Operatoria algebraica

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1 Eje temático: Algebra y funciones Contenidos: Operatoria algebraica Ecuaciones de primer grado Nivel: 1 Medio Operatoria algebraica 1. Operatoria algebraica 1.1. Términos semejantes Un término algebraico es el producto de un factor numérico (número real) por un factor literal (símbolos o letras). Término algebraico Factor numérico Factor literal 2a 2 a -5x 2 y -5 x 2 y M n 1 M n -1/2 a b c -1/2 a b c -0,8-0,8 No tiene Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a 2 b y 5a 2 b son términos semejantes, pues ambos tienen la misma parte literal que es a 2 b. Los términos semejantes se pueden reducir sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo: -2a 2 b + 5a 2 b = 3a 2 b 10x 2 z 3 22x 2 z 3 = -12x 2 z 3 Si en una expresión algebraica los términos no son semejantes, entonces no se pueden reducir, y constituye un binomio. Por ejemplo: La operación 12a 2 b + 13ab 2 no se puede reducir más, debido a que no son términos semejantes, (sus factores literales son diferentes), por lo tanto esta operación es un binomio Eliminación de paréntesis - Cómo reducir 2a (3a 5b)? Para poder sumar o restar correctamente los términos algebraicos que son semejantes, es necesario eliminar el paréntesis. 2a 3a + 5b = -a + 5b - Si M = 4x 8 y P = 4x + 9, cuál es el valor de M + P? Cuál es el valor de M P?

2 M + P = (4x 8) + (4x + 9) = 8x + 1 M P = (4x 8) (4x + 9) = 4x 8 4x 9 = -17 Para eliminar el paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: 1) Si aparece un signo + delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis y se conservan los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. 2) Si aparece un signo - delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis y se cambian los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. 2ab (a + ab) + (3 a 4ab) Aplicando las reglas anteriores, tenemos: = ab a ab + 3a 4ab, Reduciendo términos semejantes: = -3ab + 2 a 1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas Se define un monomio como un término algebraico. Un binomio es una suma o resta de dos términos algebraicos no semejantes (que no se pueden reducir). Un trinomio es la suma o resta de tres términos algebraicos que no son semejantes. Polinomio es una suma de más de tres términos que no se pueden reducir. Multiplicación de monomios: para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales de cada término algebraico. Recuerda que para multiplicar literales se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base que dice: para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. 2x 2 y 3 z 4x 4 y 2 = 8x 6 y 5 z Multiplicación de monomio por polinomio: en este caso se aplica la propiedad distributiva; esto es: el monomio c multiplica por cada uno de los términos del polinomio. 2ab (3a - ab 2 + 4b 2 c 2 ) = 2ab 3a - 2ab ab 2 + 2ab 4b 2 c 2 = 6a 2 b 2a 2 b 3 + 8ab 3 c 2 Multiplicación de binomio por binomio: se multiplica cada uno de los términos del primer binomio por cada uno de los términos del segundo binomio. (2a - 3b 2 c) (4a 2 + 5ab 3 ) = 2a 4a 2 + 2a 5ab 3 3b 2 c 4a 2 3b 2 c 5ab 3 = 8a ab 3 12a 2 b 2 c 15 ab 5 c Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo.

3 (2x 3y + 4z 2 ) (5x + 2xy + 4xz 2 ) = 2x 5x + 2x 2xy + 2x 4xz 2 3y 5x 3y 2xy 3y. 4xz 2 + 4z 2 5x + 4z 2 2xy + 4z 2 4xz 2 = 10x 2 + 4x 2 y + 8x 2 z 2 15xy 6xy 2 12xyz xz 2 + 8xyz xz 4 (7x + 3 y) (5x 8y )= 35x 2-56 xy + 15 xy 24y 2 = 35 x 2 41xy 24y Productos notables Son productos de polinomios que tienen términos semejantes. Estos generan reglas que es conveniente memorizar, pues permiten obtener el resultado más rápidamente y no es necesario hacer la multiplicación término a término. Algunos de los productos notables más frecuentes son: 1. Suma por su diferencia: 2. Cuadrado de binomio: (a + b) (a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3. Multiplicación de binomios con término común: 4. Cuadrado de trinomio: 5. Cubo de binomio: (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 Puedes ver un mapa conceptual acerca de los productos notables en una presentación Power Point: Productos notables Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los siguientes sitios: Visualización productos notables Desarrollo productos notables

