DESARROLLO DE HABILIDADES DEL PENSAMIENTO LÓGICO

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1 I. SISTEMAS NUMÉRICOS DESARROLLO DE HABILIDADES DEL PENSAMIENTO LÓGICO LIC. LEYDY ROXANA ZEPEDA RUIZ SEPTIEMBRE DICIEMBRE 2011 Ocosingo, Chis. 1.1Sistemas numéricos. Los números son los mismos en todos lados. Sus nombres y su simbología podrán ser diferentes, pero tienen el mismo significado. Los pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que no podían alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes para satisfacer sus necesidades. Si querían recordar algunos números, hacían incisiones en un palo o marcas en una roca. 1

2 Sistemas numéricos.- Es un conjunto de dígitos que sirven para representar una cantidad contable. Digito: Es un signo que representa una cantidad contable. Dependiendo del sistema de numeración, serán los diferentes signos que se tenga para representar cualquier cantidad. Numero: Es la representación de una cantidad contable por medio de uno o más dígito. Los sistemas de numeración más utilizados en electrónica son: Binario o Base 2 (0, 1) Hexadecimal o Base 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) Decimal o Base 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) El sistema numérico decimal El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor:a*(10 n ) 2

3 Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: (bn) * A donde: b = valor de la base del sistema n = número del dígito o posición del mismo A = dígito. Por ejemplo: digitos: posicion El sistema numérico decimal Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, el número expresado en la notación posicional es: primero 9*(10 0 )= primero 1*(10-1 ) = 0.1 segundo 8*(10 1 )= segundo 2*(10-2 ) = 0.02 tercero 4*(10 2 )= tercero 5*(10-3 ) = cuarto 3*(10 3 )=

4 Sistema Binario El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1). Por su simplicidad y por poseer únicamente dos dígitos diferentes, el sistema de numeración binario se usa en computación para el manejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se le asocia con cero voltios, apagado, desenergizado, inhibido (de la computadora) y el dígito 1 se asocia con +5, +12 volts, encendido. Sistema Binario A la representación de un dígito binario se le llama bit (de la contracción binary digit) y al conjunto de 8 bits se le llama byte, así por ejemplo: 110 contiene 3 bits, 1001 contiene 4 y 1 contiene 1 bit. Como el sistema binario usa la notación posicional entonces el valor de cada dígito depende de la posición que tiene en el número, así por ejemplo el número es: 1*(2 0 ) + 0*(2 1 ) + 1*(2 2 ) + 0*(2 3 ) + 1*(2 4 ) + 1*(2 5 ) = = 53 d 4

5 La computadora está diseñada sobre la base de numeración binaria (base 2). Por eso este caso particular merece mención aparte. Siguiendo las reglas generales para cualquier base expuestas antes, tendremos que: Numerando de derecha a izquierda los dígitos de un número, empezando por cero, el valor decimal de la posición es 2n. Por ejemplo, (en base 2) quiere decir: 1*(2 0 ) + 0*(2 1 ) + 1*(2 2 ) + 1*(2 3 ) = = Sistema Hexadecimal Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad. Para representar el valor 202 se requieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario. Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es precisamente una tarea cómoda. El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, resuelve este problema. 5

6 Sistema Hexadecimal El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a esto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 1234h es igual a: 1* (16 3 ) + 2* (16 2 ) + 3* (16 1 ) + 4* (16 0 ) lo que da como resultado: = d Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciséis valores entre 0 y Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y En lugar de crear nuevos símbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F. La conversión entre hexadecimal y binario es sencilla, considere la siguiente tabla: Binario Hexadecimal A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Esta tabla contiene toda la información necesaria para convertir de binario a hexadecimal y viceversa. Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para convertir 0ABCD h en un valor binario: 0 A B C D (Hexadecimal) (Binario) 6

7 1.2. Cambios de base de numeración Existe un procedimiento general para cambiar una base cualquiera a otra cualquiera: Para pasar de una base cualquiera a base 10, hemos visto que basta con realizar la suma de los productos de cada dígito por su valor de posición. Los valores de posición se obtienen como potencias sucesivas de la base, de derecha a izquierda, empezando por el exponente cero. Cada resultado obtenido se suma, y el resultado global es el número en base 10. Para pasar de base 10 a otra base, en vez de multiplicar, dividimos el número a convertir entre la nueva base. El cociente se vuelve a dividir por la base, y así sucesivamente hasta que el cociente sea inferior a la base. El último cociente y los restos (en orden inverso) indican los dígitos en la nueva base DE BINARIO A DECIMAL: El sistema binario trabaja de forma similar al sistema decimal con dos diferencias, en el sistema binario sólo está permitido el uso de los dígitos 0 y 1 (en lugar de 0-9) y en el sistema binario se utilizan potencias de 2 en lugar de potencias de 10. De aquí tenemos que es muy fácil convertir un número binario a decimal, por cada 1 en la cadena binaria, sume 2n donde n es la posición del dígito binario a partir del punto decimal contando a partir de cero. Por ejemplo, el valor binario representa: 1*(2 7 ) + 1*(2 6 ) + 0*(2 5 ) + 0*(2 4 ) + 1*(2 3 ) + 0*(2 2 ) + 1*(2 1 ) + 0*(2 0 ) = =

