Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es

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1 Matemáticas 1 o ESO David J. Tarifa García info@esobachilleratouniversidad.com.es 1

2 Matemáticas - 1 o ESO 2 Índice 1 Tema 1. Los números naturales Suma de números naturales Operación interna Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Resta de números naturales Multiplicación de números naturales Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Elemento neutro o elemento identidad Propiedad distributiva del producto respecto a la suma División de números naturales Tipos de divisiones Propiedades de las divisiones de números naturales Potenciación y operaciones con potencias Resumen de potencias Raíces Cuadradas Tipos de raíces Método de resolución de raíces cuadradas Reglas de prioridad o precedencia Restas y divisiones no cumplen la propiedad asociativa Cambiando el orden con paréntesis Las raíces tienen el mismo efecto que los paréntesis Resumen de reglas de prioridad Múltiplos de un número Propiedades de los múltiplos Divisores de un número Propiedades de los divisores Criterios de divisibilidad, (2, 3, 5, 7 y 11) Divisibilidad por Divisibilidad por Divisibilidad por Divisibilidad por Divisibilidad por Criterios de divisibilidad, (4, 6, 8, 9 y 10) Divisibilidad por Divisibilidad por Divisibilidad por Divisibilidad por Divisibilidad por Números primos y números compuestos Lista de números primos Descomposición factorial

3 Matemáticas - 1 o ESO Divisores de un número Máximo común divisor, (máx.c.d) Mínimo común múltiplo Los números enteros Representación y orden en números enteros Valor absoluto Notación y uso de paréntesis Suma de enteros Suma de dos números positivos Suma de dos números negativos Suma de un número positivo con otro negativo Propiedades de la suma de enteros Operación interna Propiedad conmutativa: a + b = b + a Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c Elemento neutro: a + 0 = a Elemento opuesto o simétrico: a + ( a) = Resta de números enteros Propiedades de la resta de enteros Operación interna Elemento neutro: a 0 = a Elemento simétrico: a a = Producto de números enteros Resta, negativo o producto? Propiedades del producto de números enteros Operación interna Propiedad conmutativa, a b = b a Propiedad asociativa, (a b) c = a (b c) Elemento neutro o elemento identidad: Propiedad distributiva del producto respecto a la suma División de números enteros Propiedades de las divisiones de números enteros Potencia de enteros Base positiva o cero Base negativa Propiedades de la potencia de números enteros Raíces de números enteros Operaciones combinadas con números enteros Los números decimales Tipos de números decimales Infinitud de los números decimales Redondeo Orden en los números decimales

4 Matemáticas - 1 o ESO Operaciones con decimales Suma y resta Producto División Raíces cuadradas Sistema Métrico Decimal Mágnitudes Medida Múltiplos y submúltiplos. Prefijos correspondientes Medidas complejas e incomplejas o simples Paso de medidas complejas a incomplejas Paso de medidas incomplejas a complejas Operaciones con cantidades complejas o incomplejas Masa Longitud Área o superficie Volumen o Capacidad Sistema Anglosajón Los números racionales Significados de un número racional Número racional interpretado como una división Número racional interpretado como partes de un total Número racional interpretado como un operador Fracciones equivalentes Suma y resta de fracciones Producto de fracciones División de fracciones Equivalencia entre fracciones y números naturales o enteros Operaciones combinadas de números racionales Tipos de números racionales Números mixtos Proporcionalidad Magnitudes Proporcionalidad Proporcionalidad directa Reducción a la unidad Regla de tres Proporcinalidad inversa Reducción a la unidad Regla de tres Porcentajes Interpretaciones de un porcentaje Algunos porcentajes especiales

5 Matemáticas - 1 o ESO Aumentos y disminuciones porcentuales Álgebra Introducción Expresiones algebraicas. Monomios Suma, resta de monomios Producto de monomios División de monomios Igualdades algebraicas Ecuaciones Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Ecuaciones del tipo x ± a = b Ecuaciones del tipo a x = b x a = b Ecuaciones genéricas de primer grado con una incógnita Método reducido Problemas y ecuaciones de primer grado Interpretación de enunciados Geometría Puntos, rectas y planos Posiciones relativas de rectas Perpendicularidad Mediatriz Bisectriz de un ángulo Ángulos Medida de ángulos Medidas complejas e incomplejas Operaciones con ángulos: suma, resta, producto y división Ángulos en paralelas Ángulos en polígonos Ángulos en circunferencias Simetrías Gráficas cartesianas, funciones y gráficas estadísticas 72

6 Matemáticas - 1 o ESO 6 1 Tema 1. Los números naturales Los números naturales son el conjunto de números formados por el número uno, el dos, el tres y sucesivos. N = {1, 2, 3,...} Es un conjunto no acotado superiormente. Esto quiere decir que, aunque existe un número menor que todos los demá s, (el 1), no existe un número mayor que el resto. La serie continua indefinidamente. Nota: El cero, aunque se use frecuentemente como número natural, no pertenece a este conjunto. 1.1 Suma de números naturales La suma de dos números naturales puede explicarse como la operación que realizamos cuando contamos el resultado de reunir dos conjuntos de elementos. A cada número sumado se le llama sumando en esta operación. El resultado recibe el nombre de suma. a y b son sumandos. c es suma. a + b = c La suma de números naturales cumple las siguientes propiedades Operación interna. La suma de dos números naturales siempre da como resultado un nuevo número natural. a+b N Propiedad conmutativa. Nos indica que no importa el orden en que sumemos dos números naturales. El resultado será el mismo en los dos casos. O lo que es lo mismo, que a + b = b + a. Ejemplo: = Propiedad asociativa Nos indica que si tenemos tres o más sumandos, podemos sumar primero los dos primeros y después añadirle el tercero, o podemos sumar primero los dos últimos sumandos y después añadirle el resultado al primero. O lo que es lo mismo, que (a + b) + c = a + (b + c). Ejemplo: (3 + 5) + 7 = = (5 + 7) = = 15