4 Para un reforzamiento de productos notables puedes visitar la siguiente presentación Power Point: SSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab Factorización Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones de términos algebraicos que son productos notables en multiplicaciones de factores polinomiales. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes: 1. Factor común en un monomio por un polinomio : Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común. 15x 2 y 2 z 3 5xy 3 z x 4 y 4 z 3 Aquí el factor común es: 5xy 2 z 2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma: 15x 2 y 2 z 3 5xy 3 z x 4 y 4 z 3 = 5xy 2 z 2 (3xz y + 2x 3 y 2 z), lo que corresponde a su factorización. Puedes verificar mentalmente su distribución para comprobar que el producto es el planteamiento inicial. 2. Diferencia de cuadrados en suma por su diferencia : Toda diferencia de cuadrados se puede factorizar mediante el producto de la suma por la diferencia de sus raíces. a 2 b 2 = (a + b) (a b) 25a 2 16b 4. Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b 2 : Por lo tanto: (5a) 2 (4b 2 ) 2 = (5a + 4b 2 ) (5a 4b 2 ) Como observación, te hacemos notar que el binomio 2a 3 b se podrá factorizar en producto de suma por diferencia como:

5 3. Factorización de un trinomio cuadrático perfecto en cuadrado de binomio : Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio. Se reconoce por tener dos términos cuadrados perfectos y el tercer término es el doble producto de sus raíces. Recuerda que un cuadrado perfecto es un término algebraico que tiene raíz exacta. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 16x 2 24xy + 9y 2 En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x 2 = (4x) 2 y 9y 2 = (3y) 2 Además verificamos mentalmente que -2 4x 3y es igual a -24xy; por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio (4x 3y) 2 Si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada. 4. Factorización de un trinomio cuadrático no perfecto si el coeficiente cuadrático es 1: Utilizando el producto notable producto de binomios con término común, podemos factorizar una expresión del tipo: x 2 + px + q en un producto de binomios con un término en común: x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) x 2 10x + 24 El trinomio se factoriza de la forma: (x + a) (x + b), donde a y b son números tales que: a + b = -10 y ab = 24. Encuentra ahora todas las parejas de números cuyo producto es 24 R: (2 12) (3 8) (4 6) (1 24) y que además la suma de éstos sea -10. Ambos números deberán ser negativos. Por lo tanto: x 2 10x + 24 = (x 4)(x 6)

6 5. Factorización de trinomio cuadrático no perfecto si el coeficiente cuadrático es diferente de 1: 2x 2 + 7x 15 Para poder factorizar trinomios de este tipo multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático, que en este caso es 2: En esta fracción, el numerador se puede factorizar de la forma (2x + a) (2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = 30. Estos números son: 10 y 3. Conociendo los números, se simplifica la expresión por 2 para obtener la factorización correcta: por lo tanto: 2x 2 + 7x 15 = (x + 5) (2x 3) 6. Diferencia de cubos perfectos a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) 125z 3 64y 6 La expresión 125z 3 es el cubo de 5z, y 64y 6 es el cubo de 4y 2, por lo tanto: 125z 3 64y 6 = (5z) 3 (4y 2 ) 3 Considerando que a = 5z y b = 4y 2 en la expresión dada, tenemos que: (5z) 3 (4y 2 ) 3 = (5z 4y 2 )(25z y 2 z + 16y 4 )