8 Por ejemplo, para convertir el número binario a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit: 1* * * * * * *2 0 = = Ejercicio 2: Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios: , Ejemplos: 10 2 = 1x x2 0 = 1x + 0x1 = = = 1x x x2 0 = 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = = = 1x x x x2 0 = 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 = = 9 10 Y para número fraccionarios: = 0x x x2-3 = 0x x x0.125 = = = 1x x x 2-3 = 1x x x0.125 = = = 1x x x x x x 2-3 1x4 + 1x2 + 0x1 + 0x x x.125 = = Como se ve en los ejemplos el punto decimal aparece automáticamente en la posición correcta una vez efectuada la suma de los componentes. 8

9 Ejercicio 2: Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios: Conversión decimales a binarios. de números Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes: 77 : 2 = 38 Resto: 1 38 : 2 = 19 Resto: 0 19 : 2 = 9 Resto: 1 9 : 2 = 4 Resto: 1 4 : 2 = 2 Resto: 0 2 : 2 = 1 Resto: 0 1 : 2 = 0 Resto: 1 y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: =

10 Ejercicios: Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: En el caso de convertir un número decimal FRACCIONARIO, la parte fraccionaria debe ser multiplicada por 2 y el número binario es formado por 0's o 1's que aparecen en la parte correspondiente al entero. Solo que en este caso el número binario se escribe de izquierda a derecha, a diferencia de lo explicado antes para los números enteros. Las multiplicaciones se efectúan SOLO sobre la parte fraccionaria del número por lo que siempre serán 0.XXX. Nunca debe multiplicar 1.XXX. El proceso de multiplicaciones sucesivas concluye cuando quedan en cero la parte entera y la fraccionaria. 10

11 En este ejemplo convertiremos el número fraccionario x 2 = (bit mas próximo al punto binario) x 2 = (bit a la derecha del uno obtenido anteriormente) x 2 = (bit a la derecha del cero obtenido anteriormente) La operación concluye porque no queda parte fraccionaria para seguir multiplicando = CONVERSIÓN BINARIO DE HEXADECIMAL Para efectuar la conversión basta con colocar los cuatro bits correspondientes a cada símbolo del número hexa respetando su posición original. Para saber el valor de cada símbolo sólo tiene que mirar la tabla de relación entre sistemas mostrada arriba. Binario A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Hexadecimal Por ejemplo: Para convertir 7A A Resultado: 7A2 16 = A 11

12 Binario Hexadecimal A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Ejemplo: Para convertir3d4.f 16 3 D 4. F Resultado: 3D4.F 16 = CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL: Primeramente hay que agrupar los bits de a cuatro comenzando por la derecha y siguiendo hacia la izquierda, a partir de la parte entera. Para la parte fraccionaria el orden es inverso, o sea que se agrupa de izquierda a derecha. Nótese que siempre es del punto hacia afuera. Una vez formados los grupos basta con fijarse en la tabla anterior y reemplazar cada grupo por el símbolo Hexa correspondiente. 12

13 Ejemplo 1: Convertir A D 2 Resultado: = AD2 16 Ejemplo 2: Convertir D 6 Resultado: = 5D6 16 CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL: Se puede realizar empleando dos procesos: Divisiones sucesivas por 16, cuando el número es entero, o multiplicaciones sucesivas por 16, cuando el número es fraccionario. Siguiendo los mismos lineamientos empleados con los otros sistemas numéricos. Ejemplo: / 16 = 40 y resta 10 = A (dígito más próximo al punto hexadecimal) 40 / 16 = 2 y resta 8 (dígito a la izquierda del anterior) No se puede continuar dividiendo, por lo que el 2 queda como símbolo más significativo a la izquierda del anterior. Resultado = 28A 16 13

14 CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL: Ejemplo 2: / 16 = 161 y resta 12 = C (dígito mas próximo al punto hexadecimal) 161 / 16 = 10 y resta 1 (Dígito siguiente a la izquierda del obtenido arriba) No se puede seguir dividiendo, por lo que el diez (la A) queda como símbolo mas significativo a la izquierda del obtenido arriba Resultado: = A1C 16 CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL: Ejemplo 3: x 16 = (dígito mas próximo al punto hexadecimal) =A x 16 = (dígito siguiente a la derecha del anterior) x 16 = (dígito siguiente a la derecha del anterior) x 16 = (Dígito siguiente a la derecha del anterior) =A 16 Resultado: = 0.A45A 16 Note que la conversión no fue exacta. 14