7 Matemáticas - 1 o ESO Resta de números naturales La resta de dos números naturales puede explicarse como la operación según la cual a un conjunto de elementos le quitamos o sustraemos una cantidad dada. En esta, a la cantidad inicial se la denomina minuendo, a la cantidad sustraída se le llama sustrayendo y al resultado resta. a es minuendo, b es sutrayendo y c es resta. a b = c La resta de números naturales no es una operación interna. Recordemos que una operación es interna si el resultado de la misma siempre pertenece al mismo conjunto de partida. Si el minuendo es menor que el sustrayendo el resultado de la resta será un número negativo, (será un número entero, como se verá en un tema posterior). Ejemplo: 3 5 = 2, que no pertenece al conjunto de los naturales. Por tanto la resta no cumple la propiedad interna. Tampoco cumple las propiedades conmutativa ni asociativa. 1.3 Multiplicación de números naturales La multiplicación es la evolución de las sumas. Multiplicar es sumar varias veces una cantidad fija. Esto se verá más claro con un ejemplo. 3 4 = = 12. O sea, que multiplicar 3 4 es sumar 3 veces 4. La multiplicación cumple además la propiedad conmutativa, por tanto multiplicar 3 4 es lo mismo que multiplicar 4 3, o lo que es lo mismo, sumar 4 veces = 4 3 = = 12. Los dos números multiplicados reciben el nombre de factores y el resultado se denomina producto. a y b son factores. c es producto. a b = c La multiplicación de números naturales cumple las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa Ya la hemos comentado. El orden de los factores no altera el producto. a b = b a Propiedad asociativa Si realizamos el producto de tres o más factores, el resultado será el mismo si multiplicamos primero el primer y el segundo factor y el resultado lo multiplicamos por el tercero, que si multiplicamos primero el segundo y el tercer factor, y el resultado lo multiplicamos por el primero.

8 Matemáticas - 1 o ESO 8 (a b) c = a (b c) Ejemplo: (3 5) 7 = 15 7 = (5 7) = 3 35 = Elemento neutro o elemento identidad El producto, en el conjunto de los números naturales, posee elemento neutro, el 1. El elemento neutro es aquel que operado con cualquier elemento del conjunto considerado produce el mismo elemento. En nuestro caso, a 1 = a. Por tanto, el 1 es el elemento neutro Propiedad distributiva del producto respecto a la suma El producto de una suma cumple la siguiente propiedad, conocida como la propiedad distributiva: a (b + c) = a b + a c Ejemplo: 3 (5 + 2) = ; 3 (5 + 2) = 3 7 = 21; = = 21 La propiedad es bidireccional, también se cumple de derecha a izquierda en la operación que se conoce como sacar factor común. a b + a c = a (b + c) Ejemplo: = 7 (2 + 5) = 7 7 = División de números naturales La división puede verse como la operación contraria a la multiplicación. Si a b = c, entonces c a = b. Ejemplo: 3 4 = 12. Por tanto, 12 3 = 4. La división puede representarse por una línea horizontal: D = C, mediante dos puntos: D : d = C d o mediante el símbolo lemnisco, ( ), compuesto por un guión más dos puntos: D d = C. En esta, D, (en mayúscula), es el dividendo, d, (en minúscula), es el divisor y C es el cociente Tipos de divisiones Hasta ahora hemos visto divisiones sin resto, (o con resto cero). Estas divisiones son conocidas como divisiones exactas. Existen también las divisiones con resto diferente de cero. Son las llamadas divisiones enteras o inexactas. Si R es el resto de la división, para las divisiones enteras se cumple la siguiente propiedad: D = d C + R Ejemplo de división inexacta: 23 : 5 = 4, con resto 3. Por tanto: 23 =

9 Matemáticas - 1 o ESO Propiedades de las divisiones de números naturales La división de números naturales no es una operación interna. Una división puede tener decimales, y los números con decimales no pertenecen al conjunto de los números naturales. Asimismo tampoco cumple las propiedades conmutativa ni asociativa, (no podemos cambiar dividendo por divisor ni agrupar a nuestro gusto). La división de números naturales posee elemento neutro, el 1. a 1 = a 1.5 Potenciación y operaciones con potencias Lo mismo que la multiplicación es la evolución de las sumas, ( = 4 3), la potenciación es la evolución de las multiplicaciones, ( = 3 4 ). Sea una potencia a b, a recibe el nombre de base y b se denomina exponente. Para calcular la potencia es cuestión de multiplicar la base por si misma tantas veces como indique el exponente. Ejemplo: 2 3 = = 8. Si el exponente es 1, la potencia es la misma base. a 1 = a. Ejemplo: 5 1 = 5. En cambio, si el exponente es 0, el resultado de la potencia siempre es uno. 7 0 = 1. a 0 = 1. Ejemplo: El producto de dos potencias con la misma base tiene como resultado dicha base elevada a la suma de los exponentes. Ejemplo: = = 2 5 a m a n = a m+n Similarmente, la división de dos potencias con la misma base tiene como resultado dicha base elevada a la diferencia de los exponentes. Ejemplo: 2 3 : 2 2 = = 2 1 = 2. a m a n = a m n La potencia de una potencia es la base elevada al producto de los exponentes. Ejemplo: ( 3 2) 3 = = 3 6 (a m ) n = a m n El producto y división de dos potencias con el mismo exponente pueden agruparse según las siguientes 2 fórmulas:

