INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA

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1 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA CARACAS, MARZO DE 2013

2 ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL CONTENIDO Base del sistema decimal Nomenclatura Ordenes Subordenes Valor absoluto Valor relativo El campo real Leyes formales de las operaciones fundamentales con números reales Igualdad Suma o adición Multiplicación Axiomas de orden Ejercicios y problemas propuestos SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS, FRACCIONALES Y DECIMALES DE OPERACIONES ARITMÉTICAS Sumas aritméticas Suma de conjuntos Suma de números naturales Leyes de la suma Ley de Uniformidad Ley conmutativa Ley asociativa Ley disociativa Ley de monotonía Ejercicios y problemas Restas aritméticas Leyes de la resta Ley de uniformidad Ley de monotonía Alteraciones del minuendo Ejercicios y problemas Multiplicaciones aritméticas Relación entre el producto y el multiplicando Multiplicación por la unidad seguida de ceros Multiplicación de dos números terminados en ceros Leyes de la multiplicación Ley de uniformidad Ley conmutativa Ley asociativa Ley disociativa Ley de monotonía Ley distributiva Regla general para multiplicar sumas algebraicas Ejercicios y problemas Divisiones aritméticas

3 División por la unidad seguida de ceros Leyes de la división Ley de uniformidad Ley de monotonía Ley distributiva Ejercicios y problemas POTENCIACIÓN Regla Potencia de un producto Potencia de una fracción Potencia de potencia Producto de potencia de igual base División de potencia de igual base Ejercicios y problemas RADICACIÓN Raíz de un producto indicado Raíz de un número fraccionario Raíz de una potencia Raíz de una raíz Simplificación de radicales Suma y resta de radicales Multiplicación de radicales División de radicales Potencias de radicales Raices de radicales Ejecicios y problemas SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS, FRACCIONALES Y DECIMALES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS La suma algebraica Suma de monomios Suma de polinomios Ejercicios y problemas La resta algebraica Resta de monomios Resta de polinomios Ejercicios y problemas La multiplicación algebraica Multiplicación de monomios Procedimiento para multiplicar un polinomio por un monomio Procedimiento para multiplicar dos polinomios Eliminación de signos de agrupación con productos indicados Ejercicios y problemas La división algebraica División de monomios División de polinomio entre monomio Procedimiento para la división dos polinomio Ejercicios y problemas INDICADORES BÁSICOS RAZONES, PROPORCIONES, PORCENTAJES Y TASAS

4 Razón Proporción Porcentaje Tasa SUMATORIAS ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN Regla general para introducir cantidades en signos de agrupación Ejercicios y problemas ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Concepto de ecuación Miembro Términos Clase de ecuaciones Grado Raices o soluciones Transposición de términos Procedimiento para la resolución de ecuaciones de primer grado Ejercicios y problemas PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x b) Cubo de la suma de dos cantidades Cubo de la diferencia de dos cantidades Ejercicios y problemas DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Factores Factorización de un monomio Factorización de un polinomio cuando todos los términos tienen un factor comun y este es un monomio. Factor comun por agrupación de término Ejercicios y problemas RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un radical de segundo grado Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un radical de tercer grado Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de indice dos Ejercicios y problemas NÚMERO FACTORIAL TEORIA COMBINATORIA Número factorial Teoría combinatoria Permutaciones Ejercicios y problemas Variaciones Ejercicios y problemas

5 Combinaciones Ejercicios y problemas DESIGUALDADES INECUACIONES Desigualdad Miembros Términos Propiedades de las desigualdades Inecuaciones Ejercicios y problemas TEORIA DE CONJUNTOS Conjuntos iguales Conjuntos finitos e infinitos Subconjuntos Conjunto universal Conjunto vacio Operaciones entre conjuntos Unión de conjuntos Intersección de conjuntos Complemento relativo Complemento absoluto Leyes del algebra de conjuntos Ejercicios y problemas FUNCIONES Definición de funciones Aplicaciones, operadores, transformadores Dominio de imágenes de una función Función inyectivas Funciones sobreyectivas Función identica Función constante COORDENADAS RECTANGULARES SIGNOS DE LA FUNCIONES TRIGINOMÉTRICAS RESUMEN DE LOS VALORES DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS LA LINEA RECTA Recta - Punto - pendiente Recta - Pendiente ordenada en el origen Recta cartesiana Recta - reducida o abscisa y ordenada en el origen Recta general Recta - Normal Reducción de la forma general a normal Distancia de un punto a una recta Ejercicios y problemas

6 ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL El sistema decimal o decuplo es el que tiene por base 10. Es el que más empleamos comúnmente todos los seres humanos. Base del sistema decimal La base del sistema decimal es 10, lo que significa que diez unidades de un orden cualquiera constituyen una unidad del orden inmediato superior y viceversa, una unidad de un orden cualquiera está formada por diez unidades del orden inmediato inferior Nomenclatura La numeración decimal consta de órdenes y subórdenes, a continuación veremos cómo se forman cada una de ellas. Ordenes Si al número 1, que es la unidad de primer orden, añadimos sucesivamente, y una a una, unidades, formaremos los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, hasta llegar a diez unidades, que ya forman unas decena o unidad del orden superior inmediato. Decena es la unidad de segundo orden y es la reunión de diez unidades. A una decena añadimos los nombres de los nueve primeros números obtendremos el 11, 12, 13, etc. hasta llegar a 20 o dos decenas si repetimos este procedimiento llegaremos hasta 30 o tres decenas, 40 o 4 decenas hasta llegar a 100 o diez decenas, que ya forman una unidad del orden superior inmediato Centena es la unidad de tercer orden y es la reunión de diez decenas o 100 unidades. Si a la centena añadimos los nombres de los noventa y nueve primeros números, iremos formando los números 101, 102, 103, etc., hasta llegar a 200 o dos centenas si repetimos este procedimiento llegarnos hasta 300 o tres centenas, 400 o 4 centenas, etc. hasta llegar a 1000 o diez centenas, que ya forman una unidad del orden superior inmediato. Millar es la unidad de cuarto orden y es la reunión de diez centenas o mil unidades. Si al millar añadimos los nombres de los novecientos noventa y nueve primeros números, iremos obteniendo los números sucesivos hasta llegar a 2.000, o dos millares, o tres millares, etc. hasta llegar a diez mil o diez millares, que ya forman una unidad del orden superior inmediato. Decena de millar es la unidad de quinto orden y es la reunión de diez millares o diez mil unidades. Añadiendo a una decena de millar los nombre de los nueve mil novecientos noventa y nueve primeros números, formaremos el o dos decenas de millar, o tres decenas de millar, etc. hasta llegar a 10 diez decenas de millar o , y que constituyen una unidad del orden superior inmediato. Centena de millar es la unidad de sexto orden y es la reunión de diez decenas de millar. De modo similar llegaremos al millón o unidad de séptimo orden que consta de diez centenas de millar o mil millares; decena de millón o unidad de octavo orden, que constas de ; centena de millón o unidad de noveno orden; unidad de millar de millón o unidad de decimo orden; decena de millar de millón o unidad de undécimo orden; centena de millar de millón unidad de duodécimo orden; billón o unidad de decimo tercer orden y que es la reunión de de un millón de millones; trillón o unidad de decimo noveno orden que es la reunión de un millón de billones; etc.

