CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS

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1 CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS OBJETIVOS: 1.- Expresar relaciones numéricas mediante símbolos numéricos y literales. 2.- Reconocer las expresiones algebraicas y sus elementos. 3.- Reducir y evaluar expresiones algebraicas con y sin parámetros 4.- Resolver operaciones de adición, sustracción y multiplicación de expresiones algebraicas. 5.- Calcular productos notables. NOMENCLATURA ALGEBRAICA : Variable: Es un símbolo que representa cualquier número o valor de un conjunto dado y que puede cambiar. Normalmente se utilizan las últimas letras del alfabeto para identificar una variable (sin que ello sea excluyente). t ; x ; y ; z ; u ; v ; etc. Constante: Es un valor fijo, que no sufre modificaciones y puede ser numérica o literal, en cuyo caso se acostumbra a utilizar las primeras letras del alfabeto para identificarlas. Término algebraico: a b c 4 etc. Es el producto de una o más variables o una constante literal ó numérica. Están separados, entre ellos, uno de otro por un signo de suma o resta. 3a ; 6abx ; -acy ; 4 3 r 5 ; etc. Cuando no existe signo explícito escrito entre dos símbolos, se entiende que es multiplicación. Monomio: Binomio : Trinomio : Polinomio: Es la expresión algebraica con 1 sólo término algebraico. Es la expresión algebraica con 2 términos algebraicos. Es la expresión algebraica con 3 términos algebraicos. Es la expresión algebraica con 4 o más términos algebraicos. Expresiones Algebraica: Es la combinación de uno ó más términos algebraicos mediante la operación de adición o substracción. 5 6 ax + 2by2 xy 3x + 4x ax 2 + bx + c

2 Grado de un término algebraico: Es la suma de los exponentes de sus factores literales. Por ej : -5a 3 c 2 d Grado del término = = 6 3x 2 Grado del término = 2 2 xy 2 3 Grado del término = = 3 Grado de un polinomio : Está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero. Polinomio de una variable : Es una expresión algebraica de la forma: a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 1 x + a 0 n N 0 que también puede expresarse de la forma: a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n n N p. ej: 5x + 3x x+ 1 3 polinomio de 4º grado 3 + 4x - 5x 2 trinomio de 2º grado t 2-6t + 8 trinomio de 2º grado y - 2y 3 + 3y 4-2y 5 polinomio de 5º grado 3y - 6 binomio de 1 er grado VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico o literal a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. p. ej: Valorar la expresión 5x 2 y - 8xy 2-9y 3 para x = 2 e y = 1 1º) Se reemplaza cada variable por el valor asignado, cuidando de usar paréntesis para los valores negativos. 5x 2 y - 8xy 2-9y 3 = ( 1) ( 1) 2-9 ( 1) 3 2º) Se resuelven en primer lugar las potencias 5x 2 y - 8xy 2-9y 3 = 5 4 (-1) (-1) 3º) A continuación se resuelven las multiplicaciones y/o divisiones 5x 2 y - 8xy 2-9y 3 =

3 4º) Finalmente (y siempre en último lugar) las adiciones y/o substracciones 5x 2 y - 8xy 2-9y 3 = -27 REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES : Se denominan términos semejantes en una expresión algebraica, a todos aquellos términos que tienen igual factor literal. p. ej: En la expresión 2x - 0,3x + 2x 3-0,5x 2x es semejante con 0,3x y con 0,5x En la expresión 5a 2 b + 3axb + 6a 2 b 3-7a 2 b Reducir términos semejantes : 5a 2 b es semejante con 7a 2 b Consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que es común. p. ej: 5a 2 b + 3axb + 6a 2 b 3-7a 2 b = (5 + -7)a 2 b + 3axb + 6a 2 b 3 = -2a 2 b + 3axb + 6a 2 b 3 MULTIPLICACIONES O PRODUCTOS 2x - 0,3x + 2x 3-0,5x = ( , ,5) + 2x 3 = 1,2x + 2x 3 Multiplicación o Producto de 2 monomios: Se multiplican los coeficientes con los coeficientes (repetando la regla de los signos para la multiplicación de 2 enteros) y los factores literales entre si (anotándolos en lo posible en orden alfabético), aplicando las propiedades de las potencias. p. ej: 2a 2 b 3 3ab 2 = 6 a 3 b 5 4 xy 2 3xy = 12 xy 3 6 ax 2 y 2 xy 2 = 12 ax 3 y 3

4 Multiplicación o producto de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos del producto de 2 enteros, separando los productos parciales con los signos que resultaron de cada producto. Si corresponde, reduzca finalmente los términos semejantes. p. ej: 3ax 2 ( 2ax bx 3 ) = 6a 2 x 3 3abx 5 2ax 3 y 2 ( 2x 3xy + y 2 ) = 4ax 4 y 2 + 6ax 4 y 3 2ax 3 y 4 3x ( x 2 2xy + y 2 ) = 3x 3 6x 2 y + 3xy 2 4x(x y) 3y(x + y) 2(x 2 y 2 ) = 4x 2 4xy 3xy 3y 2 2x 2 + 2y 2 2x 2 7xy y 2 reduciendo términos sem. Multiplicación o producto de 2 polinomios: Se multiplican todos los términos de uno de los factores por cada uno de los términos del otro factor, teniendo en cuenta la ley de los signos en el producto. Cada producto se separa del otro, con el correspondiente signo y finalmente se reducen términos semejantes. p.ej: (2x 1)(3x 2 4x + 2) = 6x 3 4x 2 + 4x 3x 2 + 4x 2 reduciendo términos semejantes, queda 6x 3 7x 2 + 8x 2 Orden de los términos: En una expresión algebraica, los términos se ordenan de izquierda a derecha 3x 2 5x + 6xy 3y 2 1 er 2º 3 er 4º término

5 PRODUCTOS NOTABLES : CUADRADO DE UN BINOMIO : ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 Es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. p. ej: ( 3x + 2 ) 2 = 9x x + 4 ( x - 3y ) 2 = x 2-6xy + 9y 2 CUBO DE UN BINOMIO : ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 Es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término p. ej: ( 2 + 3x ) 3 = x + 54x x 3 ( 1-2y ) 3 = 1-6y + 12y 2-8 y 3 SUMA POR DIFERENCIA : ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 Es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término. p. ej: ( x - 3 )( x + 3 ) = x 2-9 ( 2y +1)(2y - 1) = 4y 2 1 PRODUCTO DE 2 BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚM: ( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b )x + a b Es igual al cuadrado del término común, más la suma de los términos diferentes por el término común, más el producto de los términos diferentes. p. ej: ( x + 2 )( x + 3 ) = x 2 + ( 2 + 3)x = x 2 + 5x + 6 ( 2y +1)(2y + 3) = (2y) 2 + ( 1 + 3) 2y = 4y 2 + 4y + 3 ( x 3)(x + 5) = x 2 + ( 3 + 5) x + ( 3)(5) = x 2 + 2x 15