10 Matemáticas - 1 o ESO 10 Ejemplo: = (2 3) 3 = 6 3 Ejemplo: 15 2 : 5 2 = (15 : 5) 2 = Resumen de potencias a b = b veces { }} { a a... a a 0 = 1 a 1 = a a n b n = (a b) n a n : b n = (a : b) n a m a n = a m+n a m a n = a m n (a m ) n = a m n a n b n = (a b) n a n : b n = (a : b) n 1.6 Raíces Cuadradas Una raíz cuadrada puede definirse como la operación contraria a elevar al cuadrado. Ejemplos: 2 2 = 4. Entonces la raíz cuadrada de 4 es igual a 2. De la misma forma 3 2 = 9, entonces la raíz cuadrada de 9 es igual a 3. La operación raíz cuadrada se simboliza mediante una línea quebrada. Ejemplos: 4 = 2 y 9 = 3. El número al que aplicamos la raíz se llama radicando. Existen otras raíces aparte de la raíz cuadrada, como la raíz cúbica, la raíz cuarta, la quinta, etc. Estas corresponden a las operaciones contrarias de elevar al cubo, a la cuarta, a la quinta potencia, etc. El exponente del que proviene la operación se llama índice en las raíces. Este índice no se indica en la raíz cuadrada, pero si en la cúbica y sucesivas, como se ve en estos ejemplos = 3, ya que 3 3 = = 2, ya que 2 5 = 32. El esquema general para indicar una raíz es el siguiente: índice radicando = raíz Tipos de raíces En los anteriores ejemplos se ha calculado la raíz de cuadrados perfectos. Un cuadrado perfecto es un número producido por elevación de otro al cuadrado. Como ejemplos de cuadrados perfectos podemos nombrar el 1, el 4, el 9, el 16. Estos se forman elevando al cuadrado 1, 2, 3, y 4 respectivamente. 1 2 = 1; 2 2 = 4; 3 2 = 9; 4 2 = 16. La raíz de un cuadrado perfecto se conoce como raíz exacta. Se caracteriza por no tener resto. Cuando realizamos la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto obtendremos un resto. Estas raíces se denominan raíces enteras Si hay resto, se cumple la siguiente propiedad:

11 Matemáticas - 1 o ESO 11 radicando = raíz 2 +resto Como ejemplo: 10 = 3, con resto 1. Esto es así porque = Método de resolución de raíces cuadradas Aunque no es complicado de realizar, no es sencillo de explicar el método para resolver a mano una raíz cuadrada. Se asemeja en varios aspectos al procedimiento para resolver una división. Aquí explicaremos el método de resolución de raíces cuadradas mediante un ejemplo. El cálculo de la raíz de Las operaciones se muestran en imágenes marcando cada nuevo paso en rojo para facilitar su comprensión. El primer paso consiste en agrupar los dígitos del radicando de dos en dos empezando por la derecha. En nuestro caso hemos obtenido tres grupos formados por los dígitos 7, 42 y 71. Nos fijamos en el grupo más a la izquierda, En nuestro caso es un 7. Buscamos a continuación el mayor de los números que elevados al cuadrado quedan por debajo de este. En nuestro caso 1 2 = 1, 2 2 = 4 y 3 3 = 9. Puesto que 9 es mayor que 7, el mayor de los números que elevados al cuadrado quedan por debajo de 7 es el 2. Colocamos este número a la derecha del radicando, (aquí es donde se va ha ir formando el resultado de nuestra raíz). Ahora elevamos este número al cuadrado, (2 2 = 4) y lo restamos del primer grupo, (del 7). Nuestro resto es 3 en este caso. Bajamos el siguiente grupo, (el 42), junto al resto calculado formando un nuevo número, (el 342). Al mismo tiempo multiplicamos por 2 lo que llevamos de resultado de la raíz, (2 en nuestro caso), y ponemos el resultado, (2 2 = 4) debajo de la casilla de la raíz en una nueva casilla auxiliar. A este número hay que añadirle otro y multiplicarlo por el mismo buscando el máximo valor que no exceda al resto que teníamos. En nuestro caso se trata de hacer productos del tipo 4X X buscando le resultado más cercano a 342 que no lo exceda. Empezamos por 41 1 = 41, 42 2 = 84, 43 3 = = 329 y 48 8 = 384. Puesto que el 8 excede nuestro resto, (342), nos quedamos con el 7. Hacemos una nueva resta con el resultado del producto = = Subimos este 7 a la casilla de la raíz y a partir de aquí el método se repite. Nuevamente bajamos otro grupo, (el 71). Multiplicamos por 2 lo que llevamos de la raíz, (27 2 = 54)