7 centenas decenas unidad centenas decenas unidad centenas decenas unidad centenas decenas unidad centenas decenas unidad centenas decenas unidad décimas centésimas milésimas diezmilésimas cienmilésimas millonésimas Subordenes Así como la decena consta de diez unidades, la centena de diez decenas, etc., del mismo modo podemos suponer que la unidad simple o de primer orden está dividida en diez partes iguales que reciben el nombre de decimas y que constituyen el primer suborden; cada decima se divide en otras diez partes iguales llamadas centésimas y que forman el segundo orden; cada centésima se divide en otras diez partes iguales llamadas milésimas que forman el tercer suborden; y asi sucesivamente se van formando las diezmilésimas o de cuarto orden; las cienmilésimas o quinto orden; etc. millar de billones billones ordenes millar de millones millares simples millones subordenes Valor absoluto Valor absoluto es el que tiene el número por su figura sin importar el lugar que ocupa en el arreglo; por ejemplo en el número el valor absoluto de 6, 8, 6, 6, son 6, 8, 6, 6. Valor relativo Valor relativo es el que tiene el número de acuerdo al lugar que ocupa en el arreglo; por ejemplo en el numero el valor relativo del 6 de las derecha es 6 unidades del primer orden; el valor relativo del 6 de las decenas es 6*10 = 60 unidades de primer orden; el valor relativo del 6 de los millares es 6*10*10*10 = unidades de primer orden. El valor relativo del 8 es 8*10*10 = 800 unidades de primer orden El campo real El siguiente diagrama mostrará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar NUMERO REALES NEGATIVOS CERO POSITIVO RACIONALES IRRACIONALES RACIONALES IRRACIONALES ENTEROS FRACCIONARIO ENTEROS FRACCIONARIO

8 Leyes formales de las operaciones fundamentales con números reales Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico, vamos a explicar las leyes formales de la suma y de la multiplicación, ya que las demás operaciones fundamentales pueden explicarse como inversa de estas, así, la resta, la división, la potenciación la logaritmación y la radicación. El conjunto de estas leyes formales constituirá una definición indirecta de los números reales y de las operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración, pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas. Igualdad 1. Axioma de identidad: a = a 2. Axioma de reciprocidad: Si a = b, entonces b = a 3. Axioma de transitividad: Si a = b y b = c, entonces a = c Suma o adición 1. Axioma de uniformidad: La suma de dos números es siempre igual, es decir, única; así, si a = b y c = d, entonces a + c = b + d 2. Axioma de conmutatividad: a + b = b + a 3. Axioma de asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c) 4. Axioma de identidad o módulo de la suma: Hay un número y solo un número, el cero (0), de modo que a + 0 = 0 + a = a, para cualquier valor de a. De ahí que el cero (0) reciba el nombre de elemento idéntico o módulo de la suma. Multiplicación 1. Axioma de uniformidad: El producto de dos números es siempre igual, es decir, único, Así si a = b y c = d, entonces ac = bd 2. Axioma de conmutatividad: ab = ba 3. Axioma de asociatividad: (ab)c = a(bc) 4. Axioma de distributividad: Con respecto a la suma tenemos que a(b + c) = ab + ac 5. Axioma de identidad o módulo del producto: Hay un numero y solo un numero, el uno (1), de modo que a*1 = 1*a = a para cualquier valor de a 6. Axioma de existencia del inverso: Para todo número real a = 0 (a diferente de cero) corresponde un numero real, y solo uno, x, de modo que ax = 1. Este número x se llama inverso de a, y se representa por Axiomas de orden 1. Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b solo puede haber una relación, y solo una, entre ambos, es decir: a > b; a = b ó a < b 2. Monotonía de la suma: Si a > b tenemos que a + c > b + c 3. Monotonía de la multiplicación: Si a > b y c > 0 entonces ac > bc Ejercicios y problemas propuestos 1. Qué forman diez decenas; diez centenas de millar; diez millones? 2. Qué forman mil millares, diez mil centenas; cien mil decenas? 3. Cuántos millares tiene un millón; cuantas decenas de millar tiene una decena de millar de millón; cuántos millones un billón 4. Cuántas décimas hay en 3 unidades; en 2 decenas; en 3 centenas 5. Qué orden representa la primera cifra de la izquierda de un número de 3 cifras; de 4 cifras; de 6 cifras

9 6. Diga el valor relativo de cada una de las cifras de: Descomponer los siguientes números en la suma de los valores relativos de sus cifras En cuántas unidades disminuyen los números cambiando el 7 por 0? cambiando el 2 y el 9 por 0? cambiando el 1, el 3 y 6 por 0? cambiando el 1 por 0 y el 4 por 3? cambiando el 6 por 4 y el 5 por 2? cambiando el 4 por 3, el 5 por 4 y el 3 por 0? 9. Escribir los siguientes números 1. Quince mil veintiocho 2. Trescientos cuarenta mil dos 3. Quinientos dos mil tres 4. Ciento cuarenta y cuatro millones ciento cuarenta y cuatro 5. Doscientos catorce mil millones cuatrocientos seis 6. Tres mil tres billones, trescientos treinta mil, trescientos dos 7. Seis trillones, seis billones, seiscientos sesenta millones seiscientos mil seiscientos seis 10. Escribir los siguientes números 1. Veinticuatro milésimas 2. Treinta y nueve cien milésimas 3. Quinientos cinco millonésimas 4. Trescientos ocho unidades con seis centésimas 5. Treinta mil treinta unidades 6. Mil treinta y dos millonésimas 11. Leer los números siguientes , ,00074

