 2.3 Productos Notables Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Cuadrado de Binomio: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2-2ab + b 2

11 Ejemplo: (5x 3y) 2 = (5x) 2-2(5x 3y) + (3y) 2 = 25x 2-30xy + 9y 2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a a 2 ab a a b b ab a b b 2 b

12 Cubo de binomio: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2 - b 3

13 Ejemplo: (3x 2y) 3 = Aplicando la fórmula... (3x) 3 3 (3x) 2 2y + 3 (3x) (2y) 2 (2y) 3 Desarrollando potencias... = 27x 3 3 (9x 2 ) 2y + 3 (3x ) (4y 2 ) 8y 3 Multiplicando... = 27x 3 54x 2 y + 36xy 2 8y 3

14 Suma por su diferencia: (a + b) (a b) = a 2 b 2 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y) (5x 6y) = (5x) 2 (6y) 2 = 25x 2 36y 2

15 Producto de binomio: (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab Ejemplo 1: (x + 4) (x + 2) = Aplicando la fórmula... x 2 + (4 + 2)x Desarrollando... = x 2 + 6x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

16 Ejemplo 2: (y - 4) (y + 2) = Aplicando la fórmula... y 2 + (-4 + 2)y Desarrollando... = y 2 2y - 8

17 Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: (2x + 3y + 4z) 2 =? Aplicando la fórmula... = (2x) 2 + (3y) 2 + (4z) 2 + 2(2x 3y) + 2(2x 4z) + 2(3y 4z) Desarrollando... = 4x 2 + 9y z xy + 16xz + 24yz

18 Diferencia de cubos: a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Ejemplo: 8x 3 64y 3 = (2x) 3 (4y) 3 Aplicando la fórmula... = (2x 4y)((2x) 2 + 2x 4y + (4y) 2 ) Desarrollando... = (2x 4y)(4x 2 + 8xy + 16y 2 )

19 Suma de cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) Ejemplo: 27x 3 + 8y 3 = (3x) 3 + (2y) 3 Aplicando la fórmula... = (3x + 2y)((3x) 2 3x 2y + (2y) 2 ) Desarrollando... = (3x + 2y)( 9x 2 6xy + 4y 2 )

20 2.4 Factorización Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: 2xy + 4xy 2 6x 2 y = Al descomponer... 2 x y x y y 2 3 x x y (El factor común es : 2xy) = 2xy(1 + 2y 3x)

21 Factor común compuesto: Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: Factorizar: xz + xw + yz + yw = Agrupando... = (xz + xw) + (yz + yw) Factorizando por partes... = x(z + w) + y(z + w) Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... = (z + w)(x + y)

22 Reconocer productos notables: Ejemplos: 1) 36a 2 81y 2 = (6a + 9y)(6a 9y) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común..

23 3) 64x 3 125y 3 = (4x) 3 (5y) 3 Ambos términos son cubos perfectos. Luego, es una diferencia de cubos. Desarrollando... (4x) 3 (5y) 3 = (4x- 5x)((4x) 2 + 4x 5y + (5y) 2 ) (4x- 5x)(16x xy + 25y 2 )

24 2.5 División Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: Factorizando... 1) x 2 + x - 20 x 2-25 = (x + 5)(x 4) (x + 5)(x 5) Simplificando... = (x 4) (x 5) Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente: (x 4) (x 5)

25 Factorizando y simplificando 2) (a + b) 2 a 2 - b 2 : 1 a - b = (a + b)(a + b) : 1 (a + b)(a b) a - b Dividiendo: = (a + b) (a b) : 1 a - b (a + b) a - b = (a b) 1 = (a + b)

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