12 Matemáticas - 1 o ESO 12 y en una nueva casilla buscamos el número que se acerque más por defecto al formado entre el resto y el nuevo grupo, (1371). En nuestro caso = 1084 y = 1629, que sobrepasa al Nos quedamos por tanto con el 2. Al resto que teníamos, (1371), le restamos el nuevo dato, (1084), obteniendo un resto final de 287. Subimos el 2 a la casilla de la raíz y en este caso hemos terminado, pues no quedan más grupos que bajar. Si quedasen más grupos continuaríamos con el mismo procedimiento hasta agotarlos = = = = = = La raíz de es 272 con resto 287. Podemos comprobar nuestro resultado viendo que = Reglas de prioridad o precedencia Al encontrarnos con un cálculo compuesto de varias operaciones distintas se nos puede plantear la duda de cual realizar primero. Ejemplo: Un estudiante sin experiencia cometería el error de comenzar haciendo operaciones de izquierda a derecha. Comenzaría haciendo la resta a la izquierda, 13 5 cuyo resultado multiplicaría por 2, etc. Pero existen una serie de reglas en matemáticas que nos indican que hacer primero en función de las operaciones implicadas, antes aun que de la ubicación de las mismas. Estas reglas, conocidas como reglas de prioridad o precedencia en las operaciones, son las siguientes: Primero se realizan las potencias y las raíces. En nuestro ejemplo primero resolveríamos el cuadrado, (3 2 = 3 3 = 9), quedando Tras esto se resuelven productos y divisiones, (de izquierda a derecha). En nuestro caso hay que resolver el producto, (5 2 = 10), quedando Por último se resuelven sumas y restas, (de izquierda a derecha). Primero en nuestro caso la resta, (por estar a la izquierda), = 3, quedando 3+9. Por último sumamos quedando 3+9 = 12. {}}{ = {}}{ = 3 { }} { = = 12

13 Matemáticas - 1 o ESO 13 A menudo podemos hacer 2 o más operaciones al mismo tiempo, siempre que el cálculo de una no este afectado con el cálculo de la otra. En nuestro ejemplo podemos resolver en un solo paso la potencia y el producto: 10 9 {}}{ {}}{ = = = Restas y divisiones no cumplen la propiedad asociativa Hay que poner atención en resolver las operaciones con la misma prioridad de izquierda a derecha. En sumas y productos, que cumplen las propiedades conmutativa y asociativa, el resultado será el mismo si no lo hacemos así. Pero en la resta y la división, que no cumplen la propiedad conmutativa ni asociativa, los resultados serán incorrectos. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Lo hacemos correctamente empezando por la izquierda: 15 { }} { (20 5) 10 = = 5? { }} { Si intentamos hacer el calculo empezando por la derecha 20 (5 10) no pertenece al conjunto de los números naturales. No puede calcularse. 1 Segundo ejemplo: Lo hacemos correctamente empezando por la izquierda: 4 { }} { (40 10) 2 = 4 2 = 2 Si intentamos hacer el calculo empezando por la derecha obtenemos un resultado incorrecto. 5 { }} { 40 (10 2) = 40 5 = Cambiando el orden con paréntesis En las situaciones en que nos interese, se puede modificar el orden de la prioridad de las operaciones mediante paréntesis. En las reglas de prioridad los paréntesis se calculan antes que todas las otras operaciones. Por ejemplo, podemos modificar nuestro ejemplo mediante paréntesis para que en se realice primero la resta antes que las otras operaciones de la siguiente forma: (13 5) Podemos además usar paréntesis unos dentro de otros. Esto se conoce como paréntesis anidados. Cuando tenemos paréntesis anidados se realizan primero los cálculos de los paréntesis más interiores. 1 Si tiene solución en el conjunto de los enteros, Z, donde 5 10 = 5, pero el conjunto de los naturales, N no admite valores negativos.

14 Matemáticas - 1 o ESO 14 Ejemplo: ( (13 5) ) 2 Comenzamos por el paréntesis más interior. Aunque el producto tiene mayor prioridad que la resta, los paréntesis indican que la resta debe efectuarse primero. 8 ({ }} { (13 5) ) 2 = ( ) 2 Ahora realizamos las operaciones dentro del segundo paréntesis siguiendo las reglas de prioridad. Primero el producto y después la suma. Por último, se resuelve el cuadrado. 16 {}}{ ( ) 2 = (16 + 3) 2 = 19 2 = Las raíces tienen el mismo efecto que los paréntesis Una raíz actúa sobre un único número. Ejemplo: 4. El único número afectado por la raíz es el 4. Pero a menudo el integrando de una raíz es un conjunto de operaciones. Ejemplo: En estos casos la raíz se comporta como si tuviese un paréntesis, = ( ). Por tanto, hay que efectuar primero las operaciones dentro del radicando y aplicar la raíz al resultado. En nuestro caso primero efectuamos potencia y productos, (no se afectan por lo que pueden hacerse los dos al mismo tiempo). Tras esto efectuamos la resta y por último la raíz. 81 {}}{ 72 { }} { = = 9 = Resumen de reglas de prioridad Las cuatro reglas, ordenadas de mayor a menor prioridad, que hemos visto para los números naturales 2 son las siguientes: 1. Paréntesis, (comenzando por los más interiores). 2. Potencias y raíces. 3. Productos y divisiones, (comenzando por la izquierda). 4. Sumas y restas, (comenzando por la izquierda). 2 Estas mismas reglas se aplican a enteros, racionales y otros conjuntos como veremos más adelante.