10 7. 0, , , ,00008 SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS, FRACCIONALES Y DECIMALES DE OPERACIONES ARITMÉTICAS Las operaciones aritméticas son siete: suma, resta, multiplicación, división, potencia, radicación y logaritmación Sumas aritméticas Suma de conjuntos Sumar dos o más conjuntos (sumandos) que no tiene elementos comunes, es reunir en un solo conjunto (suma) todos los elementos que integran los conjuntos dados. Por ejemplo sumar los conjuntos ADR, KLPÑ, BNMJCF es formar el conjunto ADRKLPÑBNMJCF, que tiene todos los elementos de los conjuntos dados y solo ellos. Suma de números naturales Suma de varios números naturales es el número cardinal del conjunto suma cuyos números cardinales son los números dados. Así, al sumar los conjuntos cuyos números cardinales son 4, 6 y 9, obtenemos otro conjunto cuyo número cardinal es 19, que es la suma de Leyes de la suma Las leyes de la suma son cinco: ley de uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa y ley de monotonía. Ley de Uniformidad Esta ley puede enunciarse de tres maneras equivalentes: 1. La suma de varios números dados tienen un valor único o siempre igual. 3 peras + 6 peras = 9 peras 3 vehículos + 6 vehículos = 9 vehículos Vemos, pues, que la suma de 3 y 6, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos que ellos representan, siempre es 9 2. Las sumas de números respectivamente iguales son iguales. Si cada puesto de un autobús está ocupado por un pasajero de modo que no queda ningún pasajero sin asiento ni ningún asiento vacío, tenemos que el número de pasajeros es igual al número de asientos del autobús 3. Sumando miembro a miembro varias igualdades, resulta, otra igualdad. Veamos: 4 = 4 7 = 7 2 = =

11 Ley conmutativa El orden de los sumandos no altera la suma total = = = 20 Ley asociativa La suma de varios sumandos no se altera si se sustituyen varios sumandos por su suma = = = = 22 Ley disociativa La suma de varios números no se modifica si descomponemos uno o varios sumandos en dos o más sumandos = = = 29 Ley de monotonía Esta ley consta de dos partes: 1.- Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades resulta una desigualdad del mismo sentido. 4 = 4 7 < 9 2 < < Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido. Ejercicios y problemas 4 < 3 7 < 9 2 < < Qué alteraciones experimenta una suma cuando: a. Se aumenta un sumando en 5 unidades b. Se disminuye un sumando en 7 unidades c. Se aumenta un sumando en 4 unidades y otro en 7 unidades d. Si se disminuye un sumando en 8 unidades y otro sumando en 5 unidades e. Si se aumenta un sumando en 7 unidades y otro se disminuye en 7 unidades f. Si un sumando se disminuye en 9 unidades y otro se aumenta en 13 unidades g. Si un sumando se aumenta en 5 unidades y otro se disminuye en 9 unidades 2. Dada la suma x + y + 9 = 30, completar las siguientes igualdades: a. (x + 9) y = b. x y = c. (x 3) c = d. (x + 8) (y + 1) = e. x (y 5) = f. (x 6) (c + 1)

12 3. Dada la suma m + n + p = S, completar las siguientes igualdades: a. (m + 5) + n + p = b. (m 3) + (n + 11) +p = c. (m + 1) + (n + 2) + (p + 3) = d. (m 5) + (n 3) + (p - 1) = e. (m + 5) + (n- -2) + (p + 8) = f. (m + 9) + (n 3) + (p 6) = 4. Si a + b + c= 40, determinar el valor de x en cada una de las siguientes igualdades: a. (a + x) + b +c = 47 b. a + (b x) + c = 25 c. a + b + (c + x) = Dados los números 504, 8568, y 6258, súmelos y verifique la exactitud de la operación aplicando la propiedad conmutativa 6. Dados los números 6973, 38625, 845, 32, y 8754, súmelos y verifique la exactitud de la operación aplicando la propiedad asociativa. 7. Dados los números 23,2458; 0,00548; 2358,2; 147,000258; 45879; 5,00045; súmelos y verifique la exactitud de la operación aplicando la propiedad conmutativa. 8. Efectuar las siguientes operaciones a. b. c. d. e. f. 2 + g. h. Restas aritméticas La resta es la operación inversa de la suma que tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos minuendo y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resto o diferencia) Leyes de la resta Las leyes de la resta son dos: la ley de uniformidad y la ley de monotonía.

13 Ley de uniformidad Esta ley puede enunciarse de dos maneras que son equivalentes: 1.- La diferencia de dos números tienen un valor único o siempre es igual. Ejemplo: La diferencia 9-4 = 5, porque 5 es el único número que sumado con 4 da Restando miembro a miembro dos igualdades, se obtiene otra igualdad. Ley de monotonía Esta ley consta de tres partes: 9 = 9 3 = 3 6 = Si de una desigualdad (minuendo) se resta se resta una igualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda realizar, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del minuendo. 9 > 6 5 < 8 x < y 5 = 5 3 = 3 v = u 4 > 1 2 < 5 x v < y -u 2.- Si de una igualdad (minuendo) se resta se resta una desigualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda realizar, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad del sustraendo. 8 = 8 9 = 9 x = y 6 > 4 3 < 6 v < u 2 < 4 6 > 3 x v > y -u 3.- Si de una desigualdad (minuendo) se resta se resta una desigualdad (sustraendo) de sentido contrario, siempre que la resta se pueda realizar, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del minuendo. Alteraciones del minuendo 8 > 5 5 < 9 x < y 3 < 4 3 > 1 v > u 5 > 1 2 < 8 x v < y -u 1.- Si el minuendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el sustraendo no varía, la diferencia que da aumentada o disminuida en el mismo número. 2.- Si el sustraendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo el mismo número.

14 3.- Si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen a la vez un mismo número, la diferencia no varía. Ejercicios y problemas 1. Qué alteraciones experimenta una diferencia cuando: a. Al minuendo se le suman 4 unidades b. Al minuendo se le restan 9 unidades c. Al sustraendo se le suman 8 unidades d. Al sustraendo se le restan 6 unidades e. Cuando al minuendo y al sustraendo se le suman 12 unidades f. Cuando al minuendo y al sustraendo se le restan 20 unidades g. Si al minuendo se le suman 7 unidades y al sustraendo se le suman 3 unidades h. Si al minuendo se le restan 5unidades y al sustraendo se le restan 7 unidades i. Si al minuendo se le suman 8 unidades y al sustraendo se le restan 2 unidades 2. Dada la resta M S = 45, completar las siguientes igualdades: a. (M + 8) S = b. (M - 3) S = c. M (S + 4) = d. M (S - 8) = e. (M + 1) (S + 1) = f. (M 8) (S 8) = g. (M + 7) (S + 9) = h. (M - 8) (S - 3) = i. (M + 2) (S - 7) = j. (M - 7) (S + 1) = 3. Si M S = 37, determinar el valor de x en cada una de las siguientes igualdades: a. (M + x) S = 60 b. (M - x) S = 26 c. M (S + 4) = 30 d. M (S - 8) = Efectué la siguientes restas a. De restar b. De restar c. De 802, restar 2, d. De 0, restar 0, e. f. g.

15 Multiplicaciones aritméticas La multiplicación es una operación de composición que tiene por objeto, dados dos números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un numero llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad. En efecto, multiplicar 4 (multiplicando) por 5 (multiplicador) es hallar un numero que sea respecto de 4 lo que 5 es respecto de 1, pero 5 es cinco veces 1, luego el producto será 5 veces 4, o sea 20. Relación entre el producto y el multiplicando 1.- Si el multiplicador es cero, el producto es igual a cero 2.- Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando Multiplicación por la unidad seguida de ceros Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como cero acompañen a la unidad x1000 = x = Multiplicación de dos números terminados en ceros Multiplicación de dos números terminados en ceros se multiplican los números como si no tuvieran ceros y a la derecha de este producto se añaden tantos ceros como tengan el multiplicando y el multiplicador x = x = Leyes de la multiplicación Las leyes de la multiplicación son 6: Ley de uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa, ley de monotonía y ley distributiva. Ley de uniformidad Multiplicando miembro a miembro varias igualdades resulta otra igualdad. 8 = 8 x = y 4 = 4 v = u 32 = 32 xv = yu Ley conmutativa El orden de los factores no altera el producto x 9 = 9 x 5 = x 7 x 8 x 5 = 7 x 8 x 5 x 4 = 8 x 5 x 4 x 7 = 5 x 4 x 7 x 8 = 1.120

16 Ley asociativa El producto de varios números no varía si se sustituyen dos o más factores por su producto. 3 x 5 x 7 x 9 x 6 = 15 x 7 x 9 x 6 = 15 x 63 x 6 = 3 x 35 x 54 = Ley disociativa El producto de varios números no varía si se descomponen dos o más factores en dos o más factores. 12 x 8 x 6 x 15 = 3 x 4 x 8 x 6 x 15 = 12 x 8 x 2 x 3 x 15 = Ley de monotonía Consta de dos partes: 1.- Multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido que la dada. 8 > 5 6 = 6 x = y 3 = 3 3 < 5 v > u 24 > < 30 xv > yu 2.- Multiplicando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido resulta una desigualdad del mismo sentido que la dada. 8 > 5 4 < 6 x > y 6 > 3 3 < 5 v > u 48 > < 30 xv > yu Ley distributiva 1. Para multiplicar una suma indicada por un número se multiplica cada sumando por este número y se suman los productos. ( )5 = = Para multiplicar una resta indicada por un número se multiplican el minuendo y el sustraendo por este número y se restan los productos parciales. (9 5)6 = = Para multiplicar una suma algebraica por un número se multiplica cada término de la suma por dicho número, aplicando la regla de los signos. ( )3 = = Para multiplicar dos sumas indicadas se multiplican todos los términos de la primera por cada uno de los términos de la segunda y se suman los productos parciales. (8 + 6)(4 + 7) = = 154

17 5. Para multiplicar una suma por una diferencia se suman los productos de cada término de la suma por el minuendo y de esta suma se restan los productos de cada término de la suma por el sustraendo. (8 + 6)(7 5) = = 28 Regla general para multiplicar sumas algebraicas Para multiplicar dos sumas algebraicas se multiplica cada término de la primera suma por cada término de la segunda suma, poniendo delante de cada producto el signo + cuando los dos términos que su multiplican tienen signos iguales, y el signo cuando tienen signos distintos. 1,- (7 4)(8 5) = = ( )( ) = = = (m - n)(a - b - c) = ma mb mc na + nb + nc Ejercicios y problemas 1. Aplicando la propiedad conmutativa de la multiplicación, escriba de 3 maneras diferentes los siguientes productos. a b c. x. y. z. v 2. Escribir de 3 maneras diferentes aplicando la propiedad asociativa los siguientes productos. a b c. a. b. c. d 3. Transformar los siguientes productos en un producto de dos factores de dos maneras distintas. a b c. a. b. c. d. f 4. Transformar los siguientes productos en productos de cinco factores. a b c. a(bcdf) 5. Realizar los siguientes productor a. Multiplicar por 458 b. Multiplicar por 2709 c. Multiplicar 487, por 2,203 d. Multiplicar 0, por 0,045 e. Multiplicar por 458 f.

18 g. h. i. j. k. 6. Efectué abreviadamente los siguientes multiplicaciones: a b c. 23, ) d e f g h i j k Divisiones aritméticas La división es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y una de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). División por la unidad seguida de ceros Para dividir un entero por la unidad seguida de ceros, se separan de su derecha con un punto decimal, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad, porque con ello el valor relativo de cada cifra se hace tantas veces menor como indica el divisor = 86, = 8.765, Leyes de la división Las leyes de la división exacta son tres: ley de uniformidad, ley de monotonía y ley distributiva. Ley de uniformidad Esta ley puede enunciarse de dos maneras: 1. El cociente de dos números tiene un valor único o siempre igual. Así, el cociente 40 tiene un valor único, 5, porque 5 es el único numero que multiplicado por 8 da 40.