15 Matemáticas - 1 o ESO Múltiplos de un número Son múltiplos de un número todos aquellos formados por el producto de dicho número por un número natural. Ejemplo: Son múltiplos de 2 los números 4, 6, 18 y 52. Esto es así porque 2 2 = 4, 2 3 = 6, 2 9 = 18 y 2 26 = 52. Otra forma de verificar que un número es múltiplo de otro es hacer la división entre ambos y comprobar que el resto es cero, (se trata de una división exacta). Ejemplo: Son múltiplos de 2 los números 4, 6, 18 y 52. Esto es así porque 4 : 2 = 2, (resto 0); 6 : 2 = 3, (resto 0); 18 : 2 = 9 (resto 0) y 52 : 2 = 26 (resto 0). En cambio, no son múltiplos de 2, por ejemplo, los números 13, 27 o 45. Esto es así porque si dividimos 13, 27 o 45 entre 2, todos nos dan resto 1. Para ser múltiplos el resto tendría que ser cero Propiedades de los múltiplos 1. Todo número tiene infinitos múltiplos. Ejemplo: Múltiplos del 3. 3 = 3 1, 6 = 3 2, 9 = Todo número natural es múltiplo de si mismo y de la unidad. Ejemplo: 17 es múltiplo de 17 y de 1 puesto que 17 = Si a es múltiplo de b, la división a entre b es exacta, (el resto es cero). Ejemplo: 35 es múltiplo de 5 porque 35 : 5 = 7, (resto 0). 4. La suma o diferencia de varios múltiplos de un número es un nuevo múltiplo de dicho número. Ejemplo: 35 y 25 son múltiplos de = 60 es múltiplo de = 10 es múltiplo de Si un número es múltiplo de otro, el producto de este por un nuevo número es múltiplo del primero. Ejemplo: 15 es múltiplo de = 15 2 también es múltiplo de Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero. Ejemplo: 42 es múltiplo de es múltiplo de 7. Por tanto, 42 es múltiplo de 7. De todas estas propiedades, la tercera es la más utilizada. 1.9 Divisores de un número Son divisores de un número todos los números con los que puede realizar una división exacta, o lo que es lo mismo, todos aquellos entre los que se puede dividir con resto cero.

16 Matemáticas - 1 o ESO 16 Ejemplo: Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y el mismo 10. Esto es así porque 10 : 1 = 10, (resto 0), 10 : 2 = 5, (resto 0), 10 : 5 = 2, (resto 0) y 10 : 10 = 1, (resto 0). Todos los números menos el 1 tienen al menos 2 divisores, ellos mismos y el 1. Ejemplos: El número 1 solo es divisible por 1, (un divisor). 2 es divisible por 2 y por 1, (dos divisores). 3 es divisible por 3 y por 1, (dos divisores). 4 es divisible por 1, por 2 y por 4, (tres divisores) Propiedades de los divisores 1. Todo número es divisor de si mismo. Ejemplo: 13 es divisor de 13, ya que = 1, (resto 0) 2. Todos los números son divisibles por 1. Ejemplos: 1 1 = 1, (resto 0), 2 1 = 2, (resto 0), 3 1 = 3, (resto 0) Los divisores de un número son iguales o menores que el. Ejemplo: Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10. Todos son menores que el, excepto el 10 que es el mismo. 4. Debido a que los divisores de un número son menores o iguales al mismo, todo número tiene una cantidad finita de divisores. 5. Si un número es divisor de otros dos, también es divisor de su suma y de su diferencia. Ejemplo: 5 es divisor de 45 y de 30. También es divisor de su suma, = 75 y de su diferencia, = 15, divisibles ambos por Si un número es divisor de un segundo, también lo es de cualquier múltiplo del segundo. Ejemplo: 3 es un divisor de también es divisor de 42 = 21 2, 63 = 21 3, 84 = Criterios de divisibilidad, (2, 3, 5, 7 y 11) Existen unos procedimientos, algunos muy sencillos, para determinar si un número es divisor de otros o no. Estudiamos aquí los criterios de divisibilidad para algunos de los primeros números Divisibilidad por 2 Todo número par, (terminado en 0, 2, 4, 6 u 8), es divisible por 2. Ejemplos: 18 y 542 son divisibles por 2, (terminan en 8 y 2, pares). 13 y 27 no son divisibles por 2, (terminan en cifras impares).

17 Matemáticas - 1 o ESO Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Ejemplos: 1275 es divisible por 3, ya que =15, divisible por no es divisible por 3, ya que =19, que no es divisible por Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Ejemplos: 1275 es divisible por 5, ya que termina en 5. termina ni en 0 ni en no es divisible por 5, ya que no Divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 si la diferencia entre dicho número sin las unidades y el doble de las unidades es 0 o múltiplo de 7. Ejemplos: 119 es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (11), y el doble de las unidades, (9 2 = 18), es 18-11=7, múltiplo de es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (12), y el doble de las unidades, (6 2 = 12), es 0, (12-12=0). 76 no es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (7), y el doble de las unidades, (6 2 = 12), es 12-6=6, que no es ni 0 ni múltiplo de 7. Si el número es grande, puede aplicarse varias veces el método. Ejemplo: 2625 será divisible entre 7 si = = 252 es divisible entre es divisible entre 7, ya que = 25 4 = 21 es divisible entre 7. Por tanto, 2625 es divisible entre Divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de sus dígitos pares y la suma de sus dígitos impares es cero o múltiplo de 11. Al igual que en el criterio para el 7, es posible que el método deba aplicarse varias veces. Ejemplos: es divisible por 11, ya que la diferencia entre la suma de sus dígitos impares, (1+9+4=14) menos la suma de sus dígitos pares, (2+1=3), es (14-3=11) múltiplo de es divisible por 11, ya que la diferencia entre la suma de sus dígitos impares, (3+6+7=16) menos la suma de sus dígitos pares, (7+9=16), es cero, (16-16=0).