19 2. Dividiendo miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad Ley de monotonía Esta ley consta de tres partes: 8 = 8 x = y 2 = 2 v = u 4 > 4 x v = y u 1. Si una desigualdad (dividendo) se divide entre una igualdad (divisor), siempre que la división se factible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del dividendo. 6 > 4 12 < 15 x > y 2 = 2 3 = 3 v = u 3 > 2 4 < 5 x v > y u 2. Si una igualdad (dividendo) se divide entre una desigualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad divisor. 10 = = 40 x = y 5 > 2 5 < 8 v < u 2 < 5 8 > 5 x v > y 3. Si una desigualdad (dividendo) se divide entre otra desigualdad de sentido contrario (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del dividendo. 15 > 5 15 < 30 x > y 3 < 5 5 > 3 v < u 5 > 1 5 < 10 x v > y Ley distributiva 1. Para dividir una suma indicada por un número, se divide cada sumando por este número y se suman los cocientes parciales. ( ) 2 = = Para dividir una resta indicada entre un número se divide el minuendo y el sustraendo por este número y se restan los cocientes parciales. (20 5) 5 = 4 1 = 3 3. Para dividir una suma algebraica por un número se divide cada término por dicho número, poniendo delante de cada cociente parcial el signo + si el término que se divide es positivo y el signo si es negativo. ( ) 5 = = - 6

20 4. Para dividir un producto indicado entre un número se divide uno solo de los factores del producto por dicho número. Ejercicios y problemas (8 x 6) 2 = 4 x 6 = Qué alteraciones experimenta el cociente en cada uno de los siguientes casos: a. Cuando el dividendo se multiplica por n b. Cuando el dividendo se divide por n c. Cuando el divisor se multiplica por n d. Cuando el divisor se divide por n e. Cuando el dividendo y el divisor se multiplica por n f. Cuando el dividendo y el divisor se dividen por n 2. Dada la igualdad completar las siguientes igualdades: a. b. c. d. e. f. 3. Completar las siguientes igualdades sabiendo que a. b. c. d. 4. Realizar las siguientes divisiones a. Dividir entre 89 b. Dividir entre c. Dividir 487, entre 2,245 d. Dividir 0, entre 0,04586

21 e. f. g. POTENCIACIÓN Llamamos potencia de un número relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Si a es un numero relativo cualquiera y n > 1 es un número natural, tendremos la notación a n, que se lee a elevado a la enésima potencia, e indica que a debe tomarse como factor n veces, como se muestra a continuación: n veces a n = a. a. a a En la notación a n = x, llamamos potencia al producto x, base al número que tomamos como factor a, y exponente a n, que nos indica las veces que debemos tomar como factor a a. A la operación de hallar el producto x, la llamamos potenciación o elevación de potencia, veamos un ejemplo: 6 4 = = En este ejemplo, 6 es la base; 4 es el exponente, y es la potencia. Regla La potencia de un número positivo siempre es positiva a 2 = +A, así mismo a 3 = +A La potencia de un número negativo será positiva si el exponente es entero y par (-a) 2 = +A La potencia de un número negativo será negativa si el exponente entero es impar (-a) 3 = -A Potencia de un producto Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se multiplican estas potencias. (abcd) n = a n.b n.c n.d n (4.2.8) 2 = = = Potencia de una fracción Para elevar una fracción a una potencia cualquiera se eleven su numerador y denominador a dicha potencia. Potencia de potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base, poniéndole por exponente el producto de los exponentes. (a n ) m = a n.m (3 2 ) 4 = = 3 8 = (-2 2 ) 3 = = -2 6 = -64

22 Hay que poner especial cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevación de un número a una potencia cuyo exponente, a la vez este afectado por otro exponente, Así, no es lo mismo (5 3 ) 2 que esto (5 3 ) 2 = 5 3*2 = 5 6 = y = 5 3*3 = 5 9 = Producto de potencia de igual base Para multiplicar dos o más potencias de igual base, se eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los exponentes respectivos. Ejemplo: División de potencia de igual base La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que dé la diferencia de ambos exponentes = a m-n = = 4 3 = 64 Si un número cualquiera a # 0, se eleva a la potencia 0 es igual a +1, es decir: a 0 = = +1 (345) 0 = +1 Si un número cualquiera a 0, se eleva a un exponente negativo cualquiera m es igual al reciproco de la potencia a m, de exponente positivo, es decir: a -m = 4-3 = = Ejercicios y problemas Desarrollar las siguientes potencias: 1. (1 4 ) 3 R: 1 2. (0,01 3 ) 2 R: 0, [(3 2 ) 2 ] 3 R: [(xyz) 3 ] 5 R: x 15 y 15 z R: 6. R: R: 8. R: 9. R: 10. R: 81

23 RADICACIÓN Raíz de un número es otro número que elevado a una potencia reproduce el número dado. Así: porque 3x es la raíz cúbica de 27 porque El signo de raíz es llamado signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la raíz llamada por eso cantidad subradical. El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la cantidad subradical. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo no lleva índice se entiende que el índice es 2. Raíz de un producto indicado La raíz de cualquier grado de un producto indicado de vario factores es igual al producto de la raíces de mismo grado de cada uno de los factores. Raíz de un número fraccionario = = = 720 La raíz de cualquier grado de un cociente exacto o un quebrado es igual a la raíz de dicho grado del numerador sobre la raíz de mismo grado del denominador. Raíz de una potencia = = = La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Raíz de una raíz = = = = 8 La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de ambas raíces. = = = Simplificación de radicales Un radical esta reducido a su más simple expresión cuando descomponiendo en sus factores primos la cantidad subradical se observa que todos por factores primos están elevados a exponentes menores que el índice radical. Para reducir un radical a su más simple expresión se descomponen la cantidad en factores primos y se hace con ellos los arreglos que se indica a continuación. 1. =.

24 2. = = = 2.3. = =3 = = =.3 = 2 Suma y resta de radicales Se simplifican los radicales dados si es posible y se efectúan las operaciones indicadas, ejemplos: 1.- Efectuar + Descomponemos en factores primos las cantidades sus radicales: = = = 4 = = 3 De acuerdo con esto: + = = Efectuar Descomponemos en factores primos las cantidades sus radicales: 2 = 2 5 = 5 = 5.3 = 15 = = = 4 De acuerdo con esto: = = Efectuar Descomponemos en factores primos las cantidades sus radicales: 2 = 2 = 2.5 = 10 = = 2 = = 2 De acuerdo con esto: = = Efectuar + - Descomponemos en factores primos las cantidades sus radicales:

25 = = 2 = =.5 = 3 = = De acuerdo con esto: Multiplicación de radicales Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, y el producto de las cantidades subradicales se coloca bajo el signo radical común. Efectuar = = 2 Efectuar 2 2 = = 30 Efectuar 3. 2 = 3.2 = 6 = 6 = = 36 Efectuar.. =. = = = 25 División de radicales Para dividir radicales del mismo índice se dividen los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si y el cociente de las cantidades subradicales se coloca bajo el signo radical común. 1. Efectuar = = = = 5 2. Efectuar 10 5 = = 2 3. Efectuar 3 4 = = = = = 4. Efectuar = = = =.5 = Potencias de radicales Para elevar un radical a una potencia cualquiera se eleva a esa potencia la cantidad subradical. 1. Elevar al cubo, veamos: 2. Elevar a la cuarta potencia, veamos: 3. Elevar al cuadrado, veamos: 3 = = 5 4 = = = 2 = = = 2

26 Raices de radicales Para obtener raíces de radicales se multiplican los índices de los radicales y se coloca la cantidad subradical bajo un radical que tenga como índice el producto de los índices de los radicales. 1. Extraer la raíz cubica de veamos: = = = = 2 2. Extraer la raíz cuadrada de veamos: = = = Ejecicios y problemas Efectuar cada una de las siguientes operaciones 1. 3a. R: 18a 2. a R: 3. R: 4. R: 5. R: 6. R: 7. R: 8. R: 9. R: 10. R: 11. R: 12. R:

27 13. R: a 14.. R: 15. R: 16. R: 17. R: 18. R: R: 3a 20. R: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS, FRACCIONALES Y DECIMALES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS La suma algebraica La suma algebraica es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). En aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en algebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay. Suma de monomios 1. Hallar la suma de 4a, 7b, 5c y 9e De acuerdo con el procedimiento seria: 4a + 7b + 5c + 9e 2. Hallar la suma de 4a 2 b, 5ab 2, 2a 2 b, 6ab 2 y 5b 3 De acuerdo con el procedimiento seria: 4a 2 b + 5ab 2 + 2a 2 b + 6ab 2 + 5b 3 = 6a2b + 11ab 2 + 5b 3 3. Hallar la suma de 3a y - 2b De acuerdo con el procedimiento seria:

28 3a + (- 2b) = 3a - 2b 4. Hallar la suma de 7x, - 8y, - 15x, 9y, - 4z y 9 De acuerdo con el procedimiento seria: 7x + (- 8y) + (- 15x) + 9y + (- 4z) + 9 = 7x - 8y - 15x + 9y - 4z + 9 = - 8x +y 4z Hallar la suma de - 2b 2, -, - De acuerdo con el procedimiento seria: - 2b 2 ) + ( - + ( - - 2b = a Hallar la suma de 0,25a, - 0,043b, - 0,002c, 0,36b, - 0,01a, 0,0008c De acuerdo con el procedimiento seria: 0,25a + (- 0,043b) + (- 0,002c) + 0,36b + ( - 0,01a) + 0,0008c = 0,25a - 0,043b - 0,002c + 0,36b - 0,01a + 0,0008c = 0,24a b -0,3142c Suma de polinomios 1.- Hallar la suma de 5a - b, 2a + 3b 2c y - 6a + 5b De acuerdo con el procedimiento seria: (5a b) + (2a + 3b 2c) + (- 6a + 5b) = 5a b + 2a + 3b 2c - 6a + 5b = a + 7b - 2c 2.- Hallar la suma de 3m 2n + 4, 6n + 4p - 5, 8n 6, y m -n 4p De acuerdo con el procedimiento seria: (3m 2n + 4) + (6n + 4p 5) + (8n 6) + (m -n 4p) = 3m 2n n + 4p 5 + 8n 6 + m - n 4p = 4m 11n Hallar la suma de a 3 b b 4 + ab 3, - 2a 2 b 2 + 4ab 3 + 2b 4 y 5a 3 b 4ab 3 6a 2 b 2 b 4 6 De acuerdo con el procedimiento seria: (a 3 b b 4 + ab 3 ) + (- 2a 2 b 2 + 4ab 3 + 2b 4 ) + (5a 3 b 4ab 3 6a 2 b 2 b 4 6) = a 3 b b 4 + ab 3-2a 2 b 2 + 4ab 3 + 2b 4 + 5a 3 b 4ab 3 6a 2 b 2 b 4 6 = 6a 3 b - 8a 2 b 2 + ab Hallar la suma de + 2y , - -, - 5 De acuerdo con el procedimiento seria:

29 ( + 2y ) + (- - ) + ( - 5) = + 2y Hallar la suma de 0,2a 3 + 0,4ab 2 0,5a 2 b, - 0,8b 3 + 0,6ab 2 0,3a 2 b, -0,4a ,8a 2 b, 0,2a 3 + 0,9b 3 + 1,5a 2 b De acuerdo con el procedimiento seria: (0,2a 3 + 0,4ab 2 0,5a 2 b) + (- 0,8b 3 + 0,6ab 2 0,3a 2 b) + (- 0,4a ,8a 2 b) + (0,2a 3 + 0,9b 3 + 1,5a 2 b) = 0,2a 3 + 0,4ab 2 0,5a 2 b - 0,8b 3 + 0,6ab 2 0,3a 2 b - 0,4a ,8a 2 b + 0,2a 3 + 0,9b 3 + 1,5a 2 b = - 0,1a 2 b + ab 2 + 0,1b Ejercicios y problemas Realizar las siguientes sumas 1. 5x, - 6y 2. 11m, 6m 3., 4. 3m, - 2n, 4k 5.,, 6. a, - 3b, - 8c, 4b a, 8c 7.,,, 8. -m n +p p - 6q +3r; p +5q 8r x2; - 7y2 +4xy x2; 5y2 x2 +6xy; - 6x2 4xy + y2 La resta algebraica La resta algebraica es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. En aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta de algebra tiene un carácter mas general, pues puede significar disminución o aumento.