18 Matemáticas - 1 o ESO no es divisible por 11,, ya que la diferencia entre la suma de sus dígitos impares, (1+6=7) menos la suma de sus dígitos pares, (2), es 1, (7-2=5), que no es ni 0 ni múltiplo de Criterios de divisibilidad, (4, 6, 8, 9 y 10) Los criterios de divisibilidad que hemos visto anteriormente corresponden a los primeros números primos, (concepto que ampliaremos en siguientes apartados), y son básicos en matemáticas. Pero también es útil conocer los criterios para otros números. Expondremos a continuación los criterios para los números que nos faltan hasta el Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 si sus 2 últimas cifras son 00, o múltiplo de 4. Además, para ser divisible por 4 tiene que ser divisible por 2, con los que todos los impares quedan descartados. Ejemplos: es divisible por 4, ya que termina en es divisible por 4, ya que 92 = 23 4 es divisible por no es divisible por 4, ya que es impar Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Ejemplos: 6792 es divisible por 6, ya que es par, (divisible por 2) y sus dígitos suman =24, múltiplo de no es divisible por 6, ya que aunque es par, la suma de sus dígitos, ( =11), no es múltiplo de Divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8 si sus tres últimos dígitos son 000, o múltiplos de 8. Además tiene que ser múltiplo de 2, con lo que los impares quedan descartados. Ejemplos: es divisible entre 8, ya que termina en es divisible por 8, ya que 872 = no es divisible por 8, ya que 122:8=15, con resto 2.

19 Matemáticas - 1 o ESO Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible entre 9. Ejemplos: es divisible por 9, ya que = 18, divisible entre no es divisible por 9, ya que =12, que no es divisible entre Divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10 si acaba en 0. Ejemplo: es divisible por 10, ya que acaba en Números primos y números compuestos Son números primos aquellos que tienen exactamente 2 divisores, ellos mismos y el 1. Son números compuestos aquellos que tienen más 2 divisores. El número 1 es el único que no es ni primo ni compuesto, puesto que solo tiene un divisor, el mismo. El resto de números naturales son o primos o compuestos. Vemos a continuación cuales de los 10 primeros números naturales son primos y cuales compuestos: 1 no es ni primo ni compuesto, pues solo tiene un divisor, el 1. 2 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (2:1=2; 2:2=1). 3 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (3:1=3; 3:3=1). 4 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2 y 4. 5 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (5:1=5; 5:5=1). 6 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 3 y 6. 7 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (7:1=7; 7:7=1). 8 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 4 y 8. 9 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 3 y es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 5 y 10. Existe una cantidad infinita de número primos. Los primos menores de 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

20 Matemáticas - 1 o ESO Lista de números primos Existe otro método algo más sencillo para saber si un número es primo que el de ir comprobando el número de divisores. Consiste en crear una lista de números primos partiendo de los dos primeros, (el 2 y el 3). A partir de aquí vamos probando cada uno de los siguientes números, (empezaríamos por el 4). Cada nuevo número lo dividiremos entre cada número primo anterior a el. Si es divisible entre alguno de ellos no es primo. Ejemplo: 4 no es primo, ya que es divisible por 2. 5 es primo, ya que no es divisible ni por 2 ni por 3. Nuestra nueva lista de primos se compone del 2, el 3 y el 5. 6 no es primo, ya que es divisible por 2. También es divisible por 3, pero no hace falta comprobarlo. Ya lo hemos descartado por ser divisible por 2. 7 es primo, ya que no es divisible ni por 2, por 3 ni por 5. Nuestra nueva lista de primos se compone del 2, el 3, el 5 y el Podemos mejorar un poco más el proceso teniendo en cuenta tres datos. Un número es primo si no existe ningún número natural menor que el entre el que sea divisible, (exceptuando el 1). Y por este motivo ningún número par es primo, (excepto el 2), porque los números pares son divisibles entre 2. Tampoco son primos los números que terminan en 5, pues son divisibles entre 5. Esto nos deja como posibles números primos, (a partir del 10), los que terminen en 1, en 3, en 7 o en 9. Además, no es necesario probar con todos los primos menores que el número en cuestión. Solo es necesario probar hasta el primo igual o inferior a la raíz del número dado. Veámoslo con un ejemplo: Supongamos que queremos saber si 97 es primo. La raíz de 97 es aproximadamente 9,85, ( 97 = 9, ). Por tanto, solo necesitamos probar si es divisible entre primos menores a 10, (2, 3, 5 y 7). Y aquí pueden usarse las reglas de divisibilidad conocidas. No es par, la suma de sus dígitos no es múltiplo de 3, no termina en 0 ni en 5 y = 5 que no es múltiplo de 7. Por tanto es primo. 3 3 Por que no es necesario probar con primos mayores?. Supongamos que probamos con el siguiente primo, el 11. Puesto que es mayor que 9,85, cuyo cuadrado es 97, (por aproximación), tendría que estar multiplicado por un número menor que 9,85, el 7 que ya hemos probado. Y si probamos con primos mayores aun, tendrían que estar multiplicados por números menores aún. Por tanto no es necesario probar con ninguno mayor.

21 Matemáticas - 1 o ESO Descomposición factorial Descomponer factorialmente un número, también llamado factorización, es obtener una serie de números denominados factores cuyo producto es dicho número. Ejemplo: 60 = 6 10 La factorización con factores compuestos como la anterior no suele usarse. La factorización habitual es la factorización en factores primos. En esta, todos los factores son números primos. Cuando hablamos de factorizar o descomponer factorialmente un número siempre hablamos de factorización en factores primos. Ejemplo: 6 = 2 3 es la factorización del número 6 en sus 2 factores primos. Como solo podemos usar números primos como factores es posible que un mismo factor primo tenga que repetirse. Entonces lo pondremos en forma de potencia. Ejemplo: 24 = Si el número es grande, nos apoyaremos en el siguiente método para factorizarlo. Lo desarrollamos mediante un ejemplo. La descomposición factorial del 156. Comenzamos por escribir nuestro número con una línea vertical a su derecha. Buscamos el menor primo entre el que sea divisible ayudándonos con los criterios de divisibilidad. Puesto que 156 es par, es divisible por 2. Colocamos un dos a su derecha. Dividimos ambos números: = 78 y colocamos el cociente bajo nuestro número a la izquierda. A partir de aquí el método se repite. 78 es divisible entre 2, su cociente es no es divisible entre 2, (es impar), pero si lo es entre 3 pues la suma de sus dígitos, (3+9=12), es divisible entre 3. Su cociente es es un número primo, (no es divisible entre 2, ni 3, ni 5 ni 7). Su cociente es 1, (13 13 = 1). Cuando obtenemos un 1 a la izquierda hemos finalizado = Nuestra descomposición es el producto de todos los factores que hemos obtenido a la derecha de la línea vertical. 156 = Divisores de un número Los divisores de un número son los números entre los que se puede dividir dicho número sin resto, (división exacta). Dado un número compuesto, se pueden calcular sus divisores con ayuda de la factorización del mismo.