30 Para restar dos expresiones algebraicas se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay. Resta de monomios 1.- De 6 restar 9 de acuerdo con el procedimiento seria: = Restar 3b de 5a de acuerdo con el procedimiento seria: 5a - 3b 3.- De 8 restar - 6 de acuerdo con el procedimiento seria: 8 (- 6) = = Restar 3a 2 bc de - 5a 2 bc de acuerdo con el procedimiento seria: - 5a 2 bc - 3a 2 bc = - 8a 2 bc 5.- De - de acuerdo con el procedimiento seria: - - = Resta de polinomios Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiando el signo a todos sus términos. 1.- De 4a - 3b +6c restar 2a + 3b 2c 4 de acuerdo con el procedimiento seria: 4a - 3b +6c (2a + 3b 2c 4) = 4a - 3b +6c 2a - 3b + 2c + 4 = 2a -6b +8c Restar - 4a 5 b ab 5 + 6a 3 b 3 a 2 b 4-3b 6 de 8a 4 b 2 + a 6 4a 2 b 4 + 6ab 5 de acuerdo con el procedimiento seria: 8a 4 b 2 + a 6 4a 2 b 4 + 6ab 5 - (- 4a 5 b ab 5 + 6a 3 b 3 a 2 b 4-3b 6 ) = 8a 4 b 2 + a 6 4a 2 b 4 + 6ab 5 + 4a 5 b + ab 5-6a 3 b 3 + a 2 b 4 + 3b 6 = a 6 + 4a 5 b + 8a 4 b 2-6a 3 b 3 3a 2 b 4 + 7ab 5 + 3b Restar - 4a 3 b 3 - a 2 b 2 9 de - + a 2 b 2-8 de acuerdo con el procedimiento seria: - + a 2 b 2 8 (- 4a 3 b 3 - a 2 b 2 9) = - + a 2 b a 3 b 3 + a 2 b = 4a 3 b 3 - a 2 b 2 - Ejercicios y problemas 1. De x +y restar x y 2. De a 3 a 2 b restar 7a 2 b + 9ab 2

31 3. De y 2 + 6y 3 8 restar 2y 4 3y 2 + 6y 4. De x 3 9x + 6x 2 19 restar 11x 2 +21x x 3 5. De m n+1 6m n-2 + 8m n-3 19m n-5 restar 8m n + 5m n-2 + 6m n-3 + m n-4 + 9m n-5 6. De Restar x 3 xy 2 de x 2 y + 5xy 2 8. Restar 3a 2 + ab 6b 2 de -5b 2 + 8ab + a 2 9. Restar 25a 2 b + 8ab 2 b 3 de a 3 9a 2 b b Restar x 5 x 2 y 3 + 6xy y 5 de - 3xy 4 8x 3 y 2 19y Restar a x+2 5a x+1 6a x de a x+3 8a x Restar La multiplicación algebraica La multiplicación algebraica es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. Es importante recordar algunas notas muy importantes sobre la multiplicación. 1. El orden de los factores no altera el producto, ley conmutativa 2. Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo, ley asociativa 3. Signos iguales en un producto de dos factores dan signo + 4. Signos diferentes en un producto de dos factores dan signo 5. El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un numero par de factores negativos o ninguno 6. El signo del producto de varios factores es - cuando tiene un numero impar de factores negativos 7. Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores 8. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de la factores Multiplicación de monomios Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tengan en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos. 1.- Multiplicar 3x 3 por 6x 5 3x 3. 6x 5 = 3.6.x 3+5 = 18x 8 el signo del producto es mas + porque + por + da Multiplicar 2ab 2 por 6ma 5 b 4 ( 2ab 2 ).(- 6ma 5 b 4 ) = 2.6.a 1+6 b 2+4 m = 12a 7 b 6 m el signo del producto es + porque - por - da Multiplicar 4x 2 y 3 por 6y 5 z (4x 2 y 3 ).( 6y 5 z) = 4.6x 2 y 3+5 z = - 24 x 2 y 8 z el signo del producto es - porque + por - da -

32 4.- Multiplicar a 2 b 3 por 5a m b n c 5 ( a 2 b 3 ).( 5a m b n c 5 ) = -1.5a m+2 b n+3 c 5 = - 5a m+2 b n+3 c 5 el signo del producto es - porque - por + da Multiplicar a x+2 b x+3 por 6a x+3 b 4 (a x+2 b x+3 ).( 6a x+3 b 4 ) = - 6a x+2+x+3 b x+3+4 = 6a 2x+5 b x Multiplicar a 3 b por - a 5 b 2 ( a 3 b).( - a 5 b 2 ) = -. a 8 b 3 = a 8 b 3 = a 8 b Efectuar (3x)(-4x 2 y 3 )(-2x 4 y 2 ) = 24x 7 y 5 El signo del producto es + porque hay un numero par de factores negativos 7.- Efectuar (- 5a 2 b)(- a m )(- a 2 b n ) = a m+4 b n+1 = - a m+4 b n+1 El signo del producto es - porque hay un número impar de factores negativos Procedimiento para multiplicar un polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos, esta es la Ley Distributiva de la multiplicación. 1.- Multiplicar 4x 2 7x + 6 por 3a 2 x 3 3a 2 x 3 (4x 2 7x + 6) = 3a 2 x 3 (4x 2 ) + 3a 2 x 3 ( 7x) + 3a 2 x 3 (6) = 12 a 2 x 5-21 a 2 x a 2 x Multiplicar 2x a+1 y 4x a y 2 + 3x a+1 y 3 x a-2 y 4 por -3x 2 y n -3x 2 y n (2x a+1 y 4x a y 2 + 3x a-1 y 3 x a-2 y 4 ) = - 6 x a+3 y n x a+2 y n +2-9 x a+1 y n x a y n Multiplicar a 4 b 2 - a 2 b 4 + b 6 por - a 3 b 2 x 2 - a 3 b 2 x 2 ( a 4 b 2 - a 2 b 4 + b 6 ) = a 7 b 4 x 2 + a 5 b 6 x 2 - a 3 b 8 x 2 simplificando tenemos: = a 7 b 4 x 2 + a 5 b 6 x 2 - a 3 b 8 x 2 Procedimiento para multiplicar dos polinomios Para multiplicar dos polinomio se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes. 1.- multiplicar 6y 2 + 2x 2 5xy por 3x 2 4y 2 + 2xy Ordenamos los polinomios en orden ascendente en relación a x y los colocamos de la siguiente manera, para trabajar con más orden.