22 Matemáticas - 1 o ESO 22 Para ello, primero haremos una lista formada por el 1 y todos los factores individuales de la factorización. Después buscaremos todas las combinaciones posibles de los factores y formaremos productos con ellas. Se pueden formar productos de 2 elementos, de 3, etc hasta el número de factores que haya en la factorización. Habrá que descartar, por supuesto, combinaciones con factores repetidos. Veamos un ejemplo. Divisores de 156 = Primeros divisores: 1, 2, 3 y 13. Productos de 2 factores: 2 2 = 4, 2 3 = 6, 2 13 = 26, 3 13 = 39. Productos de 3 factores: = 12, = 52, = 78. Productos de 4 factores: = 156. Divisores de 156: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78 y Máximo común divisor, (máx.c.d) El máximo común divisor de dos números es el número más grande entre el que se pueden dividir ambos números sin resto. Ejemplo: dados los números 15 y 30, ambos se pueden dividir por 5. Asimismo, también pueden dividirse ambos entre 3 y entre 1. Pero el número más grande entre el que pueden dividirse ambos sin resto es el 15. Por tanto, 15 es el máximo común divisor. Para obtener el máximo común divisor de dos números se procede de la siguiente manera: Se factorizan ambos números. Se toman los factores comunes a menor exponente. El máximo común divisor es el producto de dichos factores. Veámoslo con un ejemplo. Máximo común divisor de 3780 y = = es común. El menor exponente es 2. Factor: es común. El menor exponente es 1, (3 = 3 1 ). Factor: 3 5 es común. El menor exponente es 1, (5 = 5 1 ). Factor: 5 Ni 7 ni 13 son comunes. Se omiten. Máximo común divisor: = 60 Tanto 3780 como 1560 son ambos divisibles entre 60. Y además, 60 es el divisor más grande entre ambos.

23 Matemáticas - 1 o ESO Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos números es el número más pequeño que es múltiplo de ambos. Ejemplo: Los primeros múltiplos del 6 son 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,... Los primeros múltiplos de 20 son 40, 60, 80,... Múltiplos de 6 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,... Múltiplos de 20 20, 40, 60, 80,... Podemos ver que el 60 es el primer múltiplo común de ambos números, (6 y 20). Por tanto, 60 es el mínimo común múltiplo. Para obtener el mínimo común múltiplo de dos números se procede de la siguiente manera: Se factorizan ambos números. Se toman los factores comunes y no comunes a mayor exponente. El mínimo común múltiplo es el producto de dichos factores. Veámoslo con un ejemplo. Mínimo común múltiplo de 14 y = = es común. El mayor exponente es 2. Factor: 2 2 3, 5 y 7 son no comunes. El exponente es 1 en todos. Factores: 3, 5, 7 Mínimo común múltiplo: = es múltiplo tanto de 14 como de 60. Y además, 420 es el múltiplo común más pequeño entre ambos.

24 Matemáticas - 1 o ESO 24 2 Los números enteros Con el conjunto de los naturales, (N = {1, 2, 3...}), no pueden representarse conceptos como me debes 5 euros, la temperatura es de 7 grados bajo cero, conduce marcha atrás a 18 kilómetros por hora, ni otros similares. Para dar cabida a estos conceptos los matemáticos de la antigüedad ampliaron el conjunto de los números naturales con sus correspondientes negativos. Para el número 1, crearon el -1, para el 2, el -2 y sucesivos. Además, entre tener un euro y deber un euro hay una diferencia de 2 euros. Hubo que inventar un número intermedio entre ambos y crearon el 0 para ello. En este conjunto aparecen nuevas preguntas. Que número es mayor: -3 o -2? Como multiplico 6 por -2? Como hago la raíz cuadrada de un número negativo? Responderemos estas cuestiones y otras en los siguientes apartados. 2.1 Representación y orden en números enteros Al conjunto de los números enteros se les representa mediante la letra griega Z. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Para entender dicho conjunto y su orden se suele usar la representación del mismo sobre una recta Sobre esta recta será mayor el número que esté más a la derecha. Por tanto, -2 es mayor que -3, y cero es mayor que < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Los números que están a la derecha del 0 en la recta son números positivos y los que están a la izquierda números negativos. El cero no es ni positivo ni negativo. Es frecuente, (aunque no necesario), encontrar los números positivos precedidos de un signo más, (+1, +2, +3,...). 2.2 Valor absoluto El valor absoluto de un número es dicho número sin signo, (o con signo positivo). El símbolo para representar el valor absoluto de un número son dos barras verticales a los lados de dicho número. Ejemplos: + 2 = 2; 3 = 3; 0 = Notación y uso de paréntesis Una regla a considerar es que no está permitido poner 2 operadores binarios consecutivos. Los operadores binarios son en nuestro caso suma, (+), resta, (-), multiplicación, ( ) y división, (:). 4 4 La potenciación y las raíces son operaciones unarias, pues operan sobre un único número. No se ven afectadas por esta regla.

25 Matemáticas - 1 o ESO 25 Para separar dos signos se usan paréntesis alrededor del número negativo. Así, para sumar 6 y -2, no puede escribirse 6 + 2, pues quedan dos operadores consecutivos, (+ y ). Separamos los dos signos encerrando el número negativo entre paréntesis: 6 + ( 2) Suma de enteros Al sumar dos números enteros se nos pueden presentar 3 casos: Suma de dos números positivos En tal caso los sumamos como si se tratase de números naturales: Ejemplo: (+3) + (+2) = +5 El signo + y los paréntesis pueden omitirse quedando = Suma de dos números negativos Podemos imaginarlas como suma de deudas. Sumo el valor absoluto de ambas cantidades, (o lo que es lo mismo, sumo ambas cantidades sin signo), y al resultado le pongo signo negativo. Ejemplo: Tengo una deuda de 3e y otra de 2e. Cuanto debo en total? ( 3) + ( 2) = 5. El paréntesis inicial puede omitirse, quedando 3 + ( 2) = Suma de un número positivo con otro negativo Podemos imaginarlo como ajustar cuentas entre una deuda pendiente y el dinero que tengo para saldarla. Resto ambas cantidades prescindiendo del signo y al resultado le pongo signo de la mayor. Primer ejemplo: Tengo una deuda de 3e y poseo 2e. Cuanto tendré tras ajustar cuentas? ( 3) + (+2) = 1. Resto los valores absolutos de ambas cantidades, (3 2 = 1), y le pongo el signo de la cantidad mayor, (el negativo de 3). Me queda una deuda de 1e. En este caso todos los paréntesis pueden omitirse, quedando = 1. Segundo ejemplo: Tengo una deuda de 10e y poseo 20e. Cuanto tendré tras ajustar cuentas? ( 10) + (+20) = +10. Resto los valores absolutos de ambas cantidades, (20 10 = 10), y le pongo el signo de la cantidad mayor, (el positivo de +20). Me quedan 10e tras pagar la deuda. 5 Puesto que la suma es conmutativa, lo más correcto sería ponerlo como Aunque esta forma es más correcta, por indicar la misma operación usando menos símbolos y en menos espacio, es habitual encontrarla en otras formas más complicadas para forzar al alumno a practicar y así entender las reglas matemáticas.

26 Matemáticas - 1 o ESO 26 En este caso todos los paréntesis pueden omitirse, quedando = Propiedades de la suma de enteros La suma de enteros cumple las mismas propiedades de la suma de números naturales. Pero además también posee dos propiedades nuevas: la existencia de elemento neutro y elemento opuesto o simétrico en el conjunto Operación interna La suma de dos números enteros siempre produce como resultado otro número entero Propiedad conmutativa: a + b = b + a El orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: 2 + ( 5) = = Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c No importa como agrupe las operaciones. El resultado es siempre el mismo. Ejemplo: ( 2 + (+3) ) + ( 4) = 1 + ( 4) = ( (+3) + ( 4) ) = 2 + ( 1) = Elemento neutro: a + 0 = a El elemento neutro es el número que, al operarlo con otro, produce el mismo número. En la suma de enteros el elemento neutro es el 0, ya que, al sumarlo con cualquier otro número el resultado es dicho número. Ejemplos: = 2; = 3; = Elemento opuesto o simétrico: a + ( a) = 0 El elemento opuesto o simétrico es el número que, al operarlo con otro, produce el elemento neutro. En la suma de enteros el elemento opuesto de a es a, ya que al sumarlos obtenemos el elemento neutro, el 0. Ejemplos: El opuesto de 2 es 2. El opuesto de 3 es +3. El opuesto de 0 es 0, que como el cero no es ni positivo ni negativo resulta nuevamente 0. Ejemplos: 2 + ( 2) = 0; 3 + (+3) = 0; 0 + ( 0) = 0

27 Matemáticas - 1 o ESO Resta de números enteros Podemos definir la resta con respecto a la suma diciendo que la resta es el resultado de sumar al minuendo el opuesto del sustrayendo. De esta forma a b = a + ( b) Ejemplos: 3 2 = 3 + ( 2) = 1 3 ( 2) = 3 + (+2) = 5 3 ( 2) = 3 + (+2) = Propiedades de la resta de enteros La resta de enteros, al igual que la resta de los números naturales, no cumple las propiedades conmutativa ni asociativa. Pero si posee otras nuevas: es operación interna, tiene elemento neutro y elemento opuesto o simétrico Operación interna La resta de dos números enteros siempre produce como resultado otro número entero. En el conjunto de los naturales esta regla no existía. Si el minuendo era menor que el sustrayendo se producía un número negativo que no pertenecen al conjunto de los naturales, N Elemento neutro: a 0 = a El elemento neutro de la resta de enteros es también el 0, como en la suma. Ejemplos: 2 0 = 2; 3 0 = 3; 0 0 = Elemento simétrico: a a = 0 El elemento opuesto o simétrico de un número en la resta de enteros es el mismo. Es así porque al restarle a un número el mismo número obtenemos el elemento neutro, el 0. Ejemplos: 2 2 = 0; 3 ( 3) = = Producto de números enteros El producto es el equivalente a sumar varias veces una misma cantidad. Ejemplo: 3 5 = 5 veces { }} { = 15 Si se trata entonces de multiplicar por un número positivo es fácil ver que el signo será el del primer factor. Veámoslo con un ejemplo. Ejemplo: ( 3) 5 = 5 veces { }} { ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) = 15