33 2x 2 5xy + 6y 2 3x 2 + 2xy 4y 2 6 x 4-15 x 3 y + 18 x 2 y 2 4x 3 y - 10 x 2 y x y 3-8 x 2 y x y 3-24 y 4 6 x 4-11 x 3 y +32 x y 3-24 y 4 o sea que: (6y 2 + 2x 2 5xy)(3x 2 4y 2 + 2xy) = 6 x 4-11 x 3 y + 32 x y 3-24 y multiplicar x 2 + y 2 xy por x 2 y 2 - xy x 2 xy + y 2 x 2 - xy y 2 x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 - x 2 y 2 + xy 3 - y 4 x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 - y 4 o sea que ( x 2 + y 2 xy)( x 2 y 2 - xy) = x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 - y 4 Eliminación de signos de agrupación con productos indicados Un coeficiente colocado junto a un signo de agrupación indica que hay que multiplicarlo por cada uno de los términos encerrados en el signo de agrupación. 1.- Resolver y simplificar 6x + 6x + = 6x + {x + 2[x + 5y - 3x 3y]} = 6x + {x + 2x + 10y - 6x 6y} = 6x + x + 2x + 10y - 6x 6y = 3x + 4y

34 2.- Resolver y simplificar m -3(m + n) + [ - { - ( -2m + n 2-3[ m n + 1]) + m }] m -3(m + n) + [ - { - ( -2m + n 2-3[ m n + 1]) + m }] = m -3m - 3n + [ - { - ( -2m + n 2-3 m + 3 n - 3) + m }] = m -3m - 3n + [ - { 2m - n m - 3 n m }] = m -3m - 3n + [ - 2m + n m + 3 n m ] = m -3m - 3n - 2m + n m + 3 n m = - 8m + n 5 Ejercicios y problemas Multiplicar a 2 b por 2ab a 2 bx por 7b 3 x 5 3. x m+1 y n+2 por - 4x m-3 y n-5 c (4a 2 )(-5a 3 x 2 )(-ay 2 ) 7. (a m b x )(-a 2 )(-2ab)(-3a 2 b) (a 3-4a 2 +6a) 10. 4a 4 m 2 (a 3 5a 2 b 8ab 2 ) 11. 3x 2m (x m+1 + 3x m x m-1 ) a 2 x 3 (x 4 6x 3 + 8x 2 7x + 5)

35 15. (- 4y + 5x)(- 3x + 2y) 16. (m 4 2m 3 n + 3m 2 n 2 4n 4 )(n 3 5mn 2 + 3m 2 n m 3 ) 17. (x 2 + y 2 + z 2 xy xz yz)(x + y + z) 18. (x a-1 + 2x a-2 x a-3 + x a-4 )(-x a-3 + x a-1 x a-2 ) La división algebraica La división algebraica es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor cociente. La ley de los signos en la división algebraica es la misma que en la multiplicación, es decir, signos iguales dan + y signos diferentes dan - Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor División de monomios Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El signo lo da la ley de los signos. 1.- Dividir y simplificar 8a 5 b 3 entre 4a 3 b 2 8a 5 b 3 4a 3 b 2 = = - 2 a 5-3 b 3-2 = - 2 a 2 b 2.- Dividir y simplificar 10a 6 b 4 c entre - 2a 2 b 10a 6 b 4 c - 2a 2 b = = 5 a 6-2 b 4-1 c = 5 a 4 b 3 c 3.- Dividir y simplificar a x+3 b m+2 entre a x+2 b m+1 a x+3 b m+2 a x+2 b m+1 = = =

36 = ab 4.- Dividir y simplificar x 4 y 7 z entre x 4 y 2 z x 4 y 7 z x 4 y 2 z = = x 4-4 y 7-2 z 1-1 = y 5 División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Esta es la Ley Distributiva de la división. 1.- Dividir 3x 3-6x 2 y + 9xy 2 entre 3x 3-6 y + 9x 3x = = = x 2 2xy Dividir a 3 b - a 2 b 2 + ab 3 - b 4 entre b b b = = Procedimiento para la división dos polinomio 1. Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y tendremos el primer término del cociente 3. Este primer término del cociente se multiplica por todos los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante 4. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor 5. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente 6. Este segundo término del cociente se multiplica por todo los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo, cambiando los signos 7. Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se efectúan las operaciones anteriores, y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero cuando la división es exacto o cuando la división no es exacta debemos detenerla cuando el primer termino del residuo es de grado inferior al primer termino del divisor con relación a una misma letra. 1.- Dividir 28a 2 30b 2-11ab entre 4a - 5b Ordenamos el dividendo y el divisor en orden ascendente con realcion a una letra, por ejemplo la a y en consecuencias tendremos:

37 28a 2-11ab 30b 2 / 4a - 5b -28a ab 7a + 6b 24ab 30b 2-24ab + 30b Dividir x 12 + x 6 y 6 x 8 y 4 x 2 y 10 entre x 8 + x 6 y 2 x 4 y 4 x 2 y 6 Al ordenar el dividendo tenemos x 12 x 8 y 4 + x 6 y 6 x 2 y 10 podemos observar que faltan los términos x 10 y 2 y x 4 y 8 ; dejaremos los espacios correspondientes donde corresponda. x 12 x 8 y 4 + x 6 y 6 x 2 y 10 / x 8 + x 6 y 2 x 4 y 4 x 2 y 6 -x 12 x 10 y 2 + x 8 y 4 + x 6 y 6 x 4 - x 2 y 2 + y 4 x 10 y 2 +2 x 6 y 6 x 10 y 2 + x 8 y 4 - x 6 y 6 - x 4 y 8 x 8 y 4 + x 6 y 6 - x 4 y 8 x 2 y 10 - x 8 y 4 - x 6 y 6 + x 4 y 8 + x 2 y Dividir 3a x a x+3 10a x+4 8a x+2 + 5a x+1 entre a 2 3a + 5 Ordenando en orden descendente con relación a la letra a, obtendremos: 3a x+5 10a x a x+3 8a x+2 + 5a x+1 / a 2 3a + 5-3a x+5 + 9a x+4-15a x+3 3a x+3 - a x+2 + a x+1 a x+4 + 4a x+3 8a x+2 a x+4-3a x+3 + 5a x+2 a x+3 3a x+2 + 5a x+1 -a x+3 + 3a x+2-5a x Dividir x 3 - x 2 y + xy 2 - y 3 entre x + y x 3 - x 2 y + xy 2 - y 3 x + y - x 3 + x 2 y - x 2 y + xy 2 x 2 y - xy 2 xy 2 - y 3 - xy 2 + y 3 Ejercicios y problemas